1、一、倒格矢一、倒格矢设正格子的基矢为设正格子的基矢为 ，正格子的坐标面，正格子的坐标面a1a2，a2a3，a3a1各有其对应的晶面族，设各有其对应的晶面族，设a1a2，a2a3，a3a1面的面间距分别为面的面间距分别为d3，d1，d2，作面，在，作面，在op上截取一段上截取一段op=b3使使，同样对于，同样对于a2a3面，有，对于面，有，对于a3a1面，面，有，得出的三个矢量有，得出的三个矢量 就是倒格就是倒格子空间的三个基矢。有了倒格子空间的三个基子空间的三个基矢。有了倒格子空间的三个基矢，就可以给出倒格子空间中任何一个倒格点矢，就可以给出倒格子空间中任何一个倒格点的位矢。的位矢。 1.6
2、倒格子空间倒格子空间1a2a3a 21aaop 332db112db222db1b2b3b P1a2a3a3b1b2b因为因为 所组成的平行六面体就是原胞，原所组成的平行六面体就是原胞，原胞的底面就是胞的底面就是a1a2面，高就是面，高就是a1a2 面的面间距面的面间距d3，正格子原胞的体积为正格子原胞的体积为所以所以又因为与的方向一致，所以又因为与的方向一致，所以 1a2a3a 213213)sin(aadaad213322aadb3b21aa )(2213aab )(2321aab)(2132aab)(2213aab可以证明，倒格矢与正格子空间的基矢满足下列关系可以证明，倒格矢与正格子空间
3、的基矢满足下列关系ijjiba22)(232111aaaba0)(213121aaaba如：如：把由三个倒格矢确定的平行六面体在三维空把由三个倒格矢确定的平行六面体在三维空间中平移，可得到由许多倒格点构成的倒格子间中平移，可得到由许多倒格点构成的倒格子空间，在倒格子空间中任一倒格点的位置可以空间，在倒格子空间中任一倒格点的位置可以用倒格矢表示：用倒格矢表示：（h1，h2，h3为整数）为整数）332211hKbhbhbh二、几个关系二、几个关系除除2 因子外，正格子原胞的体积和倒格子原胞的因子外，正格子原胞的体积和倒格子原胞的体积互为倒数。体积互为倒数。321131213323321133233
4、211332321)2()()()()2()()()()2()(2)(2()(2)(*aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbCBABCACBA)()()(.正格子晶面族正格子晶面族(h1h2h3)和倒格矢和倒格矢 正交。正交。 332211hKbhbhbh1a2a3aABCO1133OA,OChaha3311OCOACAhaha0)()(CA3311332211hahabhbhbhKh0)()(CB3322332211hahabhbhbhKh所以倒格矢所以倒格矢 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交。正交。332211hKbhbhbh3. 倒格矢倒格矢 的长度正比于晶面族的长度正比
5、于晶面族(h1h2h3)面间距的面间距的倒数。倒数。 ABC面是晶面族面是晶面族(h1h2h3)中最靠近原点的晶面，该中最靠近原点的晶面，该晶面族的面间距就等于原点到晶面族的面间距就等于原点到ABC面的距离，由于面的距离，由于该晶面族的法线可以用该晶面族的法线可以用 表示，表示， 所以由平面方程得：所以由平面方程得：hKhKhh13322111hh11K2K)(KK321321hhhhhhdhbhbhbhahad4. 由由对于该面上的格点对于该面上的格点代入得：代入得：321hhKKhhhdX2Kh321hhhhdKR332211alalalR1.7 晶体的对称性、对称操晶体的对称性、对称操作
6、作 一些晶体在外形上表现出明显的对称性，如立方、一些晶体在外形上表现出明显的对称性，如立方、六角等对称。晶体的对称性不仅表现在几何外形上，六角等对称。晶体的对称性不仅表现在几何外形上，而且也反映在晶体的宏观物理性质上，如立方晶系而且也反映在晶体的宏观物理性质上，如立方晶系的介电常数张量，由于其立方对称性，而可以看成的介电常数张量，由于其立方对称性，而可以看成一个简单的标量。六角晶系具有双折射现象也是晶一个简单的标量。六角晶系具有双折射现象也是晶体宏观物理性质具有对称性的体现。晶体所具有的体宏观物理性质具有对称性的体现。晶体所具有的宏观对称性是不同的，如何描述晶体的对称性？宏观对称性是不同的，如
7、何描述晶体的对称性？ 先通过分析简单几何图形的对称性，得到先通过分析简单几何图形的对称性，得到描述对称性的方法。描述对称性的方法。 这些图形的对称性可以从图形的旋转中来分析。这些图形的对称性可以从图形的旋转中来分析。圆可以绕通过中心的轴转任意角度而与自身圆可以绕通过中心的轴转任意角度而与自身重合；重合；正方形可以绕中心轴转正方形可以绕中心轴转 而与自身重合；而与自身重合；等腰梯形和不规则四边形则只有绕中心轴转等腰梯形和不规则四边形则只有绕中心轴转 才能与自身重合。才能与自身重合。23,22 因此，考查图形的旋转可以具体的显示出圆、正方形和等腰梯因此，考查图形的旋转可以具体的显示出圆、正方形和等
8、腰梯形之间不同程度的对称性，但还不足以区别等腰梯形和不规形之间不同程度的对称性，但还不足以区别等腰梯形和不规则四边形之间对称性的差别。则四边形之间对称性的差别。 为了进一步显示等腰梯形和不规则四边形之间的差别，可以为了进一步显示等腰梯形和不规则四边形之间的差别，可以考查图形按一条直线作考查图形按一条直线作左右反射后发生的变化左右反射后发生的变化。 圆对任意直径作反射不改变；圆对任意直径作反射不改变； 正方形对于对边中心连线和对角线作反射不改变；正方形对于对边中心连线和对角线作反射不改变； 等腰梯形只有对两底中心连线作反射不变；等腰梯形只有对两底中心连线作反射不变； 不规则四边形则不存在任何左右
9、对称的线。不规则四边形则不存在任何左右对称的线。总之，总之，通过考查物体在一定几何变换下的不变性可以概括物体通过考查物体在一定几何变换下的不变性可以概括物体的对称性。的对称性。对称操作对称操作：一个物体在某一正交变换下不变，称这个：一个物体在某一正交变换下不变，称这个变换为物体的一个对称操作。变换为物体的一个对称操作。（正交变换：保持两点间距离不变的变换。正交变换：保持两点间距离不变的变换。）立方晶系的对称操作：立方晶系的对称操作： (1) 绕立方轴转绕立方轴转 ，有，有3个轴，共个轴，共9个对称操作；个对称操作；(2)绕面对角线转动绕面对角线转动 ，有，有6个轴，共个轴，共6个对称操作；个对
10、称操作；(3)绕立方体对角线转绕立方体对角线转 ，有，有4个轴，共个轴，共8个对称个对称操作；操作；(4) 不动；不动； 共共24个对称操作。个对称操作。每个操作加上中心反演又为每个操作加上中心反演又为24个对称操作，共个对称操作，共48个个对称操作。对称操作。一、对称操作一、对称操作23,234,32二、对称操作的变换关系二、对称操作的变换关系zyxaaaaaaaaazyx333231232221131211zzyxyyxxcossinsincoszyxzyx1000cossin0sincos在三维空间中，正交变换可以写为在三维空间中，正交变换可以写为1.转动转动绕绕z轴旋转轴旋转角角zzy
11、yxxzyxzyx100010001. 中心反演中心反演3. 对称面，反射（反映）对称面，反射（反映）如以如以xy面为对称面面为对称面zzyyxxzyxzyx100010001 一个孤立的几何图形，绕某一轴转动一角度与一个孤立的几何图形，绕某一轴转动一角度与自身重合，这个度数的大小由几何图形本身决定。自身重合，这个度数的大小由几何图形本身决定。 对于晶体中粒子的分布，通常用结晶学原胞来对于晶体中粒子的分布，通常用结晶学原胞来反映其对称性，由于晶胞必须在三维空间中不间断反映其对称性，由于晶胞必须在三维空间中不间断无空隙的紧密排列来构成晶体，晶胞所具有的旋转无空隙的紧密排列来构成晶体，晶胞所具有的
12、旋转角度就不是任意的，只有几种可能。角度就不是任意的，只有几种可能。晶体的周期性用一定的布喇菲格子晶体的周期性用一定的布喇菲格子来表示，晶体本身经历对称操作后不变，表征其对称性的布来表示，晶体本身经历对称操作后不变，表征其对称性的布喇菲格子经过对称操作后也是不变的。选择垂直于转轴的晶喇菲格子经过对称操作后也是不变的。选择垂直于转轴的晶面，在这个晶面内可以选择基矢面，在这个晶面内可以选择基矢 晶面上所有布喇菲格点可以表示为晶面上所有布喇菲格点可以表示为设位于原点的格点为设位于原点的格点为A，由它画出的达到的格点为，由它画出的达到的格点为B。 三、晶体转轴的度数三、晶体转轴的度数332211ala
13、lal1a2a 2211alal1a绕绕A转动角，使转动角，使B格点转到格点转到B位置，由于转位置，由于转动不改变格子，在动不改变格子，在B必定原来就有一格点，因为必定原来就有一格点，因为B与与A完全等价，所以转动也可以绕完全等价，所以转动也可以绕B进行，设绕进行，设绕B转动角，这将使转动角，这将使A转到转到A位置，说明位置，说明A处原处原来也有一格点，由图知与平行，属来也有一格点，由图知与平行，属于同一晶列，所以于同一晶列，所以AB 1aABnAB)cos21 ()cos(2ABABABABABBA整数整数 因为必须在因为必须在-1到到1之间取值。之间取值。取值为取值为-1 -1/2 0 1
14、/2 1取值为取值为 cos21cos0 ,3,2,32,n23,2,32,2四、晶体的基本对称操作四、晶体的基本对称操作如果每次用到晶体的对称性问题，都要列举如果每次用到晶体的对称性问题，都要列举其可以旋转的角度，显然是很不方便的。定义其可以旋转的角度，显然是很不方便的。定义一种简单的描述方法。一种简单的描述方法。1. n度（重）旋转对称轴度（重）旋转对称轴如果晶体绕某一固定轴旋转角度如果晶体绕某一固定轴旋转角度及及其整数倍后自身重合，则称该轴为其整数倍后自身重合，则称该轴为n度（重）旋度（重）旋转对称轴转对称轴。n= 1, 2, 3, 4, 6. n度（重）旋转反演轴度（重）旋转反演轴如果
15、晶体绕某一固定轴旋转角度如果晶体绕某一固定轴旋转角度及其整数倍后再经中心反演晶体能自身重及其整数倍后再经中心反演晶体能自身重合，则称该轴为合，则称该轴为n度（重）旋转反演轴。度（重）旋转反演轴。n26, 4, 3, 2, 1n每一种称为晶体的一个对称素。每一种称为晶体的一个对称素。 晶体的对称性都是由晶体的对称性都是由10种对称素构成的，种对称素构成的，把它们组合起来得到把它们组合起来得到32个点群。个点群。6,4,3,2,16,4,3,2,1364,6 , 4 , 3 , 2 , 1mim21cos,但但 与和与和i的效果相同，的效果相同， 与和与和m的效果相同的效果相同.所以也有把这两个去
16、掉。所以也有把这两个去掉。共共8个对称素。个对称素。100010001100010001100010001i1000100011000100011000100011,.,DCBAEG GBA,GCAB群：一个物体全部对称操作的集合。群：一个物体全部对称操作的集合。其中的其中的E,A,B,C,D等都是群的元素，这些元素被等都是群的元素，这些元素被赋予一定的赋予一定的“乘法法则乘法法则”，满足下列性质，满足下列性质(1)集合内的任意两个元素的乘积仍为集合内的集合内的任意两个元素的乘积仍为集合内的元素。元素。若若 ，则，则这一性质称为这一性质称为“群的封闭性群的封闭性”(2) 存在单位元素存在单位元
17、素E，使得所有元素满足，使得所有元素满足AE=A五、群五、群(3) 对任意元素对任意元素A，存在逆元素，存在逆元素A-1，有，有AA-1=E(4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律满足结合律 A(BC)=(AB)C只包含一个旋转轴的点群称为回转群。只包含一个旋转轴的点群称为回转群。包含一个包含一个n重旋转轴和重旋转轴和n个与之垂直的二重轴的点群称为双个与之垂直的二重轴的点群称为双面群。面群。只包含一个旋转反演轴的点群称为只包含一个旋转反演轴的点群称为Sn群。群。立方对称的立方对称的48个对称操作组成立方点群，用个对称操作组成立方点群，用Oh标记。标记。Oh群中的群中的24个纯转动
18、操作组成个纯转动操作组成O群。群。正四面体的正四面体的24个对称操作组成四面体点群，用个对称操作组成四面体点群，用Td标记。标记。 Td群中群中12个纯转动操作组成个纯转动操作组成T群，群，T群加上中心反演组成群加上中心反演组成Th群。群。理论证明由理论证明由10种对称素只能组成种对称素只能组成32种不同的点群种不同的点群 晶体的宏观对称只有晶体的宏观对称只有32个不同类型个不同类型 nC回转群回转群熊夫利符号表示的熊夫利符号表示的32种宏观对称类型种宏观对称类型符号符号的意义对称类型符号符号的意义对称类型 数目数目Cn 具有具有n度旋转对称轴度旋转对称轴C1,C2,C3,C4,C6 5Ci
19、对称心对称心(i) Ci(S2) 1Cs 对称面对称面(m) Cs 1Cnh h表示除表示除n度轴外还有与轴度轴外还有与轴C2h,C3h,C4h,C6h 4垂直的水平对称面垂直的水平对称面Cnv v表示除表示除n度轴外还有通过度轴外还有通过C2v,C3v,C4v,C6v 4该轴的铅直对称面该轴的铅直对称面Dn 具有具有n度旋转轴及度旋转轴及n个与之个与之D2,D3,D4,D6 4垂直的垂直的2度旋转轴度旋转轴Dnh h代表与代表与n度轴垂直的水平度轴垂直的水平D2h,D3h,D4h,D6h 4 对称面对称面Dnd d表示还有一个平分两个表示还有一个平分两个2D2d, D3d 2旋转轴间夹角的对称面旋转轴间夹角的对称面Sn 经经n度旋转后再经垂直该轴度旋转后再经垂直该轴C4i(=s4), C3h(=S3) 2的平面的镜象的平面的镜象T 代表代表4个个3度旋转轴和度旋转轴和3个个2T 1旋转轴（四面体的对称性）旋转轴（四面体的对称性）Th h与前相同与前相同Th 1Td d与前相同与前相同 Td 1O 代表三个互相垂直的代表三个互相垂直的4度轴度轴O, Oh 2六个六个2度轴及四个度轴及四个3度轴度轴
