1、2022-3-818 应力应变关系方程o 塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，塑性变形时应力与应变的关系称为本构关系，其数学表达式称为其数学表达式称为本构方程本构方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxijijf,应力应变2022-3-828.1 弹性变形时的应力应变关系弹性变形时的应力应变关系弹性变形的特点弹性变形的特点o 应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与应力与应变完全成线性关系，即应力主轴与全量应变主轴重合全量应变主轴重合(变形过程中已经发生的应变总和，也称总应变)o 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程无关），应力与应变之间存在统一的
2、单值关无关），应力与应变之间存在统一的单值关系系o 弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化弹性变形时，应力张量使物体产生体积变化.2022-3-83o 虎克定律虎克定律o 广义虎克定律广义虎克定律E：弹性模量：弹性模量v：泊松比：泊松比(宇普西龙)xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-3-84引入球张量、偏张量zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31myyEE31mzzEE312022-3-85mE21mxE1则则xmmxxEE31mzyxmE213而而xmxmxxGE211即即2022-3-86o 同理同
3、理ymymyyGE211zmymzzGE211ijijG212022-3-87o 弹性变形的比例及差比形式弹性变形的比例及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx21所以广义虎克定律可写成求和约定的形式所以广义虎克定律可写成求和约定的形式 mijijEG21212022-3-888.2 塑性变形时的应力应变关系塑性变形时的应力应变关系塑性变形的特点塑性变形的特点o 体积不变。体积不变。o 应力、应变为非线性关系应力、应变为非线性关系两个变量之间存在一次函数关系,就称它们之间存在线性关系。两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标，其图象是平面
4、上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话，这两个变量之间的关系称为线性关系2022-3-89全量应变与应力主轴不一定重合全量应变与应力主轴不一定重合( (各向各向异性）异性） 塑性变化不可逆塑性变化不可逆无单值一一对应无单值一一对应关系关系与加载路径有关与加载路径有关 对于应变硬化材料，卸载后的屈服应对于应变硬化材料，卸载后的屈服应力比初始屈服应力高力比初始屈服应力高s31变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。 时， 。 sE 当 以后，变形视作塑性阶段
5、。 是非线性关系。当应力达到 之后，变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。经短暂的不稳定变形，试样以断裂告终。sb 若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段 呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的，塑性变化不可逆塑性变化不可逆 关系是塑性变形的两个基本特征。 k 由于加载、卸载规律不同，导致 关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的 关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。 事实上， 以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以k点为例，若卸载则 关系为弹性。卸载后再加载，只要 点，
6、 关系仍为弹性。一旦超过点， 呈非线性关系，即k点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有 ，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。skskk2022-3-812 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩 屈服极限与拉伸屈服极限 基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑。Bauschinger效应。 Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的
7、体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。 2022-3-813材料性质2022-3-814有关材料性质的一些基本概念： A. 理想弹性材料： B. 理想塑性材料（又称全塑性材料，没有硬化）： C. 弹塑性材料： 理想弹塑性材料； 弹塑性硬化材料。 D. 刚塑性材料： 理想刚塑性材料； 刚塑性硬化材料。A.理想弹性材料 物体发生弹性变形时，应力与应变完全成线性关系，并可假定它从弹性变形过渡到塑性变形是突然的。B.理想塑性材料（又称全塑性材料） 材料发生塑性变形时不产生硬化的材料，这种材料在进入塑性状态之后，
8、应力不再增加，也即在中性载荷时即可连续产生塑性变形。2022-3-815C.弹塑性材料 在研究材料塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形的材料这里可分两种情 况： .理想弹塑性材料 在塑性变形时，需要考虑塑性变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也即材料进入塑性状态后，应力不再增加可连续产生塑性变形。.弹塑性硬化材料 在塑性变形时，既要考虑塑性变形之前的弹性变形，又要考虑加工硬化的材料，这种材料在进入塑性状态后，如应力保持不变，则不能进一步变形。只有在应力不断增加，也即在加载条件下才能连续产生塑性变形。 D.刚塑性材料 在研究塑性变形时不考虑塑性变形之前的弹性变形。这又可分两种情况：.理
9、想刚塑性材料 在研究塑性变形时，既不考虑弹性变形，又不考虑变形过程中的加工硬化的材料。.刚塑性硬化材料 在研究塑性变形时，不考虑塑性变形之前的弹性变形，但需要考虑变形过程中的加工硬化材料。2022-3-8162022-3-817应变增量与小变形及大变形的关系应变增量与小变形及大变形的关系o 应变增量应变增量 与小变形与小变形 数值大小处于同一数值大小处于同一数量级，都属于无穷小量；数量级，都属于无穷小量；o 大变形是对应变增量进行积分获得的大变形是对应变增量进行积分获得的ddd2022-3-818塑性变形时应力与应变的关系塑性变形时应力与应变的关系o 增量理论增量理论 PrantlReuss（
10、普朗特普朗特-路埃斯路埃斯）理论理论 LevyMises理论理论 o 全量理论全量理论 Hencky（汉基）小变形理论（汉基）小变形理论 2022-3-819LevyMises理论理论o 基本观点基本观点o o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系应变增量应变增量主轴与应力主轴一致主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，在任意加载瞬间，应变增量应变增量各分量与该各分量与该瞬时瞬时相应的各偏差应力分量成比例（只包含相应的各偏差应力分量成比例（只包含塑性变形不包含弹性变形）塑性变形不包含弹性变形）塑性塑性2022-3-820数学表达式数学表达式 dddddd
11、dzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或 是一个非零非负的瞬时比例系数是一个非零非负的瞬时比例系数ijijddd2022-3-821 Levy-Mises理论提出的塑性应力应变关系其实是包含在塑性流动理论中的，该理论主要包括以下假设： （1）材料Levy-Mises理论提出的塑性应力应变关系其实是包含在塑性流动是刚塑性体，即忽略弹性变形，因此塑性应变增量即为总的应变增量 。 （2）材料符合Mises屈服条件。 （3）塑性变形时体积不变。 （4）每一加载瞬间，应力主轴与应变增量主轴重合。 （5）应变增量与应力偏量成正比2022-3-822PrantlReuss理论理论（普朗特普朗特-路埃斯路埃
12、斯）基本观点基本观点o o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系塑性应变增量塑性应变增量主轴与应力主轴一致主轴与应力主轴一致应力与应变的分配关系应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量在任意加载瞬间，塑性应变增量各分量与该与该瞬时瞬时相应的各偏差应力分量成比例（考相应的各偏差应力分量成比例（考虑弹性应变，应变包含弹性应变和塑性应变）虑弹性应变，应变包含弹性应变和塑性应变）2022-3-823数学表达式数学表达式 dddddddzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-3-824对对PR理论的解释理论的解释 o 应变增量主轴与应力主轴重合的含
13、义：若在应变增量主轴与应力主轴重合的含义：若在某一方向加载某一方向加载 ，则在该方向必产生，则在该方向必产生o 应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应应力与应变增量分配关系的含义：把塑性应变增量与应力在数学上联系起来变增量与应力在数学上联系起来 o 是一个非零非负的瞬时比例系数，是一个非零非负的瞬时比例系数， 时，时，表示弹性变形，表示弹性变形， 时，无实际情况与其时，无实际情况与其对应。对应。11dd0d0d2022-3-825pijeijijdddijpijddmijeijEG2121mijeijdEdGd2121mijijijdEdGdd2121PrantlReuss方程方程总的应变增量
14、是弹性与塑性变形增量之和，即总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，即（ elastic，plastic）2022-3-826PrantlReuss方程方程o总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，即总的应变增量是弹性与塑性变形增量之和，即（ elastic，plastic）pijeijijdddpijeijijddd而而0pzpypxpmdddd又又ijpijddddGdijijij21ijijG21e）（ijpijpmpijpijddddd)()(ijeijdGd21)(2022-3-827ddGdijijij21 该式称为该式称为PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差应变增量与偏
15、差应力之间的关系偏差应变增量与偏差应力之间的关系 2022-3-828适用范围适用范围 o 该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小，该理论适用于弹塑性问题，即塑性变形很小，与弹性变形处于同数量级，而不能忽略弹性与弹性变形处于同数量级，而不能忽略弹性变形。变形。2022-3-829对对LM理论的说明理论的说明o 与与PrantlReuss理论相比，理论相比， LevyMises理理论只适用于大塑性变形问题论只适用于大塑性变形问题,忽略弹性应变；忽略弹性应变；o 又称为又称为LevyMises流动法则流动法则；o 同样用于应变速率同样用于应变速率 ijijijijddtddtd2022-3-830
16、全量理论全量理论 o 全量理论建立了全应变与应力的关系。其中全量理论建立了全应变与应力的关系。其中比较有影响的是比较有影响的是Hencky小变形理论。小变形理论。2022-3-831加载条件加载条件 o 简单加载简单加载 在加载过程中，应力张量各分量按同样的在加载过程中，应力张量各分量按同样的比例增加，也称为比例加载。即比例增加，也称为比例加载。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，则，则简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。 o 复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。复杂加载：
17、加载过程中各应力分量之间无规律可循。 2022-3-832Hencky小变形理论小变形理论基本观点基本观点o 应力与应变的位向关系应力与应变的位向关系 塑性应变塑性应变主轴与应力主轴一致。主轴与应力主轴一致。o 应力与应变的分配关系应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，在任意加载瞬间，塑性应变塑性应变各分量与该各分量与该瞬时相应的各偏差应力分量成比例（符合简瞬时相应的各偏差应力分量成比例（符合简单加载条件），小变形考虑弹性变形。单加载条件），小变形考虑弹性变形。 2022-3-833数学表达式数学表达式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-3-834o 总的
18、变形ijmijpijeijijEG)2121(2022-3-835小变形理论用于大变形小变形理论用于大变形o 对于大塑性变形，满足对于大塑性变形，满足简单加载条件简单加载条件，可以，可以运用全量理论求解。此时应力与应变主轴在运用全量理论求解。此时应力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变加载过程中不变，并用对数变形计算主应变o 取主轴时：取主轴时： 1122332121221221221或或2022-3-836o 因此因此1313323221212022-3-837已知一点的应力分量为: 求:（1）主应力1，2，3的值； （2）若该点处于塑性状态， 利用全量理论求解其余主应变。21)(1zyxI)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI032213III
