1、导数构造法解决函数问题关系式为“加”型：（1） 构造（2） 构造（3） 构造（4）构造（注意对的符号进行讨论）（5） 构造关系式为“减”型（6） 构造（7） 构造（8） 构造（9）构造（注意对的符号进行讨论）（10） 构造【类型1 直接构造函数】【例1】函数的定义域为R，f1=2，对任意，则的解集为（ ） 【解析】 令所以为的单调递增函数，又因为所以不等式的解集为(1,+)【变式1-1】（1）定义在上的函数满足，对任意的有，则不等式的解集是 【解析】，令，则，设，则，所以，即函数单调递减，又因为，为偶函数，所以，即（2）已知函数f(x)(xR)满足f3=4，且f(x)的导函数fx1，则不等式f
2、x21x2的解集为（ ）A.(2,2) B.(,2)(2,+) C.(3,3) D.(,3)(3,+)【答案】B【解析】令gx=fxx，则gx=fx10，所以g(x)在R上单调递减因为不等式fx21x2，可等价于fx21x21f33，即gx213，所以x2或x2.（3）设f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数，fx3x+7的解集为（ ）A.(,1) B.(,3) C.(3,0)(1,+) D.(1,0)(1,+)【答案】B【解析】因为fx3，即fx30，设函数gx=fx3x，gx=fx33x+7转化为：f(x03x7，即gxg3，所以xe，则不等式fxex+2e的解集是（ ）A.(,1)
3、B.(1,+) C.(1,1) D.(1,+)【答案】B【解析】记Fx=fxex，对任意实数x都有fxe，Fx=fxe0，函数F(x)是定义在R上的单调递增函数，f1=e，F1=f1+e=2e，fxex+2e，fxex2e，FxF1，函数F(x)是定义在R上的单调递增函数x1【变式1-2】（1）设奇函数f(x)在R上存在导函数f(x)，且在(0,+)上fxx2，若f1mfm131m3m3，则实数m的取值范围为（ ）A.12,12 B.,1212,+) c.(,12 D.12,+)【答案】D【解析】f1mfm13(1m)3m3，即f1m131m3fm13m3，构造函数gx=fx13x3，根据题意
4、可知：在(0,+)上，gx=fxx20，故g(x)在(0,+)上单调递减，f(x)为奇函数，gx=fx+13x3=fx+13x3=g(x)，即g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减，因此原不等式可化为：g1mg(m)，即1mm，解得m12.（2）已知定义在R上的奇函数f(x)，若f(x)的导函数fxx2+1，则不等式fxx33+x的解集为（ ）A.(0,+) B.(0,13) C.(13,+) D.(,3)【答案】A【解析】设gx=13x3+xf(x)，则gx=x2+1f(x)，因为fx0，所以g(x)在R上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，则g0=f0=0，所以gx0x0，又因为
5、不等式fx0的解集.所以fx0【类型2 fxgx+f(x)g(x)】【例2】设f(x)，g(x)是上的可导函数，fxgx+f(x)g(x)0，g3=0，求不等式fxgx0的解集。【解析】同上题的原函数为，构造新函数可知，单调递减，又因为即，所以的解集是【变式2-1】设f(x)，g(x)在R上的导函数分别是f(x)，g(x)，且满足fxgx+fxgx0，则当时，有（ ） 【答案】C【解析】因为不等式左边的原函数为，因此需要构造新函数，令，可知，则函数是单调递减函数，因此当，有即【类型3xfx+fx0构造xfx=xfx+f(x)】【例3】已知f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数，且满足xfx
6、+fx0对任意正数a，b，若ab，则必有（ ）A.afbbf(a) B.bfaaf(b) C.afaf(b) D.bfbf(a)【答案】A【解析】构造函数y=xf(x)，x0,+.由于xfx+fx0，故函数y=xf(x)在0,+上单调递减或为常函数.所以对任意正数a，b，若ab，则必有afabf(b).又因为fx0，且0a0时，不等式xfx+fxba【解析】令gx=xf(x)，由条件知，x0时，gx0，即g(x)在(0,+)上单调递减.又f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数，故g(x)在R上单调递减.又log319log3ba.（2）已知f(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xfx
7、+fx0对任意的xR都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A.f1f(2)2 B.f(1)2f(2) C.f1f(2)2 D.f(1)20，故F(x)为R上的增函数，所以F2F(1)，即2f2f(1).【变式3-2】已知定义为R的奇函数f(x)的导函数为f(x)，当x0时，fx+f(x)x0，若a=12f(12)，b=2f(2)，c=ln2f(ln2)，则下列关于的大小关系正确的是（ ） D.bca【答案】D【解析】令gx=xf(x)，则gx=fx+xf(x).当x0时，fx+f(x)x0当x0时，xfx+fx0，即当x0时，gx0，因此当x0时，函数gx单调递增.函数f(x)为奇函数，b=2
8、f2=2f(2)，2ln212，g2gln2g(12)，即bca.【变式3-3】已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） 【答案】D【解析】令单调递减【变式3-4】（1）已知函数的定义域为，为的导函数，且，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由题得，设，所以函数在上单调递增，因为，所以当时，；当时，当时，所以当时，所以当时，所以综上所述，故答案为C（2）已知函数是偶函数，且当时满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】是偶函数，则的对称轴为，构造函数，则关于对称，当时，由，得，则在上单调递增，在上也单调递增，故，本题选择A选项【类型4 fx+fx0 构造exfx=exfx+f
9、(x) 】【例4】已知函数的定义域为R，且对任意的，则对任意正数a必有（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】构造函数Fx=exf(x)，则Fx=exfx+f(x)0，故F(x)在R上单调递增，又a0，所以FaF(0)，即eafae0f(0)，所以faf(0)ea，故选D.【变式4-1】已知f(x)为R上的可导函数，且对任意的xR，均有fx+fx0.是比较e2019f2019与f(0)的大小 【答案】e2019f2019f(0)【解析】构造函数x=exf(x)，则x=exfx+exfx=exfx+f(x)0，即(x)在R上单调递减，故2019(0)，即e2019f2019e0f(0)，即
10、e2019f20191f(x)，f0=4，则不等式fx1+eln3x的解集为（ ）A.(0,+) B.(12,+) C.(1,+) D.(e,+) 【答案】A【解析】令所以为上的单调减函数，又因为，故不等式的解集为【变式4-3】定义在R上的函数f(x)满足fx+fx1，f0=4则不等式exfxex+3的解集为_.【答案】(0,+)【解析】因为fx+fx1，设x=exf(x)，则x=exfx+f(x)，不等式exfxex+3exfxex30，设函数gx=exfxex3，gx=xex，因为fx+fx1，所以xex，所以gx0，又因为f0=4，所以g0=f013=0，综上可判断出g(x)在定义域内单
11、调增且g0=0，因此原不等式的解集为(0,+).【类型5 xfx+nfx0 】【例5】已知奇函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f(x)，当x0时，有2fx+xfxx2，则不等式x+20182fx+2018+4f2x20故x(0,+)时，gx0，即g(x)单调递增，又g(x)为R上可到，g(x)在x=0处连续，所以g(x)在R上单调递增，不等式x+20182fx+2018+4f20，x+20182fx+20184f2，x+20182fx+20184f2，即gx+2018g(2)，所以x+20182，解得x0时，对xfx+2fx0成立的x的取值范围为（ ）A.(,1)(0,1) B.(
12、,2)(0,1) C.(,2)(0,2) D.(,1)(0,2)【答案】C【解析】令gx=x2f(x)，由题可知f(x)为奇函数，g(x)也为奇函数，gx=2xfx+x2f(x)，当x0时，xfx+2fx0，即x2fx+2xfx0时，gx0，g(x)在(0,+)上单调递减.g(x)在R上为奇函数，g(x)在R上单调递减，且g0=0，当x0，即fx0，当x=0时，f0=0，当x0时，fx0，当x0，得x220，解得解集为xx0的解集为空集；当x0时，由fx0，解得的解集为x0x0，则关于x的不等式x313fx3f30，所以g(x)在(0,+)上单调递增，x313fx3f30，即x33fx327f
13、30，所以gx3g(3).x30，所以3x1x，不等式x2fx+lnx2+1f1ln20的解集是（ ）A.,11,+) B.1,0)(0,1 C.(,1 D.(0.1【答案】B【解析】设gx=x2fxln(x2+1)，定义域是xRx0.显然gx=x2fxlnx2+1=x2fxlnx2+1=g(x)，g(x)是偶函数，x0时，由2fx+xfx1x，得2xfx+x2fx1，又gx=2xfx+x2fx2xx2+1，x0时，x2+12x0，2xx2+11，不等式x2fx+lnx2+1f1ln20，即为gxg10，gxg(1)，即gxg(1)，x1，1x0或00，f0=1，则不等式fxe3x的解集是（
14、）A.(0,+) B.(1,+) C.(,0) D.(0,1)【答案】A【解析】令gx=e3xf(x)，则gx=3e3xfx+e3xf(x)，因为3fx+fx0，所以3e3xfx+e3xfx0，所以gx0，所以函数gx=e3xf(x)在R上单调递增，而fxe3x可化为e3xfx1，又g0=e30f0=1，即gxg(0)，解得x0，所以不等式fxe3x的解集是(0,+).【类型7 fxgxf(x)g(x)】【例7】设fx、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且fxgxfxgx0，则当axf(b)g(b) B. fxgbf(b)g(x) C. fxgaf(a)g(x) D. fxgxf(a)
15、g(x)【答案】B【解析】设Fx=f(x)g(x)，则Fx=fxgxfxg(x)g(x)2，由fxgxfxgx0，得Fx0，因为axb所以f(b)g(b)f(x)g(x)f(b)g(x).【变式7-1】设fx、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g3=0，则不等式fxgx0的解集是（ ）A.(,3)(0,3) B.(3,0)(0,3) C. (,3)(3,+) D. (3,0)(3,+)【答案】D【解析】构造函数x=f(x)g(x)，因为x=f(x)g(x)=f(x)g(x)=(x)，故(x)是奇函数.又x=fxgxfxg(x)g(x)2，故当x0时，x0，(x)单调递减.又3
16、=f(3)g(3)=0，再根据奇偶性画出x=f(x)g(x)的简图.易得f(x)g(x)0的解集为(3,0)(3,+)，即不等式fxgx2xf(x)，且f2=5，则不等式fx23x2xf(x)可得x2+1fx2xfx0，所以x2+1fx2xf(x)(x2+1)20，即fxx2+10.令gx=f(x)x2+1，即gx0，则g(x)单调递增.不等式fx23x(x23x)2+1fx23xx23x21，而g2=f(2)(2)2+1=1，所以不等式fx23xx23x21gx23xg2，所以x23x2，解得1x2.【变式7-3】（1）函数f(x)定义在(0,2)上，f6=2，其导函数是f(x)，且fxco
17、sx22sinx的解集是 【答案】(6,2)【解析】fxcosx0，构造函数gx=f(x)sinx，则gx=fxsinxf(x)cosxsin2x，当x(0,2)时，gx0，g(x)在(0,2)单调递增，不等式fx22sinx，即gxg(6)，6x2（2）定义域为(2,2)的函数f(x)满足fx+fx=0，其导函数为f(x)，当0x2时，有fxcosx+fxsinx0成立，则关于x的不等式fx2f(4)cosx的解集为（ ）A.(2,4)(4,2) B. (4,2) C. (4,0)(0,4) D. (4,0)(4,2)【答案】B【解析】fx+fx=0且x(2,2)，f(x)是奇函数,设gx=
18、f(x)cosx，则0x2时，gx=fxcosx+f(x)sinxcos2x0，g(x)在0,2)上是减函数.又f(x)是奇函数，gx=f(x)cosx也是奇函数，因此g(x)在(2,0是递减，从而，g(x)在(2,2)上是减函数，不等式fx2f(4)cosx为f(x)cosxf(4)cos4，即gxg(4)，4x0时，xfxfx0成立的x的取值范围时（ ）A.(,1)(0,1) B.(1,0)(1,+) C. (,1)(1,0) D. (0,1)(1,+)【答案】A【解析】构造函数gx=f(x)x，则gx=xfxf(x)x2，因为当x0时，xfxfx0时，gx0，所以g(x)在0.+上单调递
19、减；又因为f(x)(xR)上是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(,0)上单调递增，且g1=g1=0.当0x0，则fx0；当x1时，gx0，综上所述，使得fx0成立的x的取值范围是(,1)(0,1).【变式8-1】已知f(x)在R上可导，且fx+fx=x2，若对任意x0，xfxfx12x2，试解不等式f(x+1)x+1f1x1xx【答案】(0,1)(1,+)【解析】当x0时，f(x)x+f(x)x=x，则f(x)xx2=fxx(x2)，记gx=f(x)xx2，则g(x)为偶函数，又gx=xfxf(x)x212，故对x0，gx0.所以，g(x)在(0,+)上单调递增，由原不等式变形得
20、，f(x+1)x+1x+12f1x1x1x2，则g1+xg(1x)，即g1+xg(1x)，故1+x1x，x0且x1.当x=0时，f(1)1f11=0，不符合原不等式，因此，不等式的解集为(0,1)(1,+).【变式8-2】设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f1=0，当时，则使得成立的的取值范围是（ ） 【解析】令当时，因为为上的奇函数且，所以，所以当时，当时，又因为，故为偶函数，当，当时，综上，的解集为【变式8-3】（1）是定义在上的非负可导函数，且，对任意正数，若则必有（ ） 【解析】，则应设，在上，函数，单调递减，因此，即（2）f(x)是定义在(0,+)上的非负、可导函数，且满足
21、xfxfx0，对任意正数a，若ab，则必有（ ）A.a2fbb2f(a) B. a2fbb2f(a) C. a2fab2f(b) D. a2fab2f(b)【答案】A【解析】设gx=fxx(x0)，则gx=xfxf(x)x2；因为xfxfx0，所以x0时，gx0，则函数gx=f(x)x在(0,+)上是减函数或者常函数；所以对任意正数a,b，若ab，则必有ga=f(a)agb=f(b)b.f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数，bfaafb0a0，两式相乘得1abfa1bafbb2faa2f(b).【变式8-4】设是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）A B
22、C D【答案】B【解析】设，则，当时，有恒成立，当时，在上单调递增，是定义在上的偶函数，即是定义在上的奇函数，在上也单调递增.又，.不等式的解可等价于即的解，或，不等式的解集为.故选：B.【类型9 fxf(x)型】【例9】已知f(x)是R上的可导函数，且任意xR，均有fxf(x)，则有（ ）A.e2019f2019e2019f(0)B.e2019f2019f0,f2019f0,f2019e2019f(0)D. e2019f2019f0,f2019e2019f(0)【答案】【解析】构造函数x=f(x)ex，则x=fxex=fxexexf(x)e2x=fxf(x)ex(0)，即f(2019)e20
23、19f(0)e0，e2019f2019f(0)；同理，20190，即f20190，比较f(1)与ef(0)的大小。【答案】f1ef(0)【解析】构造Fx=f(x)ex，则Fx=fxexexf(x)(ex)2=fxf(x)ex0，所以F(x)是R上的单调递增函数，因此F1F(0)，即f(1)ef(0)e0，f1ef(0).【变式9-2】已知定义在R上的可导函数的部分导函数为，满足且为偶函数，求不等式的解集.【答案】(0,+)【解析】设函数gx=f(x)ex1，则gx=fxexf(x)exe2x=fxf(x)ex0，所以函数gx=f(x)ex1是R上的单调递减函数。又y=f(x+1)为偶函数，f2
24、=1，所以，函数y=f(x)关于直线x=1对称且f0=f2=1，则fxex，即f(x)ex1f0e01=0，即gx0，即不等式fx0，且2fxxfx0，且xfx3f(x)x40且fxx30，则函数y=f(x)x2在(0,+)上单调递增，函数y=f(x)x3在(0,+)上单调递减，故f(2)22f(3)32，即827f(2)f(3)f(x)恒成立，且（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】3fxf(x)得3fxfx0，前面有系数3，应涉及到复合函数求导问题.构造函数x=f(x)e3x=f(x)e3x，得x=e3xfx3fxf(1)e3=e3e3=
25、1，所以f01；同理2(1)，即f2e6.【变式10-2】已知f(x)是定义在R上的偶函数，当时，若，则的解集为（ ）A.（-2,2） B. C. D.【答案】A【解析】由2fxex=2fxf(x)(e)x，而2fxfxex知：f(x)(e)x1=f(2)(e)2，在0,+)上有0xf(2)(e)2，可得2x0，综上，有2x0，且，则不等式xfx2020ex0的解集为_【答案】1,+)【解析】设gx=xf(x)ex，则gx=fx+xfxexxf(x)ex(ex)2=fx+fxf(x)xex，因为xfxfx+fx0，所以gx0，即g(x)在R上为增函数，且g1=f(1)e=2020.所以不等式xfx2020ex0xfxex2020gxg(1)，解得x1 13
