1、燕博园燕博园 20212022 学年度高三年级综合能力测试学年度高三年级综合能力测试（CAT） 数学数学（广东卷广东卷） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 | 20Axx ，2 |1Bx x，则AB （ ） A | 20 xx B | 21xx C | 10 xx D | 11xx 2已知复数12iz ，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 如图， 在长方体1111ABCDABC D中，4ABAD，12DD ， 则该长方体的外接球的体积为 （ ） A9 B12
2、 C36 D144 ABCDD1C1B1A1 4函数( )sin2xf x 的图象向左平移(0)k k 个单位长度后得到的函数的图象关于y轴对称，则k的值可以是（ ） A2 B C32 D2 5已知角与角的顶点都在坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，若角的终边与角的终边关于x轴对称，则一定成立的是（ ） Asinsin Bsincos Ccoscos Dcossin 6已知函数22 ,( )1,xxxaf xxxa，若( )f x有 3 个零点，则实数a的取值范围是（ ） A |01aa B | 10aa C | 11aa D |1a a 7已知A，B是圆22:4O xy上的两个动点，且OA
3、OB，则A，B两点到直线:40l xy 的距离之和的取值范围是（ ） A2,2 2 B2,3 2 C2 2,4 2 D2 2,6 2 8已知(0, 1)A，(1,0)B，O为坐标原点，点P为曲线exy 上的动点，且OPOAOB (e2.718为自然对数的底数，,R )，则的最大值是（ ） Ae 1 B1 e C1 D1 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知双曲线22:13xCy，则（ ） AC的焦点坐标为(2,0)和( 2,0) BC的渐近线方程为13y
4、x和13yx CC的离心率为2 33 DC与直线3:13l yx有且仅有一个公共点 10如图，P，Q分别是正方形ABCD的两边AB，AD上的动点，则一定成立的是（ ） AAP ACAQ AC BAP ADAQ AB CDP DABQ CD DDP DCBQ BA ACBDQP 11 甲、 乙两人进行乒乓球比赛， 比赛打满*2 ()Nk k局， 且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12 若某人获胜的局数大于k，则此人贏得比赛下列说法正确的是（ ） A1k 时，甲、乙比赛结果为平局的概率为14 B2k 时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为516 C在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k D随着k的
5、增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近12 12已知数列na的各项均为正数，1aa，2121nnnaaan下列说法正确的是（ ） A2104a B1nnaa C21111nnaan D数列1nnaa为递减数列 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13直线l过点(1,0)，且与抛物线24yx交于A，B两点若8AB ，则线段AB的中点M到y轴的距离是 14已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，且在(,0上单调递增，则关于x的不等式22()fxf x的解集是 15英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料提出假设“孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生
6、物总数成正比” ，并通过此假设于 1798 年给出了马尔萨斯人口方程0()0( )er t tN tN，其中0N为0t时刻的人口数，( )N t为t时刻的人口数，r为常数已知某地区 2000 年的人口数为 230 万，0.02r ，用马尔萨斯人口方程预测该地区 2035 年的人口数（单位：万）约为 (参考数据：ln20.7，ln31.1) 16如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，P为平面1DBA内的动点，且22AP 设直线BD与AP所成的角为，则当最小时，cos的值为 ABCDD1C1B1A1P 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或
7、演算步骤 17(本小题满分 10 分) 已知等差数列na和等比数列nb满足11a ，212ab （1）求na的通项公式； （2）从下列给出的三个条件、中选择一个作为已知条件，使得nb存在且唯一，并求数列nab的前n项和nS条件：38b ；24ba；2232aba 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 18(本小题满分 12 分) 某科研团队研发针对病毒的疫苗，并进行接种试验如果人体在接种疫苗之后的一定时期内产生了针对病毒的抗体，则称该疫苗有效该科研团队对其研发的疫苗A和疫苗B，分别进行了接种试验，然后在接种了疫苗A和疫苗B的人
8、群中分别随机抽取了部分个体，并检测其体内是否产生了针对病毒的抗体，获得样本数据如下： 抽取人数 其中产生抗体人数 接种疫苗 A 120 80 接种疫苗 B 100 80 （1） 从接种疫苗A的人群中任取 3 人， 记产生抗体的人数为X，用样本数据中产生抗体的频率估计概率，求X的分布列及其数学期望； （2）根据样本数据，是否有95%的把握认为疫苗A与疫苗B的有效性存在差异?说明理由 附：22()()()()()n adbcab cd ac bd 2()Pk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19(本小题满分 12 分) 在ABC中，角A，B，C所对的边
9、分别为a，b，c，满足sin3 (1 cos)aBbA （1）求A的大小； （2）若22cbbc，求sinC的值 20(本小题满分 12 分) 如图， 在等腰梯形ABCD中，/ABCD，E为线段CD的中点，122ABBCCD， 将DAE沿AE 折起到1D AE的位置，使得平面1D AE 平面ABCE （1）求证：1AED B； （2） 在线段1D B上是否存在点Q， 使得平面QAC与平面ABCE的夹角为60？若存在， 求出11DQD B的值；若不存在，说明理由 ABCDEEABCD1 21(本小题满分 12 分) 已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过1( 2,0)A 和(0,3)B两点，点2A为椭圆C的右顶点，点P为椭圆C上位于第一象限的点，直线1PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）比较1MNA的面积与2NA B的面积的大小，并说明理由 22(本小题满分 12 分) 已知函数( )e2()Rx af xxa （1）求证：( )f x仅有一个零点； （2）若1a，求证：215( )322f xxx
