1、北京科技大学数理学院北京科技大学数理学院 卫宏儒卫宏儒科学与工程计算科学与工程计算数值积分与数值微分数值积分与数值微分微积分学的创始人微积分学的创始人: : 英国数学家英国数学家 NewtonNewton德国数学家德国数学家 Leibniz Leibniz 引言在实际问题中，往往会遇到被积函数在实际问题中，往往会遇到被积函数f(x)的原函数的原函数无无法用初等函数来表示，或函数只能用表格表示，或有法用初等函数来表示，或函数只能用表格表示，或有的虽然能用初等函数表示，但太复杂，所以这些情形的虽然能用初等函数表示，但太复杂，所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式。都需要去建立定积分的近似计算
2、公式。 在数值积分方面，最容易得到的是用在数值积分方面，最容易得到的是用f(x)的代数插值的代数插值函数函数p(x)来代替它，即：来代替它，即： 将积分将积分 区区间细分，间细分，在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这是数值积分的基本思想是数值积分的基本思想。对替代函数的要求：对替代函数的要求： 1：精度要高。：精度要高。 2：计算量要小。：计算量要小。babadxxpdxxf)()(000( )()()limnnbikkiaikf x dxfxfxA求积系数求积系数求积节点求积节点上述公式称为上述公式称为数值求积公式数值求积公式。其中。其中仅与仅与0,1
3、,2,kAkn0,1,2,kxkn有关，而与被积函数 f x 无关。0nbkkakRffx d xAfx称 为 求 积 余 项 。一、代数精度的定义及确定:定义：定义：若求积公式若求积公式 ， 对一切不高于对一切不高于m m次的多项式都准确成立，而对于次的多项式都准确成立，而对于m+1m+1次多项式等号不成立，则称此公式的代数精次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为度为m m。 代数精度越高，公式越精确。代数精度越高，公式越精确。 代数精度的求法：代数精度的求法： 从从 依次验证求积公式是依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是否成立，若第一个不成立的等式是 ，则该求积公式，则该求
4、积公式的代数精度就是的代数精度就是 。0( )()nbkkakfx dxfxA231,fxxxxmx1m二、牛顿二、牛顿柯特斯求积公式（等距结点）柯特斯求积公式（等距结点）将积分区间将积分区间a,b n等分，其节点等分，其节点xk为为 xk=a+kh, k=0,1,2,n 式中式中h=(b a)/n。在。在n+1个节点上建立插值于个节点上建立插值于f(x)的的n次代数多项式（拉格朗日插值公式）次代数多项式（拉格朗日插值公式）Pn(x)，并并引进变换引进变换则有则有nt 0thaxnnnn0000tP (x)() ()()kjknkkkjjj kj kjjf xfkjxxxx()kkffx于是插
5、值型积分公式为: babandx)(Pdxf(x)x0nkkkAfxnnn000bat()nkkjjkjdtfkj(1.1)()00()knnnkjjkAbatjdtba Cnkj()00001dt1()!()!nnnkjjknknnjjktjCnkjtj dtknkn这里这里: 001nnkknkkbabCaCn故对每一个 有： 几个常用的Newton-Cotes公式柯特斯系数n1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 下面分别考虑几种特殊请况。( )0( )()()nbnkkakf x d
6、xbaf xC（一）梯形公式（一）梯形公式若积分区间若积分区间x0,x1两端点处的函数值两端点处的函数值f0,f1为已知，可应用线性插为已知，可应用线性插值公式值公式P1(x)在区间在区间x0,x1上的积分来近似上的积分来近似,这就是这就是(1.1)式中式中n=1的的情况。当情况。当n =1时，时，C0(1)=1/2，于是有，于是有 (1.2) (1.2)式称为式称为梯形公式梯形公式。积分的这种近似计算方法称为梯形法则。积分的这种近似计算方法称为梯形法则。它的几何意义是用四边梯形它的几何意义是用四边梯形x0 ABx1的面积的面积(x1 x0)(f0+f1)/2代代替曲边梯形的面积替曲边梯形的面
7、积 。 110001( )()2xxxxf x dxff10( )xxf x dxxy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0 x1图1.1当n=1时，为梯形公式:( )( ( )( )2bab af x dxf af b（二）辛普生（二）辛普生(Simpson)(Simpson)公式公式如果已知步长的三个等距节点如果已知步长的三个等距节点x0 x1p k-1p2p10,a i(i=1,2, )都是都是与与h无关的常数，也就是说，无关的常数，也就是说，F1(h)逼近逼近F*的阶是的阶是hp1 ，现在提出的问题是能否通过构造出一个新的，现在提出的问题是能否通过构造出一个新的序列，它逼近序列，
8、它逼近F*的阶要比的阶要比hp1更高，如为更高，如为hp2 。 将将(1)中的中的h用用qh来代替，来代替， q 0， 则有则有F*-F1(qh)=a1(qh)p1+a2(qh)p2+a k(qh)pk+现在用现在用hp1乘乘(1)的两边后和上式相减的两边后和上式相减,整理得整理得 (1-qp1)F*-(F1(qh)-qp1F1(h) =a2 (qp2 - qp1)hp2+a k(q p k- qp1 ) h p k+因为因为(1-qp1)不等于零，用不等于零，用(1-qp1)除等式两边有除等式两边有 F* -F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1=a2(2)hp2 +a k(2)h pk+
9、 （2）a2(2)= , . . . ,a k(2) = , . . .都是与都是与h无关的常数，令无关的常数，令 F2(h)= (3) 那么那么F2(h)逼近逼近F*的误差由的误差由(2)知道为知道为hp2. 依依次做下去次做下去,计算公式为计算公式为 F m+1(H)= ， m=1,2, . . . (4)a2(qp2-qp1)1-qp1a k(q p k-qp1)1- qp1F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1F m(qh)-q p m F m(h)1-q p m其中：用归纳法容易证明，由用归纳法容易证明，由(4)(4)得到的得到的F Fm m(h)(h)逼近逼近F F* *的误差为
10、的误差为 上面的这种方法，称为上面的这种方法，称为RichardsonRichardson外推法。外推法。 11111mkmmppmmkFFhahah1mkah其 中是 与无 关 的 常 数 。Romberg求积公式 注：注： 外推法不只用在积分的计算，也可用于计算外推法不只用在积分的计算，也可用于计算其他量，只要能把该量看成其他量，只要能把该量看成f(h)当当 h 0时的极限时的极限为为f(0),而而f(0)不易直接计算，要通过不易直接计算，要通过hi序列对序列对应的函数值序列应的函数值序列f(hi)来外推。来外推。 如果如果f(h)有类似的展式，即有类似的展式，即 f(h)= 则一切的算法
11、和讨论可类似进行，更一般地设为则一切的算法和讨论可类似进行，更一般地设为 f(h)= 其中其中 0r1r2rm，ri不必是整数不必是整数， I是是不依赖于不依赖于h的常数，的常数， 0= limf(h)，可以类似地推可以类似地推出外推计算公式出外推计算公式。 .)(2212mmmmhhh42210hh21210hh.11mmhhmm例：单位圆内接正n边形的面积为 S= sin 设h=2/n,当n 有h 0可以类似地推出外推计算公式。 解:将S与h的关系写成 S(h)= 。 当h 0时,S(h)的极限是，即单位圆的面积。将S(h)作Taylor展开： 2nn2hhsin4523!5! 3)(hh
12、hS 即即S(h)S(h)有如上展式的形式，注意有如上展式的形式，注意 是无理数是无理数，所以可按所以可按RombergRomberg算法计算积分的过程来计算算法计算积分的过程来计算 到到任意精度。任意精度。 取取n=6,12,24,n=6,12,24,即即h=1/3,1/6,1/12,h=1/3,1/6,1/12,这时这时S(h)S(h)值很容易计算。经过计算值很容易计算。经过计算S(h)S(h)及两次外推法，可及两次外推法，可计算出计算出S(0)= S(0)= 的近似值。的近似值。 取更多的取更多的h h值外推过程还可继续下去。我国值外推过程还可继续下去。我国古代数学家刘徽在公元古代数学家
13、刘徽在公元263263年就是用这种年就是用这种“割圆割圆术术”加上特殊的外推技巧，计算得加上特殊的外推技巧，计算得 3.14163.1416。 例例1 1：取取 =0.00001,=0.00001,用龙贝格方法计算积分用龙贝格方法计算积分I= dx41+x201 1001122111121020223244 3.1 34 133.133,33344 3.1311763.1000004 133.141,568416 3.1415683.13333341153.142118TTTTTTTTT 4321113212112111212483.13898841 43.141592iiTTfTTT 212
14、12232103033434143 .1 4 1 5 9 44143 .1 4 1 5 9TTTTTT例例2:2:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分, ,并做比较并做比较令I= 各种做法比较如下：各种做法比较如下： （1）、Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 当当n=1时：即用梯形公式，时：即用梯形公式，I=0.9270354 当当n=2时：时：即用即用Simpson公式公式，I=0.9461359 当当n=3时：时：I=0.9461090 当当n=4时：时：I=0.9460830 当当n=5时：时：I=0.9460831dxxx10sindxxx10s
15、in94569086. 0) 1 ()7()(2)0(2sin10fhfhffhdxxx（2 2）用复化梯形公式：）用复化梯形公式： 令令h=1/8=0.125h=1/8=0.125（3 3）用复化抛物线）用复化抛物线 令令h=1/8=0.125h=1/8=0.12510sin(0)4( )(7 )32(2 )(6 )(1)0.946083305xhdxff hfhxfhfhf （4） RombergRomberg公式（公式（P218P218） K T1 T2 T3 T4 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.940
16、0830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831比较 此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831.0.9460831. 由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知：对对Newton-cotesNewton-cotes公式，当公式，当n=1n=1时只有时只有1 1位有效数位有效数字，当字，当n=2n=2时有时有3 3位有效数字，当位有效数字，当n=5n=5时有时有7 7位有位有效数字。效数字。对复化梯形公式有对复化梯形公式有2 2位有效数字，对复化抛物位有效数字，对复化抛物线公式有线公式有6 6位有效数字。位有效数字。用复合梯形公式，对积分区间
17、用复合梯形公式，对积分区间00，11二分了二分了1111次用次用20492049个个函数值，才可得到函数值，才可得到7 7位准确数字。位准确数字。用用RombergRomberg公式对区间二分公式对区间二分3 3次，用了次，用了9 9个个函数函数值，得到同样的结果。值，得到同样的结果。外推法在数值微分中的应用总结 1 1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用抛物
18、线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。非常广泛。 2 2：RombergRomberg求积方法，算法简单，当节点加密求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。处。并有比较简单的误差估计方法。 3:3:外推法不仅用于计算积分的近似值，而且可外推法不仅用于计算积分的近似值，而且可以作为一般方法用于类似问题的解决，比如用以作为一般方法用于类似问题的解决，比如用来进行微分的数值计算等。来进行微分的数值计算等。 作业作
19、业9：牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家伟大的英国数学家 , 物理学家物理学家, 天文天文学家和自然科学家学家和自然科学家. 他在数学上的卓越他在数学上的卓越贡献是创立了微积分贡献是创立了微积分. 1665年他提出正年他提出正流数流数 (微分微分) 术术 ,次年又提出反流数次年又提出反流数(积分积分)术术,并于并于1671年完成年完成流数术与无穷级数流数术与无穷级数一书一书 (1736年出版年出版). 他他还著有还著有自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理和和广义算术广义算术等等 .莱布尼兹(1646 1716)德国数学家德国数学家, 哲学家哲学家.他和牛顿同为他和牛顿同为微积分的创始人微积分的创始人 , 他在他在学艺学艺杂志杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计系统地阐述二进制计数法数法 , 并把它与中国的八卦联系起来并把它与中国的八卦联系起来 .
