1、中心投影无穷远元素齐次坐标对偶原则Desargues定理齐次点坐标复元素齐次线坐标主要内容：主要内容：附带内容：附带内容：2. 1. 1 中心射影中心射影 2.1. 2 无穷远元素无穷远元素2. 1. 3 一维、二维射影空间一维、二维射影空间2. 1. 4 图形的射影性质图形的射影性质 2.1.1 中心投影中心投影定义定义2.1 :ll记OP 投射线P l 上的点P在l上的像P l 上的点P 在l上的像O点 不属一、平面上两直线间的中心射影一、平面上两直线间的中心射影 ll设直线和为平面上两条不同的直线， ()OOll 投射中心 点ll于 和 ，Ol从 投射到 的中心投影。OlPPlABBAP
2、l是 上的一点，,PlP连接交 于点PP称点是点XOV 与l不相交， V 为l上的影消点影消点影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射双射(一一对应一一对应)。X=ll 自对应点(不变点)OU与l 不相交， U 为l上的影消点影消点三个特殊的点：三个特殊的点：因此 ，1: l l 是 l 到 l 的中心射影中心射影OlPUPlVXOP 投射线O投射中心二、平面到平面的中心射影二、平面到平面的中心射影定义定义2.2 : 记设和为空间两个不同的平面，和，O从 投射到的中心投影。O点 不属于() (O射心）OPPMAAxaaP 上的点P 在上的像P是 上的一点，,PP连接交于点PP称点是点a
3、P 上的点P在上的像OPPxuUvVaa因此 ，:1是 到的中心射影三条特殊的直线：三条特殊的直线： 自对应直线(不变直线)x, , /uUu OU， u为由影消点影消点构成的影消线影消线, , /vVvOV， v 为由影消点影消点构成的影消线影消线注：注：影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射（一一对应双射（一一对应)。 :ll 即和均不是双射（一一对应）。中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点， 平行的平面没有交线。如何使得中心射影成为一个双射(一一对应)？给平行线添加交点！例：求一个中心射影将任意一个三角形射影成等腰三角形。AB
4、C设为平面 上的任意一个三角形，解：ABCAMOmBC过边任作一个平面与 不同，,BCm在 内作的垂直平分线(mABC在 上任取一个点不在上），AA连接，AA在直线上O取定一个点 ，OOA则以 为射心，为投射ABC线的中心射影必将射影.A BC为平面上的等腰三角形目标：改造空间，使得中心射影成为双射途径：给平行直线添加交点要求：不破坏下列两个基本关系两条相异直线确定唯一一个点(交点)两个相异点确定唯一一条直线(连线)点与直线的关联关系 2.1.2 无穷远元素无穷远元素一、无穷远点一、无穷远点为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点有穷远点(普通点普通点)， (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点
5、相同, 约定一：约定一： (1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点，此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点无穷远点(理想点理想点)，记作P不平行的直线上添加的无穷远点不同.注：注：1）无穷远点实际上是二维空间中平行直线的交点。记作P2）由于平面内有无数多组平行线，因此一个平面内有无数多个无穷远点。例：一条直线和它的平行平面相交于一个无穷远点。证明： 如图，/,l设 ,A在上任取一点 ,Al则 与确定平面,A与有公共交点,m它们必有公共直线 .lm由约定一，与有唯一公共无穷远点 A又由于是上任一点，mAll所以这个公共的无穷远点即为 与的交点。/.lm且二、无穷远直线二、无穷远直线区别起见，
6、称平面上原有的直线为有穷远直线有穷远直线(通常直线通常直线)，l约定二：约定二： 按约定一的(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线无穷远直线(理想直线理想直线)，记作l无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线注：注：即 空间中任意一组平行平面交于一条无穷远直线。推导：, l在组中的一个平面内任取一条直线,lP设 上的无穷远点为 l过作一个平面与组中其它平面必相交于,一组平行线此组平行线有公共的无,P穷远点P于是必在此组平行平面的每一个平面上. l由于所取直线的任意性，所以此组平行平面必有无数多个其轨迹为一条无穷远直线，即 一组平行平面必相交于一条无穷
7、远直线。公共的无穷远点，123Pl理解约定一理解约定一1、对于平面上每一方向，有唯一无穷远点. 平行的直线交2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.4、不平行的直线上的无穷远点不同. 于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.总结：总结：线的关联关系，同时使得中心射影成为双射（一一对应）.在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直两直线平 行不平行交于唯一无穷远点有穷远点平面上任二直线总相交5、空间中每一组平行直线交于唯一无穷远点.6、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点.因而，对于通常直线：理解约定二理解约定二1、无穷远直线为无穷远点
8、的轨迹. 无穷远直线上的点均为2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.线上的无穷远点.过同一条无穷远直线的平面相互平行。两平面平 行不平行交于唯一无穷远直线有穷远直线空间中任二平面必相交于唯一直线因而，对于通常平面： 定义定义2.3添加无穷远直线后的平面称为仿射平面仿射平面;在仿射直线上不区分有穷远点和无穷远点，则这条直线称添加无穷远点后的欧氏直线统称为仿射直线仿射直线；一、射影直线和射影平面的定义一、射影直线和射影平面的定义若在仿射平面上不区分有穷远
9、线和无穷远线，则这个平面称为射影平面（拓广平面）射影平面（拓广平面） 2.1.3 射影直线和射影平面射影直线和射影平面为射影直线射影直线(拓广直线）拓广直线）.(1) 拓广直线的封闭性拓广直线：向两方前进最终都到达同二、射影直线、射影平面的基本性质及模型二、射影直线、射影平面的基本性质及模型欧氏直线：向两个方向无限伸展1、射影直线、射影直线(拓广直线拓广直线)定理定理2.1 (1) 两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线；在拓广平面上, 点与直线的关联关系关联关系成立：(2) 两条相异的拓广直线确定唯一一个拓广点.一个无穷远点P(2) 射影直线在欧氏平面的模型为圆注：注：通常点和无穷远点统称为拓
10、广点拓广点；添加无穷远点之后的直线和无穷远直线统称为拓广直线。拓广直线。(3) 拓广直线上点的分离关系欧氏直线：一点区分直线为两个部分。拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。拓广直线：不同的两点把直线分成两条线段，其中一条含无穷远点，另一条不含无穷远点。点偶A,B分离点偶C,D点偶A,B不分离点偶C,D(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域2、射影平面、射影平面(拓广平面拓广平面)(1) 拓广平面的封闭性从两个方面理解：(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域在拓
11、广平面上，可以证明：I，II为同一区域III，IV为同一区域(2) 拓广平面的拓扑模型Mbius带注：注： 默比乌斯带（ Mbius带）是射影平面的一部分。默比乌斯带的作法：默比乌斯带的作法： , ABA BAABB 如图，把长方形带扭转，使 与粘合与粘合，这样所得的单侧曲面为默比乌斯带，ABAB其边界为一条封闭曲线。三、射影基本形三、射影基本形1、一维基本形 (1) 点列点列记号l(A,B,C,) 或 l(P)底元素(1) 线束线束记号L(a,b,c,) 或 L(p)线束中心元素同一直线上点的集合平面上过同一点的直线的集合2、二维基本形(2) 点场点场 (2) 线场线场称为点场的底底，称为线
12、场的底底，同一平面上点的集合同一平面上直线的集合其上的点称为元素元素.其上的直线称为元素元素.3、一对重要的基本图形不共线三点及其两两连线构成的图形三线形三线形 三点形三点形不共点三直线及其两两交点构成的图形顶点：A, B, C边：BC, CA, AB显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变边：a, b, c顶点：bc, ca, ab记号：记号：三点形ABC记号：记号：三线形abc 2.1.4 图形的射影性质图形的射影性质一、透视对应一、透视对应二、射影不变性和射影不变量二、射影不变性和射影不变量引进无穷远元素以后，便可以通过中心射影建立直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对
13、应透视对应。 定义定义2.4： 同样，以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应，也称为透视对应透视对应。定义定义2.5： 经过一切中心射影(透视对应)后图形所具有的不变性和不变量，叫做图形的射影不变性和射影不变量射影不变性和射影不变量。 注：注：1）同素件，结合性都是射影不变性。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图形不具有射影性质。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所以我们说圆锥曲线具有射影性质。由于射影对应保持结合性不变，12 Pll所以影消点的对应点为 与 的交点， P即点。12ll由于 与 相交于无穷远点，PPO
14、1lm2l2l1l经中心投影后， 例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。证明：12,l lmP设平面上二直线相交于影消线 上一点1212llll与 的对应直线分别为 与 ，12/ll所以lOBACABCabcl()ACOAABCBCOB于是， ，()1()1ABCA B C 所以， ， 反例： ( , ),abcOca b设三直线 、 、 交于 点， 平分, ,llA B CA B C直线 与 分别交三直线于与，例2：单比不是射影不变量。()A COAA B CB COB ，OAOBOAOB并使 且 ，()()ABCA B C 即， 1) 透视对应不保留平行性.(由例1)2) 透视对应不保留两点距离不变。（由例2）注：注：3）透视对应不保留二直线间的夹角不变。（由例1） 因此单比不是射影不变量。图形的射影性质图形的射影性质射影性质射影不变性射影不变量图形在一切中心射影下保持不变的性质和数量目前已知的射影性质：目前已知的射影性质：射影不变性：点与直线的关联关系(结合性)；同素性；结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变射影不变量： 有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的同素性：点 点；直线 直线
