1、参考书：1.应用随机过程，林元烈编著，清华大学出版社；2.随机系统分析引论，盛昭瀚，东南大学出版社；3.随机过程，伊曼纽尔、帕尔逊著，邓永录、杨振业译，高等教育出版社；4.随机过程，Sheldon M1.Ross著。第一章 预备知识预备知识 简要回顾一下概率论中与本课程有关的基本概念：随机试验、样本空间、事件、概率、随机变量、概率分布、数字特征等。一、基本概念v试验结果事先不能准确预言，三个特征:可以在相同条件下重复进行；每次试验结果不止一个，可预先知道试验所有可能结果；每次试验前不能确定那个结果会出现。样本空间随机试验所有可能结果组成的集合，记为随机事件样本空间的子集A称为随机事件，用A、B
2、、C表示1.1 概率空间概率空间随机试验注：由于事件是集合，故集合的运算（并、交、差、上极限、下极限、极限等）都适用于事件。称 为必然事件，W样本空间 也是一个事件，W空集 称为不可能事件。F注：所谓某个事件在 试验中是否出现，当且仅当该事件所包含的某个样本点是否出现，因此一个事件实际上对应于的一个确定的子集。事件的概率论运算 子集的集合论运算。 在实际问题中，并不是对所有的事件样本空间（的所有子集）都感兴趣，而是关心某些事件（的某些子集）及其发生的可能性大小（概率）。 为了数学上处理方便，我们常要求这些子集组成的类具有一些基本性质（即对事件需加一些约束） 代数（事件族）二、;).1(FW定义
3、1.1设样本空间 的某些子集构成的集合记为F，如果F满足下列性质：eWFAAW ，则若FA).2(.,2, 1,).3(1FAkFAkkk 则若F中的元素称为事件。则称F为 代数（Bord事件域），称为可测空间),(FW例如，例如，包含包含A的最大的的最大的 代数是代数是 的一切的一切子集组成的集类子集组成的集类W对于某个事件对于某个事件A A包含它的包含它的 代数不是唯一的代数不是唯一的而包含而包含A的最小的的最小的 代数则是：代数则是：,FWAA注：注：F F（）表示由）表示由的子集全体构成的集合类，的子集全体构成的集合类，显然满足上述定义的（显然满足上述定义的（1）（3），但这个族常），
4、但这个族常常显得太大以致对于某些样本空间而言不可以在常显得太大以致对于某些样本空间而言不可以在这样的族上定义满足三条公理的概率函数这样的族上定义满足三条公理的概率函数)(P。 为了建立概率的数学理为了建立概率的数学理论通常只需把事件族论通常只需把事件族取为具有定义（）（）中并包含了我们感取为具有定义（）（）中并包含了我们感兴趣的所有集合的的最小子集族。兴趣的所有集合的的最小子集族。三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义 为了完成随机现象的数学描述，还要规定随机事件族上的概率函数即对中的每个事件要定义一个称作为的概率的数 ，作为事件A的函数必须假定满足三条公理。)(P)(AP非负性；1)(0,
5、) 1 (APFA有对规范性；1(2W）（P,)3(21AA若两两互不相容，即)(jiAAjiF有11)()(kkkkAPAP则称P为（，F）上的概率，（，F，P）称为概率空间，P（A）为事件A的概率。定义1.2：设（，P）是可测空间 是定义在F上的实值函数，如果 满足)(AP)(AP由此定义出发，可推出概率的其它一些性质：; 0)()4(FP)()(),()()(,)5(APBPAPBPABPBAFBA且则若即概率具有单调性；211121)()()(, 2 , 1,)6(limAAAPAAAPAPnFAiiiinnn若若则设1,1nAAnn当新事件：1limiinnAA1,1nAAnn当1l
6、imiinnAA连续性定理条件概率v在事件B已发生这一条件下，事件A发生的概率。)()()|(BPBAPBAP全概率公式v若有N个互斥事件Bn（n=1,2,N），它的并集等于整个样本空间，则NiiiBPBAPAP1)()|()(四、几个重要公式四、几个重要公式加法公式)()()()(,ABPBPAPBAPFBA则若v设事件A1，A2，An构成一个完备事件组，概率P(Ai)0,i=1,2,n,对于任何一个事件B，若P(B)0, 有NiiiiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(贝叶斯公式独立事件)()()(BPAPBAP1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布一、一维随机变量
7、及其分布函数一、一维随机变量及其分布函数由于数学分析不能直接利用来研究集合函数，这样影响对随机现象的研究。解决这个问题的方法，主要是设法在集合函数与数学分析中所研究的点函数间建立某种联系，从而能用数学分析去研究随机现象。X(e)就是一个函数，它把样本点映射到实数轴上，随机变量就是从原样本空间到新样本空间的一种映射，我们通常把这样一种对应关系称之为在概率空间上的一个随机变量。下面我们给出随机变量的数学定义。定义定义1.4：设（：设（ ，F，P）是概率空间，）是概率空间，X=X(e)是定义在是定义在上的实函数，如果对任意实数上的实函数，如果对任意实数x，e:X(e) x F，则称，则称X(e)是是
8、F上的随机变量。上的随机变量。事件随机变量离散型随机变量离散型随机变量：只取有限个数值或可列无穷多个值。只取有限个数值或可列无穷多个值。连续型随机变量连续型随机变量：从原样本空间到新样本：从原样本空间到新样本空间的映射是某一个范围，是一段（或几空间的映射是某一个范围，是一段（或几段）实线（也可能是整个坐标轴），随机段）实线（也可能是整个坐标轴），随机变量可以取值于某一区间中的任一数。变量可以取值于某一区间中的任一数。分布函数（一个描述随机变量取值的概分布函数（一个描述随机变量取值的概率分布情况的统一方法）率分布情况的统一方法）xxeXePxF),)(:()( 。xFxFxFxFxFFxFF；x
9、FxF，xxxF：xFxx0,3; 10, 1lim, 0lim2:12121即右连续有时即当是非降函数具有下列性质分布函数离散型随机变量离散型随机变量X的概率分布用分布律描述：的概率分布用分布律描述：,2 , 1,kpxXPkk:)(描述的概率分布用密度函数连续型随机变量xfX xxkkpxF:分布函数 dttfxFx分布函数为：离散型随机变量的概率分布用分布列描述01分布二项分布泊松分布qXPpXP)0(,)1(nkqpCkXPknkkn2,1 ,0,)(,2,1 ,0,!)(kekkXPk连续型随机变量的概率分布用概率密度描述均匀分布正态分布指数分布其它,0,1)(bxaabxfxexf
10、ax,21)(222)(0,00,)(xxexfx随机变量函数的分布随机变量函数的分布在给定某任意的随机变量X，以及它的概率分布函数FX(x)，希望进一步求出给定的随机变量的某些可测函数（如Y=g(X)）的概率分布函数。非线性放大器YXY的概率分布函数公式为),)(:()(XYeyXgePyFW如果上式右端概率的导数对于y处处存在，那么这个导数就给出了随机变量Y的概率密度),)(:()(XYeyXgePdydyfW二、二、n维随机变量及其分布函数维随机变量及其分布函数定义1.5 设（ ，F，P）是概率空间，X=X(e)（X1(e),Xn(e)）是定义在上的n维空间Rn中取值的向量函数。如果对于
11、任意x=(x1,xn) Rn，e:X1(e) x1,Xn(e) xn F，则称X=X(e)为n维随机变量。称为X=(X1,X2,Xn)的联合分布函数 nniiinnnxXePxeXxeXxeXePxxxFxF:,:,22112 .1:,21具有下列性质维联合分布函数nxxxFn ；xxx，Fxxxxnni是非降函数对于每个变量,12121 ；aaaF，bbabbabbFbbabbFbbbFniba，bababa，Rnnjijinjjjiiininiiiniinnn0,1, 1,;,;,3211,111111111212211其中中的任意区域对于 ；xxx，Fxxxxnni是右连续的对于每个变量
12、,22121率中任一超长方体中的概落在nRX 1,01,lim, 2 , 1, 0,lim421212121nnnixxxFxxxFxxxnixxxxFxii三、边缘分布三、边缘分布若二维联合分布函数中有一个变元趋于无穷，则其极限函数便是一维分布函数，对于这种特殊性质，我们称其为边缘缘分布。),(),()()(yFyYXPyYPyFY对于任意两个随机变量X,Y，其联合分布函数为：),(yxF则：分别称FX(x)和FY(y)为 关于X和关于Y的边缘缘分布函数。),(yxF),(),()()(xFYxXPxXPxFX离散型随机变量（X，Y）边缘缘分布律计算如下连续型随机变量（X，Y）边缘缘概率密度
13、计算如下dyyxfxfX),()(, 2 , 1,)(1ippxXPjijii, 2 , 1,)(1jppyYPiijjjdxyxfyfY),()(相互独立的随机变量相互独立的随机变量设X，Y是两个随机变量，若对任意实数x，y有)()()()(),(yYPxXPyYxXPyYxXP则称X，Y为相互独立的随机变量。若X，Y为相互独立随机变量，则有)()(),()()(),(yfxfyxfyFxFyxFYXYX联合密度边缘密度边缘密度联合密度四、条件分布四、条件分布)()()|(BPBAPBAP)()()|()|(|BPBxXPBxXPBxFBX)(),()|(|yfduyufyYxFYxYX条件
14、概率条件分布函数两边对x微分)(),()|(|yfyxfyxfYYXxYXYXduyufyYxF)|()|(|1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征v随机变量的数学期望v随机变量函数的期望值v方差v协方差v相关系数v独立与不相关一、斯蒂尔吉斯积分（补充）一、斯蒂尔吉斯积分（补充）1.有限区间上的斯蒂尔吉斯积分 bxxxa，nba，baxgxfn100,分点为个子区间分成把区间有界函数上的两个是定义在区间设定义nkxxkk1,max1令 111,kkknkkkkxgxgfSxx作和式上任意取一个点在每一个子区间 .,Stieltjesbaxgxf的斯蒂尔吉斯积分上在区间对函数则称此极限为函
15、数 xdgxfba记为 。Sx，xg，SS积分就变成黎曼积分则如果取推广黎曼积分的积分是高等数学中积分简称 ，xgxgfSnkkkk存在如果极限1100limlim，k的取法无关且与子区间的分法和2.无限区间上的无限区间上的S积分积分 ，Sxgxf，ba，xgxf可积的是对上若在任意有限区间的两个函数上是定义在无限区间设定义, ，xgxf的斯蒂吉斯积分上在无限区间对则称此极限为, 存在且极限babaxdgxflim xdgxf记为 级数积分可化为通常积分或取一些特殊形式时当在积分中，xg，. 3 ，xx，xg个有限多个或无限可列多跃点为它的跳上的阶梯函数是在若,21积分化成黎曼积分。后者把积分
16、化为和式前者把S，S kkkkxgxgxfxdgxf：00则 xg，xg它的导函数为上的可微函数是在若, dxxgxfxdgxf则 的数学期望或均值。为则称，若的分布函数为设随机变量定义XxxdFEXxdFxxFX左边的积分称为斯蒂吉斯积分, 2 , 1,kpxXP，Xkk分布律为为离散型随机变量若1kkkpxEX则 xf，X概率密度为为连续型随机变量若 dxxxfEX则二、数学期望二、数学期望随机变量函数的期望值随机变量函数的期望值已知随机变量X的数学期望值，求随机变量函数Y=g(X)的数学期望，dxxfxgdyyyfXgEYEXY)()()()()(对于多维随机变量维连续函数是的联合分布函
17、数为维随机变量若nXXXgXXXFXXXnnnn,212121nnnxxxdFxxxgXXXgE,212121设X1,X2, ,Xn为随机变量，求随机变量函数Y=a1X1+a2X2+anXn的数学期望。)()()()()()()()(221122112211nnnnnnXEaXEaXEaXaEXaEXaEXaXaXaEYE已知随机变量X1和X2，求随机变量函数YaX1+bX2的数学期望)()(),(),(),()()(212121221211212121XbEXaEdxdxxxfxbdxdxxxfxadxdxxxfbxaxYE加权和的期望等于加权期望的和求数学期望是线性运算数学期望的线性运算不
18、受独立条件限制已知随机变量X1和X2，求随机变量函数Yg1(X1)g2(X2)的数学期望 21212211),()()(dxdxxxfxgxgYE假设两个随机变量X1和X2相互独立，则有)()(),(212121xfxfxxfXX因此，有)()()()()()()()()()(211122221111212122112121XgEXgEdxxfxgdxxfxgdxdxxfxfxgxgYEXXXX EYEXXYE，YX则相互独立特别若 ,三、方差（随机变量取值的离散程度）的方差为则称若是随机变量设定义XEXXEDX，EX，X2222EXEX：DX计算公式XDX 标准差为常数则相互独立若baDYb
19、DXabYaXD，YX,22四、协差与相关系数的协方差为则称是随机变量设定义YXEYYEXXEBEYEXYXXY,9 . 122大小之间的线性相关程度的，表示相关系数YXXY)()()()(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov引入一个描述两个随机变量相关程度的系数DYDXYXCovdefXY),(XY称为归一化的协方差系数或相关系数。11XY若XY0，则称随机变量X和Y不相关。五、五、K阶原点矩、阶原点矩、k阶中心矩阶中心矩随机变量X，若E|X|k，称EXk为k阶原点矩。1)()(iXkikikdxxfxxXPxXE离散随机变量连续随机变量又若EX存在，且E|X-EX|k ，称)(kX
20、EXE为X的k阶中心矩。1)()()()()(iXkikikdxxfXExxXPXExXEXE离散随机变量连续随机变量一阶原点矩就是随机变量的数学期望，)(xxdFEX数学期望大致的描述了概率分布的中心。二阶中心矩就是随机变量的方差，2)(EXXEDXdef方差反映随机变量取值的离散程度。01分布泊松分布正态分布数学期望和方差（见表11）中心化的两个随机变量X-EX，Y-EY的互相关矩称为随机变量X和Y的协方差，)()()()(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov协方差是描述随机现象中，随机变量X和Y概率相关的程度。统计独立不相关0)(),(YEXEXYEEYYEXXEYXCov统计独
21、立不相关设Z是一个随机变量，具有均匀概率密度其它,020,21)(zzfZ令X=sinZ，Y=cosZ，求随机变量X和Y是否相关，是否独立？1.4 1.4 特征函数、母函数特征函数、母函数 数学特征只反映了概率分布的某些侧面，一般并不能通过它们来确定分布函数，这里将要引进的特征函数，既能完全决定分布函数而又具有良好的分析性质。一、复随机变量., F,上的实值随机变量都是概率空间与如果PYXWiEYEXEZ数学期望为复随机变量则称iYXZ对复随机变量也可以平行于实随机变量建立起一系列结果。是相互独立的若例如nZ，ZZ,21nnEZEZEZZZZE2121则二、特征函数二、特征函数 的特征函数为称
22、的分布函数为设随机变量定义XxxdFeeEtgxFXitxitX必然存在。故随机变量的特征函数由于的复值函数，的特征函数是一个实变量, 1itxet对离散型随机变量，若其分布律为 12 , 1,kkkpetgkpxXPkitxk，则 xf，若其分布密度函数为对于连续型随机变量 dxxfetgitx则 的付里叶变换。特征函数是密度函数这时xf， 有反演公式的条件下在积分理论根据dttg，F dttgexfitx21三、特征函数的性质三、特征函数的性质 tgtg，tgg1, 101 110 xdFg证： tgxdFexdFetgitxitx 01gxdFetgitx 上一致连续在特征函数,2tg
23、ttghtgh，ttg有时当无关的与总上一致连续：在所谓0, 0, xdFhxxdFxdFexdFxdFexdFeetghtg：AAAxAAihxAxihxitxxhti2sin22121证 。，h，xdFAtAx从而证明了结论第二个积分也任意小可使然后选充分小的任意小使无关，可选足够大的上式右边已与 kkknEXignk，ntgX，EXnX03时且当次可微分特征函数的则存在阶矩的若随机变量kitxkkitxkkxexiedtd证： xdFx，kXk故阶矩存在的由于因而可作下理积分号下的微分 xdFexixdFedtdtgitxkkitxkkk kkkEXigt0, 0 即得取此性质使我们可以
24、方便地求得随机变量的各阶矩 ：ZZZtttn，tgnn有和复数及任意实数即对任意正整数是非负定函数,4212102111111,nkkXitnknllXitkXitknknllknlklkZeEZeZeEZZeEZZttgklklXltkti证：01,lZZttgknlklk ：XXXX，XXXnn的特征函数为则是相互独立的随机变量若2121,5 tgtgtgtgnXXXX21)( n，iXtgiXi, 2 , 1的特征函数是随机变量其中也相互独立所以复随机变量相互独立因为证nitXitXnee，X，XX：,121 tgtgeEeEeeEeEeEtgnnnnXXitXitXitXitXXXXi
25、titX11121所以 atgetgbabaXYXibtY则为常数设,6 atgeeEeeEeEt：gXitbitaXitbbaXititYY证明（7）特征函数与分布函数是相互唯一确定的 dttgiteexFxF，xFxxtgxF：TTitxitxT2121lim,1221则的连续点是又为的特征函数设分布函数逆转公式证略唯一性定理： 分布函数由其特征函数唯一决定 有时的连续点趋于沿当上的每一连续点在应用逆转公式证，xFy，xF，： dttgiteeyFxFxFTTitxityTyy-limlim21lim而分布函数由其连续点上的值唯一决定不连续点利用右连续性 有下列更强的结果是绝可积函数时特别
26、当，tg 而且的导数存在连续则相应的分布函数若定理，xF，dttg： dttgexfxFitx21)(dxexftgitx)()(即在特征函数绝对可积的条件下，概率密度与特征函数构成一对付氏变换。 的连续点是及若由逆转公式证明xFxx，： TTitxTdttgetxFxFtsin1lim则 TTitxTdttgettxFxFsin21lim2因此 tgtgettitxsin由于因此用控制收敛定理知（极限号与积分号交换的勒贝格控制收敛定理） dttgexFxFxfxFitxz212lim)(0 。tgxf，tg，通过付里叶变换来联系与特征函数分布密度是绝对可积的条件下在因此四、多元特征函数四、多
27、元特征函数,11. 1. 12121nnnRtttt，nXXXX维随机向量是设定义。n特征函数的性质一维随机变量的维特征函数具有类似于 的特征函数为则称XXtiEEetttgtgnkkkXt inX121exp, 是否独立。可用此判别反之也成立相互独立）若（nnXXXtXtinXn，XX，tgtgeE，t，ttg，X，XXnnn,2112121111性质. 2中一致连续，在nnRtttg),().1 (21, 1)0 , 0 , 0(),(21gtttgn且),(),(2121nntttgtttgkejjttgttgkXXXXXXetnXjjnjjjjkk, 2 , 1,30121121则个中
28、任意是）设（征函数个分量的边缘分布的特这是任意k012121211212121,)4(nnlennntttknknkkkkkknkkittgtttXXXE DXEXEXtgX，pnBX,12及的特征函数求设例 nitknkitnkknknknkknitkknkknqpeqpeCqpCetgnkpqqpCkXP：X：00, 2 , 1 , 0,1,的分布律为解 220222220/0/0)3(qnnpqqpedtdigiEXnpqpedtdig iEXtnittnit 知由性质npqEXEXDX22故 dxexexixedxetg：tgX，NXxxXitxxitx222222222121102且
29、由于解的特征函数求设例 ttgdxetieideeidxixetgxitxxitxxitxxitx22222222222221 ctetgcttgtdttgtdgttgtg221221ln, 0即 010cg由 22tetgX的特征函数为： tgY，aNYY的特征函数求设随机变量例2,3 222222tiattiatXiatYeeetgetg 222,1 , 0tXetgNX知由例设解,2aNYaXY则令的特征函数由性质知YpnmBYXZYX，pmB，YpnBX,4则相互独立与且若例 nmitzqpetg mitYnitXqpetgqpetg,证 5由性质pnmBZ,由唯一性定理知的概率密度。
30、利用特征函数求设例YXYUX,cos,2,2. 5其他的概率密度为：解：因为,02,2,1)(xxfX20cos22coscosY21)(gdxedxeeEeEtxitxitXititYdxuxdxduux21sin,cos令102112)(duuetgituY利用特征函数与分布一一对应的唯一性得10,112)(2yyyfYY的概率密度为：注：求随机变量的特征函数的方法（3）用Fourier变换去求解。（1）一般定义求解；（2）对一些特殊分布可化为微分方程求解；（4）利用特征函数求多个独立随机变量和的分布。要求：（1）会求一些常用的随机变量的特征函数；（2）记住一些重要分布的特征函数，如正态分
31、布；（3）利用特征函数求相应随机变量的各阶矩；五、母函数。，随机变量随机变量为整数我们称取值非负整数的的占有重要的地位负整数值那些只取非在离散型随机变量中210 对于整值随机变量，有一种处理方法很便于应用，这就是母函数法。 的母函数。为则称分布律为是非负整数值随机变量设定义XpsSESPkpkXPXkkkkX0, 2 , 1 , 0,。，ssP，pkk变量都存在母函数对任何整值随机因此一致收敛且绝对收敛至少在由幂级数的收敛性知由于1)(10例、求二项分布、泊松分布、几何分布的母函数knkknqpCkXP二项分布2 , 1 , 0,!kekkXPk泊松分布： nnknkknkknkknkknqp
32、sqpsCsqpCsP00)( 10!sskkkeeeseksP, 2 , 1,1kpqkXPk几何分布 11111kkkkkqspsqspspsqsP（1）唯一性，非负整数值随机变量的分布列 由其母函数唯一确定六、母函数的性质 100, 2 , 1 , 0,nkkkknkkkkknspspspsP证： , 1 , 0,!0!00nnPppnP，snnnn则令：ns，阶导数得求两边对 nkknknnspnkkkpnsP11!1 12PEX，EX，XsP则存在若的母函数是设 2111PPPDX，DX 则存在若 221101,kkkkkkkkkspkksPskpsPspsP证：由 11, 1kPk
33、pEXsk得令 222111PPPEXEXDX 故 112PppkkXXEkk npsqsP，母函数为二项分布例npqpnnpnppnDX22222 2122111pnnppsqnnPsn npppsqnPEXsn111 21211 sseP 1sesP：母函数为泊松分布例 111ssePEX22DX3、独立随机变量之和的母函数等于母函数之积 。及，相应的母函数为及概率分布律分别为变量为相互独立的整值随机设sBsAba，YXkk,也是整值随机变量显然的概率分布下面首先计算Z，YXZririrYiXPrYXPrZPc0,记0110bababacZrrrr的概率分布为：则 0rrrscsC记 00
34、000,rrrrrrkkrkllklklkllkkscsbasbasbsasBsAk机变量之和的场合个独立整值随此结论而推广到数很适用母函的问题时在研究独立随机变量和n， sBsAEsEsssEsEsCYXYXYX或 sBsAsC(4) 随机个随机变量之和的母函数的母函数：则立的整值随机变量独是与同分布的整值随机变量是相互独立具有相若NjjnXY，XXNX，XX12121, sPGsH 的母函数、分别是、其中1XNsPsG sPGsPlNPskXPlNPslNkYPlNPslNkYPlNPslNUkYPskYPsHllklkljjklkkklkklkk00010000000/,证平均值的求商店
35、的日销售额的钱又设每位顾客所化人的泊松分布服从参数设商店在一天的顾客数例ZNXNi,50,100,10002元解：1000001001000100100011EXENEZ，EXEN 11111EXENPGsPsPGsHEYss维正态分布n5 . 1一、密度函数与特征函数的联合概率密度为：若维随机变量定义nXXXX,21 axBaxBxxxfxfnnn12/12/2121exp21, 是对称阵是常向量式中nxnijnbBaaaa,21BaNXnnX,记为维正态分布，维正态随机变量或服从为则称阵。的数学期望及协方差矩分别是随机向量XBa,其特征函数为： Bttta ietttgtgBtttian2
36、1exp,2121njiaXaXEbnjEXajjiiijjj,1,1其中 服从一元正态分布个线性组合的充要条件是它的任一元正态分布服从njjjnXlZBaNnXXXX121,1二、几个常用结论二、几个常用结论nkjjkkjnjjjbllalN1,1,21exp),(BtttiaeEBaNXXit，则若证：),(,),(,21211nnnjjjXXXXllllXlXlZ为实数，则，取uult )(21)(exp)()(21)( exp)(2)(BllulaiuulBululiaeEeEugXuliiuZ),(BllalNZu以是任意实数都成立，所对),(BllalNXlZ 若21exp1)(B
37、llliaeEuugXil ，得：中取在),(BaNXl的任意性，所以由于 阵为任意，而元正态分布服从若nmABaNnX，XXXn,221nm：AAABAaNmAXY的秩注元正态分布服从则,AABAaXaXAEaYaYEBXXYYYX XYAaAEXAXEYE：a证 tBtta itAABttAaitABtAtAa ieEeEeEtgYYXXXXXtAiAXt iYt iY21exp21exp21expAABAaNYYXX,为正态随机变量1.6 1.6 条件期望条件期望 ，且一个随机变量，上的是概率空间设定义0,WAPF，APFX kxAPAxXPAxXPAxF，则称/一、条件分布及条件期望（
38、1）随机变量关于事件的条件分布及条件期望的条件分布函数。关于事件为AX条件数学期望：AxdFxAXE/（2）离散型随机变量的条件分布律及条件期望iijjijjipyjipyYxXPYX02 , 1,，有若对于给定的联合分布律：是两个离散型随机变量设定义jiijiijiijyYPpxpxyYXE11/的条件分布律；关于为则称jjijjijiyYXppyYxXPp/的条件期望为：关于则jyYX 密度及条件期望连续型随机变量的条件3联合密度函数为：是两个连续型随机变量，设定义，YX dxyxfyxfyfyxfyxfY,/则称0,2dxyxfyRyxyxf有对给定的的条件密度函数关于为yYX yfdx
39、yxxfdxyxfxyxxdFyYXEY,/的条件期望为：关于yYX的平均体重。则为身高为体重，而为平均则为体重为身高例如：假设yyYXEXE，XY/取值的加权平均的条件下是在给定XyYyYXE/ EXdxdyyxfxdyyfdxyxfxydFyYXEYXEEYY,/：，YX，YYXE它的数学期望为下的条件期望在称为也是随机变量的函数是随机变量/./的样本值是随机变量而的函数是则不固定当Yy，yyYXE，yY是一个数固定当yYX，EyY/ dyyfyYXEEXYii/对连续型随机变量（二）条件期望的性质 ydFyYXEYXEEEXYXY/1则的期望存在与变量）全期望公式，若随机（ jjjyYP
40、yYXEEXYi/1对离散型随机变量YXEcYXEcYXcXcE，XXcc/,3221122112121则有期望存在随机变量）对任意常数（YXgEEXgE/2）（niiiniiiYXEYXE11)/(/一般有期望一致此时条件期望与无条件则相互独立与）若（EXYXE，YX/4 YXEYgYYgXEYy/代之得：以将 YgYXEYYgXE/5）（ YXEygyYyXgEyYYXgE/证 YXgEdydxyxfyxgdyyfdxyxfyxgdyyfyYYXgEYYXgEEYY,/,/,/,以连续情况证：YXgEYYXgEE,/,6）（7）连续型全概率公式dyyfyYAPydFyYAPAPYY)()/
41、()()/()(不发生，发生证：定义0,1AIA的示性函数。称为事件则AIA由全期望公式得dyyfyYAPydFyYAPydFyYIEYIEEIEAPAAA)()/()()/()()/()/()()( )(,zFYXyFxFYXZYX的分布函数为记分布函数分别为相互独立设例 ydFyzFydFzyXPydFyYzYXPzYXPzFYXYYZdyyfyzfzfYXZ)()()()(20)/(1),(), 0(YEaxxXYEaXUYaUX）（；，）试求：（，例：已知其他）：解（,00,1)/(1/ayxxaxyfXY有对任意的ax 02)/(xadyxayxXYEaxaXaEXYEEYE432)
42、/()(2）（的特征函数。，试求的特征函数为的泊松分布，而服从参数为相互独立，例：假设NjjjXZtgjXNXXN121)(, 2 , 1,0,NeEEeEeEtgNjjNjjXitXititzZ/)()(11解：1)(0000!)()(!)( 1tgllllllllXiteltgetgletglNPlNPeEljj同理，母函数为NsEEsEsEsHNjjNjjXXz/)()(11)()( 001sPGsPlNPlNPsElllXljjv复习概率论与数理统计方面的知识；v掌握特征函数与母函数的性质和计算方法；v重点掌握条件分布与条件期望的性质和计算方法。预备知识结束预备知识结束1/,020 ,0,21),(2YeEyxyeyxfYXXxy求其他的联合概率密度为：和设作业：作业：
