1、 等差数列及其通项公式等差数列及其通项公式一般地，如果一个数列 a a1 1,a,a2 2,a,a3 3 ，a an n 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d， a a2 2 a a1 1 = = a a3 3 - a - a2 2 = = = a = an n - a- an-1 n-1 = = d= = d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。知识回顾知识回顾an+1-an=d(nN * *)通通 项项 公公 式式 的的 推推 导导1 1（归纳猜想）（归纳猜想）设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1, ,公差是公差是d,d,则有：则
2、有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, ,所以有：所以有：所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d（nN* *）问问an=?=? 通过观察：通过观察：a2， a3，a4都可都可以用以用a1与与d 表示出来表示出来；a1与与d的的系数有什么特点？系数有什么特点？a1 1 、an n、n、d知三知三求一求一a2=a1+ d,a3=a1+2d,a4=a1+3d, an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2da4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d21aad32aad43aad12n
3、naad1nnaad叠加得叠加得1(1)naand等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式推导2（叠加）（叠加）dnaan)1(1例第一届现代奥运会于例第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每年在希腊雅典举行，此后每4年年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式 （2）2008年北京奥运会是第几届？年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？年举行奥运会吗？解解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以）由题意知，举行奥运会的年份构
4、成的数列是一个以1896为首项，为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为为公差的等差数列。这个数列的通项公式为 an=1896+4(n-1) =1892+4n(nN*) (2) 假设假设an=2008, 由由 2008=1892+4n, 得得 n=29. 假设假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解无正整数解答：所求通项公式为答：所求通项公式为 an= 1892+4n(nN*) ，2008年北京奥运会是第年北京奥运会是第29届，届，2050年不举行奥运会年不举行奥运会例例.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3=10, a9=28,求求a12 。推广：推广：等差数列
5、等差数列an中中，am,an(nm)等差数列的通项公式一般形式等差数列的通项公式一般形式: an = am + (nm)d. 解：由题意得解：由题意得a1+2d=10a1+8d=28所以所以a12=4+(12-1) 3=37注注:a12=a1+11d=+(12-3)d=+(12-3)d =+(12-9)d=+(12-9)d解得：解得： a1=4 d=3练一练练一练：已知：已知a5=11, a8=5, 求等差数列求等差数列an的通项公的通项公式式.练练习习1 1、填空题：、填空题：(1)(1)已知等差数列已知等差数列3 3，7 7，1111，则，则a11= (2)(2)已知等差数列已知等差数列1
6、111，6 6，1 1，则，则an = (3)(3)已知等差数列已知等差数列1010，8 8，6 6， ，中，中，-10是第（是第（ ）项项43-5n+1611练习练习2.已知等差数列已知等差数列an的通项公式为的通项公式为an=2n 1. 求首项求首项a1和公差和公差d.变式引申变式引申:如果一个数列如果一个数列an的通项公式的通项公式an=kn+d,其中其中k,b都是常数都是常数,那么这个数列一定是等差数列吗那么这个数列一定是等差数列吗?语言描述这种现象语言描述这种现象想一想！想一想！1a111(1)(1)2(2)mnaaamdandamndmnpq mnpqaaaa d na Nqpnm
7、,qpnmqpnmaaaa 在等差数列在等差数列中，中，为公差，若为公差，若且且求证：求证： 证明：证明： 设首项为设首项为，则，则例例2.111(1)(1)2(2)pqaaapdaqdapqd等差数列的性质等差数列的性质 若p=q呢?2 ,2mnpmnpaaa若则有练习练习 .在在等差数列等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知）已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析： a3+a1
8、1 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1523例题分析例题分析1591317315(3)117,naaaaaa已知数列是等差数列，且求a +a 的值1 1. .等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a -5-5，-3-3a +2 2，则则 a 等于（等于（ ) ) A . -. -1 1 B . . 1 1 C . .-2 -2 D. 2B2. 在在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+
9、1an=4 -353. 在在等差数列等差数列an中中 (1) 若若a59=70，a80=112，求，求a101； (2) 若若ap= q，aq= p ( pq )，求，求ap+qd=2,a101=154d= -1, ap+q =0课堂练习课堂练习 13746211,101252,12,4.(3)9418nnadaaaaaa 练习题（）等差数列第项大于 ，求公差 的范围（ ）已知等差数列满足求数列的通项公式四个数成等差数列，其中四个数的平方和为，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少，求这四个数。15253533,66,aaa在等差数列中，求的值(4) 例31121,2nnnnnaaa
10、aa已知数列的各项均为正数，且满足a，求练习练习已知已知 ，求，求 的值。的值。)(21)(2) 1(, 2) 1 (*Nnnfnff)2007(f100523200721)2007(2321)(212)(21)() 1(1)(2) 1(2fnnfnfnfnfnfnf即的等差数列，公差为是首项为解解:小结小结掌握等差数列的通项公式，并能运用公掌握等差数列的通项公式，并能运用公式解决一些简单的问题式解决一些简单的问题an=a1+(n1)d 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力a amm+ +a an n=a ap p+ +a aq q上面的命题中的等式两边有上
11、面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+ +a a2 2=a a3 3 成立吗？成立吗？ 【说明说明】 3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n= = ，d d= = 1. 1. a an n 为等差数列为等差数列 2. 2. a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1- - a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n= a a1 1+ +( (n-n-1) 1) d da an n= = kn + bkn + b（k k、b b为常数）为常数）a amm+ +( (n n - - mm) ) d dmnaamnb b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2cab 2 2b= a+cb= a+c4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的； 等差数列的性质等差数列的性质5 5. . 在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+ +a an n a a2 2+ + a an-n-1 1 a a3 3+ + a an-n-2 2 =作业作业书上书上39页，第页，第3题（题（2），第），第4题题谢谢 谢！谢！
