1、33.3点到直线的距离点到直线的距离33.4两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离问题：问题：在平面直角坐标系中，如果已知某在平面直角坐标系中，如果已知某点点p p的坐标为（的坐标为（x x0 0，y y0 0）直线）直线l l的方程为的方程为Ax+B Ax+B y+C=0y+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点求点p p到直线的距离呢？到直线的距离呢？复习与回顾：复习与回顾：两点间的距离公式：两点间的距离公式：21221221222111)()|yyxxppyxpyxp （公式：）间的距离，（），（可得两点1：点到直线的距离：点到直线的距离：根据定义，
2、点到直线的距离根据定义，点到直线的距离d d是点是点p p到直线到直线l l的垂线段的长。（如图）的垂线段的长。（如图）0 xylSPdRQ点点p p（x x，y y）到直线）到直线x xy y的距离的距离2200|BACByAxd当或时，以上公式也适用当或时，以上公式也适用2.点到直线距离公式点到直线距离公式：注：平面上一点到几种特殊直线的距离注：平面上一点到几种特殊直线的距离(1)(1)点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到到x x轴的距离为轴的距离为(2)(2)点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到到y y轴的距离为轴的距离为(3)(3)点点P(xP(x0 0,y,y0 0)
3、 )到直线到直线x=ax=a的距离为的距离为(4)(4)点点P(xP(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线y=by=b的距离为的距离为d=|yd=|y0 0|.|.d=|xd=|x0 0|.|.d=|xd=|x0 0-a|.-a|.d=|yd=|y0 0-b|.-b|. 例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积011331，CBAABC解：如图，设解：如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则ABh.21hABSABCy1234xO-1123.22311322AB 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距离的距离ABhCAB 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：AB，131313x
4、y即：即：.04 yx 点点 到到 的距离的距离04 yx01，C.251140122h因此，因此，.5252221ABCS解：解： 例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积011331，CBAABCy1234xO-11233：两条平行线间的距离定义：两条平行线间的距离定义：两条平行线间的距离是指夹两条平行线间的距离是指夹在两平行线间的公垂线段的长度在两平行线间的公垂线段的长度设直线设直线l ll l如何求它们之间的距离？如何求它们之间的距离？在一条直线上取一点，可以转化为点到在一条直线上取一点，可以转化为点到直线的距离直线的距离已知两条平行直线已知两条平行直线l和和l的一般方程为：的一般
5、方程为：l：xy；L：xy则则l与与l的距离为：的距离为：2221|BAccd4.两平行线间距离公式两平行线间距离公式变式变式1.直线直线3x+y-3=0与直线与直线6x+my+1=0平行，平行， 则它们之间的距离为则它们之间的距离为( )257A.4B.13C.13D.10132620D练习练习.点点P在直线在直线x+y-4=0上，上，O为原点，则为原点，则|OP|的最小值是的最小值是_. 2 2答案：答案：xyOlQ 点点 到直线到直线 的距离：的距离：000, yxP0:CByAxl 当当A=0A=0或或B=0B=0时时, ,直线方程为直线方程为y=yy=y1 1或或x=xx=x1 1的
6、形式的形式. .QQxyox=x1P(x0,y0)10y-yPQ =10 x-xPQ =yo y=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0) 例6：求点P(3，-2)到下列直线的距离（1）（2）（3）yxol2l1 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的的公垂线段公垂线段的长的长. .2221-BACCdQP例例8： 求平行线求平行线2x-7y+8=0与与2x-7y-6=0的距离。的距离。Oyxl2: 2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 P(3,0)两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等在在l2上任取一点，例如上任取一点
7、，例如P(3,0)P到到l1的距离等于的距离等于l1与与l2的距离的距离5353145314)7(28073222 d求证：两条平行线求证：两条平行线 与与 间的距离是间的距离是2221-BACCd10AxByC20AxByC2.2.两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0的距离是的距离是2221BAC-Cd+=2200BACByAxd+=1. 1.平面内一点平面内一点P(xP(x0 0,y,y0 0) ) 到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式是的距离公式是当当A=0A=0或或B=0B=0时时, ,公式仍然成立公式仍然成立. .注意用该公式时应先将两平行线的注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理的系数整理为对应相等的形式。为对应相等的形式。补充题目：1、已知点A（1,2）到直线ax+y-1=0的距离为1，求a的值；2、已知直线 在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线的距离为 ，求直线 的方程；3、已知直线 经过点(0,-1),且点(1,-3)到 的距离为 ，求直线 的方程，并求出坐标原点到直线 的距离；4、已知直线 经过点P(3,1)且被两平行直线 和 截得的线段长为5，求直线 的方程.
