1、 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？* 正方体和长方体是由平面图形围成的多面正方体和长方体是由平面图形围成的多面体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就体，它们表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积。是展开图的面积。543表面积为：表面积为：434+452=88求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积求多面体表面积的方法：展成平面图形，求面积。*1.3.1 柱体、锥体、台体的柱体、锥体、台体的表面积与体积表面积与体积* 正六棱柱的侧面展开图是什
2、么？正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？如何计算它的表面积？棱柱的展开图棱柱的展开图正棱柱正棱柱的侧面展开图的侧面展开图ha*棱锥的展开图是三角形棱锥的展开图是三角形。*同理，棱台的展开图呢？同理，棱台的展开图呢？棱台的展开图是梯形棱台的展开图是梯形。* 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。* 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四，各面均为等边
3、三角形的四面体面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 。DBCAS分析：分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。因为因为BC=a，a23sin60SBSD所以：所以： 2ABCa43a23a21SDBC21S因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积：的表面积：解：解：先求先求SBC的面积，过的面积，过S作作SDBC，交交BC于点于点D。 22a3a434S例一例一*圆柱的表面积圆柱的表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形r 2OO r*圆柱的表面积圆柱的表面积)(2222lrrrlrS 圆圆柱柱表表面面积积圆柱的侧面展开图是
4、矩形圆柱的侧面展开图是矩形r 2OO r*圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形r 2lrO圆锥的表面积圆锥的表面积*圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS 圆圆锥锥表表面面积积r 2lrO圆锥的表面积圆锥的表面积* 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的表面积*圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环r 2lOrO r2 r 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的表面积*
5、圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环)(22rllrrrS 圆圆台台表表面面积积r 2lOrO r2 r 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么象圆台的侧面展开图是什么?圆台的表面积圆台的表面积* 一个圆台形花盆盆口直径一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径，盆底直径为为15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.14，结果精确到，结果精确到1 cm2 ）？）？cm15cm20cm15解：解：由圆台的表面积公式得由
6、圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2221.51522015215215S)999(cm2答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 2cm例二例二*lrrr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小探究探究OO rrOOllOr 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？什么关系？l)r(rS锥rl)lrrr(S22台S2r(rl)*2.柱体、椎体、台体的体积柱体、椎体、台体的体积 我们已经学习了特殊的棱柱我们已经学习了特殊的棱柱正方体、长方体正方体、长方体以及圆柱的体积公式以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可
7、以统一为：ShV（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般柱体体积也是：一般柱体体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高。为棱柱的高。一般柱体一般柱体*思考思考3:3:关于体积有如下几个原理：关于体积有如下几个原理： （1 1）相同的几何体的体积相等；）相同的几何体的体积相等； （2 2）一个几何体的体积等于它的各部分）一个几何体的体积等于它的各部分体积之和；体积之和； （3 3）等底面积等高的两个同类几何体的）等底面积等高的两个同类几何体的体积相等；体积相等； （4 4）体积相等的两个几何体叫做）体积相等的两个几何体叫做等积体等积体. . * 将一个三棱柱按如图所
8、示分解成三将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？关系？ 1 12 23 31 12 23 3*圆锥的体积公式：圆锥的体积公式：Sh31V （其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高）棱锥的体积公式：棱锥的体积公式：Sh31V （其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的棱锥体积等于同底等高的棱柱的体积的 31*思考思考4:4:推广到一般的棱锥和圆锥
9、，你猜推广到一般的棱锥和圆锥，你猜想锥体的体积公式是什么？想锥体的体积公式是什么？ 13VSh高高h h底面积底面积S S 它是同底同高的柱体的体积的它是同底同高的柱体的体积的 。3131* 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的等于底面面积乘高的 。13ShV Sh31V *探究探究如何求台体的体积？如何求台体的体积？ 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱锥棱锥) )截成的，因此截成的，因此用两个锥体的体积差。得到圆台用两
10、个锥体的体积差。得到圆台( (棱台棱台) )的体积公式的体积公式: :P ABCDP A B C DVVV S)hSSS(31 其中其中S，S分别为上、下底面分别为上、下底面面积，面积，h为圆台（棱台）的高。为圆台（棱台）的高。上底面上底面积积S S 高高h h下底面下底面积积S S p pC CB BA AD D*柱体、锥体与台体的体积),(31是高是底面积锥体hSShV), ()(31是台体高分别是上下底面面积台体hSShSSSSV),(是高是底面积柱体hSShV思考:你能发现三者之间的关系吗？*S)hSSS(31VShV SS Sh31V 0S 上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 圆柱、圆
11、锥、圆台三者的体积公式之间有什圆柱、圆锥、圆台三者的体积公式之间有什么关系？么关系？*思考思考6:6:在台体的体积公式中，若在台体的体积公式中，若S=SS=S，S=0S=0，则公式分别变形为什么？，则公式分别变形为什么？S=SS=SS=0S=01()3VSS SS h13VShVSh* 有一堆规格相同的铁制（铁的密有一堆规格相同的铁制（铁的密是是 ）六）六角螺帽共重角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽，问这堆螺帽大约有多少个（大约有多少个（取取3.14）？）？37.8g/cm例三例三
12、* 解：解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，体积之差，即即: :10)210(3.141061243V22)2956(mm3)2.956(cm3所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为2522.956)(7.810005.8（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252个个* 与定点的距离小于或等于定长的点的集合，与定点的距离小于或等于定长的点的集合，叫做叫做球体球体，简称，简称球球讲授新课讲授新课1、球的概念、球的概念定点叫做球的定点叫做球的球心球心定长叫做球的定长叫做球的半径半径与定点的距离等于定长与定点的距离等于定长的点的集合，叫做的点的集合
13、，叫做球面球面O O半径半径球心球心直径直径*2、 球的表面积球的表面积o思考：思考：经过球心的截面圆面积是什么？它与球的经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？表面积有什么关系？ 2R4S球的表面积等于球的大圆面积的球的表面积等于球的大圆面积的4 4倍倍*3、 球的体积球的体积3R34V*例例2 2、如图、如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径, ,求证求证: : (1) (1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. .O O证明证明:
14、:R R(1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R,24RS球球得得: :则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.2422RRRS圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱侧侧球球SS(2)(2)24RS球球圆圆柱柱全全球球SS32222624RRRS圆柱全圆柱全Q*理论迁移理论迁移 如图，圆柱的底面直径与高都等于如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：球的直径，求证： （1 1）球的体积等于圆柱体积的）球的体积等于圆柱体积的 ；（2 2）球的表面积等于圆柱的侧面积）球的表面积等于圆柱的侧面积. .23*4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积
15、之比是_. .练习二练习二2422:134:11.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍.2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍.3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_.*例例3.3.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积和表面积求它的体积和表面积. .)(6125)25(3434:333cmRV解)(25)25(44222cmRS.25,6125:23cmcm面积为钢球的体积为答*( (变式变式2) 2)把把直径为直径为5cm钢球放入一个
16、正方体的钢球放入一个正方体的有盖纸盒中有盖纸盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ?解：当球内切于正方体时解：当球内切于正方体时用料最省时用料最省时2215056cmS全此时棱长直径此时棱长直径5cm答：至少要用纸答：至少要用纸150cm2两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个面与另一个几何体一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切的各面相切.分析：用料最省时分析：用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ?球内切于正方体球内切于正方体*例例4.4.如图，正方体的棱长为如图，正方体的棱长为a,a,它的各个顶点都它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体
17、积。在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体合，则正方体体对角线体对角线与球的与球的直径直径相等。相等。两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都一个几何体的所有顶点都 在另一在另一个几何体的表面上。个几何体的表面上。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O323334222322343)2(aRVaRSaRaR 且 对角线长对角线长 球的直径等于正方体的体球的直径等于正方体的体 正方体内接于球正方体内接于
18、球解：解：QQ*(变式变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、 ,求此球体的表面积和体积。求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方可知，它们中心重合，则长方体体体对角线体对角线与球的与球的直径直径相等。相等。333233422222164216)3(23)2(RVRSRR且体对角线长体对角线长球的直径等于长方体的球的直径等于长方体的长方体内接于球长方体内接于球解：QQ*2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱
19、长是4cm,这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 3321.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍.练习一练习一*l2 r 1. 圆柱的一个底面积为圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是正方形，那么这个圆柱的侧面积是_。2224Srlr侧2SrlrOO4S*2lr2lr 2()3ar rlr3ar()23am3 2. 已知圆锥的表面积为已知圆锥的表面积为 a ，且它的侧面展，且它的侧面展开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为开图是一个半圆，则这圆锥的底面直径为_。*3. 若圆台的上、下底面半径分别是若圆台的上、下底面半径分别是1和和3，它的它的侧面积是两底面积和的侧面积是两底面积和的2倍，则圆台的母线长为倍，则圆台的母线长为_.4Sr lrll侧420l5l rrOOl52210Srr 底底*
