1、12 2n nn n2 22 2n n2 22 2s s2 2s s1 1T Ts s2 2s sT T1 1( (s s) ), ,T T1 1式式中中, ,n n022nn2 ss特特征征方方程程122 , 1nnS特征方程的两个根（闭环极点）课程回顾（课程回顾（1 1） 3-2-2二阶系统的数学模型及单位阶跃响应二阶系统的数学模型及单位阶跃响应2 1时，（过阻尼）时，（过阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。为一对不等的负实数根。 S1 S20j0jt = 1时，（临界阻尼）时，（临界阻尼） S1 ，S2 为一对相等的负实数根。为一对相等的负实数根。 响应与一阶系统相似，没有超调，
2、但调节速度慢；响应与一阶系统相似，没有超调，但调节速度慢；响应是没有超调，具有没有超调中最快的响应速度；响应是没有超调，具有没有超调中最快的响应速度；课程回顾（课程回顾（2 2）1211211211( )1,(0)/1/1ttTTh teetTTT T )1 (1)(tethntn175. 4Ts st t1133 . 3TTs s2 21 1s s2 21 1t t1 1. .2 25 5) ), ,4 4( (/ /T TT Tt t1 1. .2 25 5) ), ,4 4( (/ /T TT T)(211TTfTts3 当当=0时，（无阻尼，零阻尼）时，（无阻尼，零阻尼） S1 ，S2
3、 为一对幅值相等的为一对幅值相等的虚根。虚根。 响应曲线是等幅振荡；响应曲线是等幅振荡；课程回顾（课程回顾（3 3） 01时，（欠阻尼）时，（欠阻尼） S1 ，S2 为一对具有负实部的共轭复为一对具有负实部的共轭复根。根。 虽然响应有超调，但上升速度较快，调节时间也较短。合理虽然响应有超调，但上升速度较快，调节时间也较短。合理选择选择 的取值，使系统具有满意的响应快速性和平稳性。的取值，使系统具有满意的响应快速性和平稳性。) )t ts si in n( (1 1e eh h( (t t) )d d2 2t tn n1t tcoscosh(t)h(t)n n14课程小结（课程小结（4 4） 工
4、程上有时把阻尼比工程上有时把阻尼比 =0.707=0.707称为最佳阻尼比。称为最佳阻尼比。实际设计中实际设计中，一般取，一般取 = 0.40.8 = 0.40.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间。度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间。小结小结： ） 二阶系统正常工作的基本条件是二阶系统正常工作的基本条件是 0 ；而；而0系统不稳定；系统不稳定； ） 当当 1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；）当）当01时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。
5、时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。 当当0时，（负阻尼）时，（负阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。为一对不等的负实数根。 响应是发散的，系统不能正常工作；响应是发散的，系统不能正常工作；5欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标单位阶跃响应性能指标1.上升时间上升时间 ：令 ，则rt( )1rh t211sin(arccos )11ntdet所以：a ar rc cc co os st tr rd d21n nd dr r- -a ar rc cc co os s- -t t由上式可见，如欲减小由上式可见，如欲减小tr，当，当一定时，需增大一定时，需增大n n，反
6、之，反之，若若n n一定时，则需减小一定时，则需减小。 6n )3 , 2 , 1 , 0(nnt tp pd d第第一一次次出出现现峰峰值值时时间间。：为为c c( (t t) )峰峰值值时时间间t tp p0 0) )t tc co os s( (1 1) )t ts si in n( (得得0 0, ,d dt td dh h( (t t) )令令d d2 2d dpttt ta an n/ /1 1) )t tt ta an n( (2 2d d2 2n nd dp p1 1t t2.峰值时间：峰值时间：pt根据极值定理有：根据极值定理有：) )t tc co os s( (1 1)
7、)t ts si in n( (1 1e ed dt td dh h( (t t) ) )t tc co os s( (e e) )t ts si in n( (e e) )( (1 11 1d dt td dh h( (t t) )0 0t t) ), ,t ts si in n( (e e1 11 11 1h h( (t t) )d d2 2d d2 2t tn nd dt td dd dt tn n2 2d dt t2 2n nn nn nn n按定义取n=1得:722/ 1/ 1max2( )( )1sin(arccos )11peh th te 3.超调量：超调量：%将峰值时间 代入
8、下式/pdt 21( )1sin(arccos )1ntdh tet 得: 所以:2/ 1()( )%100%100%( )ph theh2 21 1s si in n) )s si in n( (；% %, ,决决定定, ,即即% %完完全全由由) )1 1s si in n( (e e1 11 11 1) )h h( (t t1 1t t) )t ts si in n( (e e1 11 11 1h h( (t t) )2 2n nd d1 12 2p p2 2n nd dp pd dt t2 22 2n nn nn n84.调节时间调节时间st写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统
9、写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。十，经常采用下列近似公式。当阻尼比当阻尼比 时时3.5(snt取5误差带）4.5(snt取2误差带）8 . 009 除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在作在=0.4=0.40.80.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此有关性能荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统
10、的欠阻尼工作状态进行的。尼工作状态进行的。 要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定选定 ，然后在根据其它要求来确定，然后在根据其它要求来确定 n n 。 实际设计中，一般取实际设计中，一般取 = 0.4 = 0.4 0.80.8。其中以。其中以 = 0.707 = 0.707时为最佳阻尼。时为最佳阻尼。 )8 . 00(psnprsnttttt%不变；阻尼比固有频率不变；固有频率阻尼比：10欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算欠阻
11、尼二阶系统动态性能分析与计算d= n1-2(s)=s2+2ns+n2n2S1,2=-nj1-2 nh(t)= 11-21e-ntsin( dt+)n-nj00 1时：时： - d得得 tr=令令h(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值，令令h(t)一阶导数一阶导数=0，取其解中的最小值，取其解中的最小值，得得 tp= d由由%=h()h(tp) h()100%（0 0.8）eh(t)= 11-21-ntsin(t+d)得得 % =e-100%21 3.5(snt取5误差带）4.5(snt取2误差带）11三、二阶系统举例三、二阶系统举例q例例3-3设位置随动系统，其结构图如图所示，当给设位
12、置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为定输入为单位阶跃单位阶跃时，试计算放大器增益时，试计算放大器增益KA200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间值时间tp，调节时间，调节时间ts和超调量和超调量，并分析比较之。，并分析比较之。)5 .34(5 ssKARC12例题解析例题解析(1) 输入：单位阶跃输入：单位阶跃)(1)(ttr ssR1)( 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：AAKssKs55 .345)(2 13例题解析例题解析(2)当当KA 200时时10005 .341000)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的
13、闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%e超调量： 6 .311000 n 1rad sstns2 . 05 . 3调节时间：AAKssKs55 .345)(2 14例题解析例题解析(3)当当KA 1500时时75005 .3415005)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：6 .867500 n 34.50.22n20.03784.851pnt峰值时间：秒2152.7%e超调量： 1rad sstns2 . 0
14、5 . 3调节时间：AAKssKs55 .345)(2 15例题解析例题解析(4)当当KA 13.5时时5 .675 .345 .67)(2 sss 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：21. 85 .67 n 34.52.12n? pt峰值时间：峰值时间：0 超调量：超调量： 无无1rad s无无AAKssKs55 .345)(2 sTts46. 131调节时间：sTn487. 0)1(121大时间常数16aKanK5n25 .34npt2121% enst5 . 31500150086.686.6 0.0370.037 5
15、2.7%52.7% 0.20.220020031.631.6 0.120.12 13%13% 0.20.213.513.58.218.21 0 0 1.451.450.20.2 0.540.542.12.117系统在单位阶跃作用下的响应曲线系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1500K KA A=200=200K KA A=13.5=13.518开环增益开环增益K K对系统性能的影响对系统性能的影响开环传函：开环传函：开环增益：开环增益：闭环传函：闭环传函： ) 1()(ssKsGK22222)(nnnssKssKs特征参数：特征参数：KKn
16、n2121 欠阻尼动态指标：欠阻尼动态指标：nsnptet5 . 3%121219 变化变化特征多项式系数变化特征多项式系数变化特征根变化特征根变化 变化变化性性能变化能变化 开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对开环增益变化对性能的改善是有限的，指标对 的要求的要求往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。往往是矛盾的只能采取折中方案，兼顾不同的要求。ssneK%“快快”与与“准准”两项指标相矛两项指标相矛盾盾 K)(thK) 1()(0TssKsG开环增益开环增益K) 1()(ssKsG22222)(nnnssKssKsKKnn212120. .K K及及内内反反馈馈系系数数之之值值
17、 大大器器的的增增益益试试确确定定前前置置放放秒秒, , 1 1间间t t峰峰值值时时 1 16 6. .3 3% %和和调调量量有有超超 具具单单位位阶阶跃跃响响应应c c( (t t) )要要求求该该系系统统的的如如图图所所示示, ,已已知知某某控控制制系系统统方方框框图图 例例2 2p p)1(10 ssKs C(s)R(s) r ra ad d/ /s s 3 3. .6 63 3n n 得得 2 21 1n np pt t 又又 0 0. .5 5 得得 1 16 6. .3 3% %1 10 00 0% %2 21 1/ /e e 由由 n n及及计计算算出出二二阶阶系系统统参参数
18、数p p由由已已知知和和t t ( (1 1) ): :解解21 0.263 32. 1 102 101n2 222s2R(s)C(s) (3) 10)101(2s10KR(s)C(s) , (2) KKnnsnnKs解得解得与标准形式比较与标准形式比较并化成标准形式并化成标准形式求闭环传递函数求闭环传递函数22试试确确定定系系统统的的传传递递函函数数0 0. .9 95 5) )h h( (5 5s s, ,t t3 37 7% %, ,% %: :指指标标为为统统阶阶跃跃响响应应曲曲线线性性能能已已知知单单位位反反馈馈的的二二阶阶系系s s29. 538. 103. 53 . 23 . 2
19、3 . 23 . 2/5 . 322nns2 22 20 0s s0 0s st ts ss ss s0 0. .3 32 2s s0 0. .9 95 5即即( (s s) )0 0. .9 95 5K K( (s s) ), ,l li im ms s1 1s s( (s s) )l li im mc c( (t t) )l li im m) )h h( (0 0. .9 95 5, ,) )由由h h( (0 0. .3 3) )( (5 55 5s s, ,3 3. .5 5/ /由由t t0 0. .3 3, ,3 37 7% %，得得由由% %: :由由所所给给指指标标可可求求得得
20、例例322nns s2 2s sK K（s）（s）: :二阶系统的传递函数为二阶系统的传递函数为n n2 2解：由图中给出的阶跃响应性能指标，解：由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。先确定二阶系统参数，再求传递函数。 0t(s)0.95tpc(t)523例例4系统如图示系统如图示 时的响应为时的响应为求求)( 1)(ttr)(thaKK,21解：依题可知解：依题可知%92218.2%75.02)(pth) 1 ( 22)(2222212221nnnnnaKssKKassKKs)2( 21.lim)().(.lim)(1222100KsKassKKssRsshss24
21、)4( 75. 012npt22122ln0.090.76651%0.09 (5)0.76650.60833(52.55 )1 0.7665e : )4()5(6) 236. 5608. 0175. 02秒弧n) 1 ()6).(5(237. 6236. 5608. 0224 .27236. 51222KaKnn25)4( 75. 012npt22122ln0.090.76651%0.09 (5)0.76650.60833(52.55 )1 0.7665e : )4()5(6) 236. 5608. 0175. 02秒弧n) 1 ()6).(5(237. 6236. 5608. 0224 .2
22、7236. 51222KaKnn26四四 改善二阶系统响应的措施改善二阶系统响应的措施1) 改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好改善的目的：获得满意的动态性能与稳态性能，更好的控制效果。的控制效果。 2) 改善的办法：改善的办法： 采用比例微分控制：引入零点，即在前向通路中串入采用比例微分控制：引入零点，即在前向通路中串入一个一个PD控制环节；控制环节； 采用测速反馈控制。采用测速反馈控制。271.误差信号的比例微分控制误差信号的比例微分控制28系统开环传函为：2(1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s闭环传函为：2222(1)( )( )( )(2)ndn
23、dnnT sC ssR ssTs等效阻尼比：12ddnT29可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。30前面图的相应的等效结构前面图的相应的等效结构由此知道：由此知道：12( )( )( )c tc tc
24、 t2222(1)( )( )( )(2)ndndnnT sC ssR ssTs31和 及 的大致形状如下1( )c t2( )c t( )c t一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td32总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数间常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有过阻尼的具有过阻尼的
25、形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1( )c t特点特点: (1) 引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；荡，使超调减弱，改善系统平稳性； (2) 零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，又削弱了短，峰值提前，又削弱了“阻尼阻尼”作用。因此适当选择微分时间作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响
26、应将在不出现超调的条件下，显常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。著提高快速性。 (3) 不影响系统误差，自然频率不变。不影响系统误差，自然频率不变。 闭环系统具有零点闭环系统具有零点,可以使上升时间提前可以使上升时间提前.阻尼增大阻尼增大,超调减小。超调减小。332.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。34闭环传函为：闭环传函为：2222( )( )( )(2)nntnnC ssR ssKs等效阻尼比：等效阻尼比：12ttnK等效阻尼
27、比增大了，振荡倾向和超调量减小，改等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。善了系统的平稳性。35 例例3-1 3-1 设控制系统设控制系统 如图如图3-163-16所示。其中（所示。其中（a a）为无）为无速度反馈系统，（速度反馈系统，（b b）为带速度反馈系统，试确定是）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并比较系统（的值，并比较系统（a a）和）和(b)(b)阶跃响应的瞬态性能指标。阶跃响应的瞬态性能指标。tK) 1(10ss) 1(10sssKt36将上式与标准式相比较得将上式与标准式相比较得解得解得 , ,计算上升时间计算上升时
28、间1010)(2sss12n102n158. 016. 3n) 1(10ss) 1(10sssKtstnr55.01arccos2解解 系统（系统（a a）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为37峰值时间峰值时间 超调量超调量调节时间调节时间 系统（系统（b b）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为 stnp01. 112%4 .60%10021ep63nst)05. 0( 10)101 (10)(2sKsst38将上式与标准式相比较得将上式与标准式相比较得将将 ， 代入，解得代入，解得由由 和和 可求得可求得 通过上述计算可知，通过上述计算可知，采用速度反馈后，可以采用速度反馈后，可以明显地改善
29、系统的动态性能。明显地改善系统的动态性能。 tnK1012102n5 . 01012ntK216. 010116. 35 . 021016. 310)(2sss5 . 016. 3n%3 .16p7 .0rt15. 1pt9 .1st16. 310 n393.比例微分控制和速度反馈控制比较比例微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，
30、在相从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。40性能指标 方 案 PD控制 测速反馈控制 阻尼比 增大 自然频率 不影响 开环增益 不影响 降低 稳态误差 不影响 影响 超调量影响程度不同（大） （小） 性能都能改善，但改善程度不同 附表： PD控制与测速反馈控制两种方案比较 前页后页41五五 高阶系统的时域分析高
31、阶系统的时域分析n定义：用高阶微分方程描述的系统称为定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。快，只起次要作用，可以忽略。42这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的二阶系统。这就是所谓的主导极点主导极点的概念，将在的概念，将在第四章中详细介绍。第四章中详细介绍。一、二阶系统的极点分布如下：一、二阶系统的极点分布如下：
