1、一、系统稳定的充分与必要条件一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：稳定性：传递函数的一般表达式：传递函数的一般表达式：(s)=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn +a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)nmC(s)=1sK0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)系统输出拉系统输出拉 氏变换：氏变换： 系统受外作系统受外作用力后用力后,其动态过程的其动态过程的振荡倾向和系统恢复振荡倾向和系统恢复平衡的能力。平衡的能力。r(t)t0c(t)稳定稳定不稳定不稳定A0=ss-s1+A1Ans-sn+系统单位阶跃响应：系统单位阶跃响应：c(t)=A0
2、+A1es1t+Anesnt 稳定的系统其瞬态稳定的系统其瞬态 分量应均为零。分量应均为零。 即：即： lim esit0t 系统稳定的充分与必要条件：系统稳定的充分与必要条件： 系统所有特征根的实部小于零系统所有特征根的实部小于零,即特即特征方程的根位于征方程的根位于S左半平面。左半平面。二、劳斯稳定判据二、劳斯稳定判据 根据稳定的充分与必要条件根据稳定的充分与必要条件,求得特求得特征方程的根征方程的根,就可判定系统的稳定性就可判定系统的稳定性.但对但对于高阶系统求解方程的根比较困难。于高阶系统求解方程的根比较困难。 劳斯稳定判据是根据闭环传递函数劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各
3、项系数特征方程式的各项系数,按一定的规则排按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。号的变化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为设系统的特征方程为a0sn +a1sn-1 + +an-1s+an=0 a0 a2 a4 a1 a3 a5 b42 sn-3 s0 sn sn-1 sn-2 b31 b32 b33 b31= a1a2 -a0a3 a1 b41 b32= a1a4 -a
4、0a5 a1 b41= b31a3 -b32a1 b31 b42= b31a5 -b33a1 b31 b43 bn+1 系统稳定的条件：系统稳定的条件： (1) 特征方程式各项特征方程式各项 系数都大于零。系数都大于零。 (2) 劳斯表中第一列劳斯表中第一列 元元 素均为正值。素均为正值。 第一列元素符号改变的次第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。数等于不稳定根的个数。 例例 已知系统的特征方程，试判断该系统已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。的稳定性。解：解： s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下：劳斯表如下： 1 3 5 s1 s0 s4 s3 s2 b31 b32
5、 b41 b51 2 4 b31= 2*3 -1*4 2 =11 b32= 2*5 -1*0 2 = 55 b41= 1*4 -2*5 1 =-6-6 b51= -6*5 -1*0 -6 = 55有两个正实部根，系统不稳定。有两个正实部根，系统不稳定。例例 系统如图所示，试确定系统稳定放大倍系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数数K的取值范围。的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数闭环传递函数(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解：解： 劳斯表劳斯表: 1 40 s3 s2 14 40K
6、s1 b31 b31= 14*40 -1*40K 14 s0 b41 40K 系统稳定的条件系统稳定的条件:0560-40K040K014K0 如果劳斯表中某行的第一个元素为零，如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。表示系统中有纯虚根，系统不稳定。下面举例说明下面举例说明: 该行中其余各元素不等于零或没有该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。其他元素，将使得劳斯表无法排列。 此时，可用一个接近于零的很小的此时，可用一个接近于零的很小的正数正数来代替零，完成劳斯表的排列。来代替零，完成劳斯表的排列。例例 已知系统的特征方程，试判断系已知系统的特
7、征方程，试判断系 统的稳定性。统的稳定性。劳斯表为劳斯表为:系统有一对纯虚根系统有一对纯虚根 s3+2s2+s+2=0解：解： 1 1 s3 s2 2 2 s1 b31 =0 s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=j b31= 2*1 -2*1 2 ( ) =2 b41= -2*0 2* 不稳定不稳定 例例 已知系统的特征方程已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定试用劳斯判据确定 方程的根在方程的根在s平面上的分布。平面上的分布。解：解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。方程中的系数有负值，系统不
8、稳定。劳斯表为劳斯表为: 1 -3 s3 s2 0 2 s1 b31 b31= s0 b41 2 通过因式分解验证通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2- -2-30 b31 - = - 第一列元素的符号变化了第一列元素的符号变化了 两次两次,有一对不稳定根。有一对不稳定根。 如果劳斯表中某一行的元素全为零，如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。系统不稳定。下面举例说明下面举例说明: 此时，应以上一行的元素为系数，构此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对
9、成一辅助多项式，该多项式对s求导后，求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。同时由辅助方程可以求得这些根。例例 已知控制系统特征方程已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。判断系统稳定性。由为零上一行的元素由为零上一行的元素 组成辅助多项式：组成辅助多项式：s6 +2s5 +8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：解：劳斯表为劳斯表为: 1 8 20 16 s6 s5 2 12 16 s4 2 s3 0 1612P(s)=2s4+12s2+16dP(s)ds=8s3+24s代入代入0824s2 1668/3s1 s0
10、16劳斯表中某行同乘以某正数，劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。不影响系统稳定性的判断。系统有虚根系统有虚根,不稳定。不稳定。三、结构性不稳定系统的改进措施三、结构性不稳定系统的改进措施 调整系统的参数无法使其稳定，则称调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。这类系统为结构不稳定系统。Ks2(Ts+1)-R(s)C(s)如：如：(s)=Ts3+s2+KK闭环传递函数：闭环传递函数：Ts3+s2+K=0特征方程是式：特征方程是式： 由于特征方程中少了由于特征方程中少了s项，无论项，无论K取何值取何值系统总是不稳定。系统总是不稳定。 解决的方法有以下两种：解决的方
11、法有以下两种：1改变环节的积分性质改变环节的积分性质积分环节外加单位负反馈积分环节外加单位负反馈,系统结构图为系统结构图为:Ks(Ts+1)-R(s)1s-C(s)G(s)=s(Ts+1)(s+1)K1s+1=11+s1sC(s)R(s)=s(Ts+1)(s+1)+KK系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程式特征方程式:Ts3+(1+T)s2+s+K=0劳斯表劳斯表: T 1 s3 1+T K s2 s1 K s0 1+T-TK 1+T 系统稳定的条件系统稳定的条件1+T-TK0K0K0 1+T T 2加入比例微分环节加入比例微分环节 系统中加入比例微分环节结构图系统中加入比例微分环节结构图系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数:Ks2(Ts+1)R(s)s+1-C(s)G(s)=)(K Ks+1s2(Ts+1)(s)=Ts3+s2+Ks+1)K(s+K劳斯表劳斯表:s3 T K 1 K s2 s1 K( -T) K s0 系统稳定的条件系统稳定的条件:K0-T0即即TK0精品课件精品课件！精品课件精品课件！作业习题：作业习题：3-11 (1) (3)3-14返回返回3-13
