1、5-1.引言 1、应用Nyquist判据，可以根据开环频率特性研究闭环系统的稳定性，不必皆闭环特征方程； 2、研究频率特性（尤其二阶系统），把系统参数和结构变化与过渡过程性能指标结合起来； 3、频率特性有明确的物理意义，可以用实验测定； 4、频率响应分析法不仅适用于线性系统，还可以用于一些非线性系统； 5、在设计中可以明确地抑制高频噪声。频率响应法是工程中常用于分析和设计自动控制系统的一种方法，它有如下特点：5-2.频率特性一、基本概念RreceCrcceedtdeT其中 T=RC11)()(TssEsErc故有：若tAersin则22sAEr22111222222221111)(sssTTA
2、sATssETATTATc)sin(11cos1sin11)(2222222222TarctgtTAeTTAtTTAtTAeTTAteTtTtc瞬态分量稳态分量)sin(1lim22TarctgtTAectRC网络的幅频特性2211TRC网络的相频特性Tarctg均为的函数。RC网络的幅频特性和相频特性数据表-90-78.7-76-71.5-63.5-45-26.6000.200.240.320.450.710.89102211TTarctgT21T1T2T3T5T4幅频特性与相频特性图0T1T2T3T4T510T1T2T3T4T5-90设4422)(mmmbbba4422)(nnnaaac5
3、5331)(mmmbbbb55331)(nnnaaad也可以写作：)()()(jGjejGjG其中：)()()()()(2222dcbajG)()()()()()()()()(dbcadacbarctgjGnnnnmmmmajajajabjbjbjbjG)()()()()()()(11101110)()()()()(jdcjbajG则其中：若将其表达为可以推出：是的奇函数。 )(jG)(jG是的偶函数，)(a和)(c是的偶函数，)(a和)(d是的奇函数。 谐波作用于线性定常稳定系统，其输出的稳态值仍然是与输入同频率的谐波函数，但是输出的幅值与相位有变化。其幅值变化因子为：)(jG，相移为：)(
4、jG可以证明：jssGjG)()(因此，描述系统特性的方法有如下三种：微分方程，传递函数，频率特性其关系如p173图5-4二、频率特性的几何表示法1、幅频特性与相频特性 幅频特性是输出谐波的幅值与输入谐波幅值之比随谐波频率变化的情况； 相频特性是输出谐波对于输入的相位滞后。2、幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线简称幅相图或极坐标图。 幅相频率特性曲线的特点是把看成参变量，将频率特性的幅频特性和相频特性同时表现在复平面上。 以复平面实轴正方向为相角的零度线，逆时针方向定义角度的正方向；以复平面原点为幅频特性的参考点，对每一频率值，由相频特性)(jG确定其方向，以幅频特性)(jG为离原点的距离，从而
5、确定了复平面上的一点；随变化，就组成了一条轨迹 幅频特性曲线（幅相图）。对于前面讨论过的RC网络如下图：2211)(TjGTarctgjG)(由于11)(TssG根据)(jG)(jG和奇偶特性，可以画出0一段幅相图。00ReIm3、对数频率特性曲线（Bode图） 对数频率特性曲线横坐标表示频率，按对数分度单位是弧度秒； 对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是分贝，记作dB。对数幅频特性函数的定义：)(lg20)(jGL 对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。采用对数坐标图的优点是：1、可以将幅值的乘除化为图中的加减；2、可以用简便的方法绘
6、制近似对数幅频曲线；3、将试验数据画成对数幅频曲线可获得系统表达式。4、对数幅相曲线（Nichols图） 对数幅相曲线的横、纵坐标都是均匀分度，横坐标表示频率特性的相角，纵座标表示频率特性的幅值的分贝数，如上述RC网络的对数幅相曲线如p175图。5-3.典型环节与开环系统频率特性一、典型环节如图，开环传递函数为：)(sG)(sc)(sR)(sHnnnnmmmmasasasabsbsbsbsHsG11101110)()(事实上，可以将G(s)H(s)分解为一些因子的乘积。1、比例环节K)(ty)(tx)()(tKxty比例环节的频率特性是KjG)(频率特性的幅相曲线（极坐标）图上是实轴上K这一点
7、。jK0比例环节的对数幅频特性和相频特性分别为：KLlg20)(0)(和Klg20)(dB0.1 1 10 10000.1 1 10 1002、积分环节 1s)(tx)(ty211)(jejjG)(1)(txpty，ssG1)(，显然，幅频特性与成反比，相频特性恒为-900090)(lg20)(，L对数幅频特性是直线，斜率为-20。20lg)(ddL 该线横坐标lg 每增加单位长度，L()就减少20dB，记作 -20dB/dec（-20dB /十倍频程），该线与零分贝交点为 =1。对数相频曲线是-900的水平线。1101 . 0)(dBj11000j积分环节的幅相特性为：积分环节的对数幅频特性
8、和相频特性如下：1101 . 0100o90)(3、微分环节s)(tx)(ty2)(jejjG)()(tpxty，ssG)(，微分环节的幅相特性为：0j对数幅频特性和相频特性为：090)(lg20)(，L对数幅频特性是直线，斜率为20。20lg)(ddL对数幅频特性与相频特性如右图：1101 . 0)(dBj1 . 00901104、惯性环节11Ts)(tx)(ty)()()1(txtypT其微分方程的解为 ：)0(1)(tetyTt当 x(t) = 1(t)，由于其阶跃响应不是立即达到，响应具有惯性，因而惯性环节由此得名。惯性环节的特性取决于时间常数。TjTjG11)(11)(TssG，幅相
9、曲线如右：10j0惯性环节的对数幅频特性和相频特性：22)(1lg20)(11lg(20)(TTLTarctg)(TjjG11)(若取，可得右图：1101 . 0)(dB1000451 . 01090101000451)1(arctgT当T1时，)( 3)21lg(20)1(dBTL在工程上，往往采用如下的简便作图法：221lg20)(TL将分两段来近似：(1) 当1/T时，近似地不计及 T2 这一项：01lg20)(LT1显然，当时，这种近似较为准确。(2)当1/T时，近似地则不计及 1 这项：)lg20lg20(lg20)(TTLdecdB /20此时，该近似直线的斜率为，于零分贝线交于T
10、11T（即处）。T1显然，当时，这种近似较为准确。用上述近似法称渐进线作伯德图法，显然,在=1/T处，误差最大。)(dBT1-3dBdecdB/0decdB/20而近似则将其视为0故在交接频率处，用渐进线作图将带来-3dB的误差。)(311lg20)(dBL此时，精确值为：5、一阶微分环节1Ts)(tx)(ty)()1()(txTpty)1()(TjTjG1)( TssG，其幅相曲线为：0jT1其Bode图为（设T=1)：1101 . 0)(dB1000451 . 01090101006、振荡环节222222411)(nnjG10 01)(21)(2，nnnsssG时当时当112112)(22
11、22nnnnnnarctgarctgjG显然00)0(，0180)(可作出如p179图5-12：00当220212且nr)(jG取最大值。称)(rrjGM为谐振峰。其Bode图的近似表达如右：1101 . 0)(dB1000901 . 01018010100decdB/407、时滞环节)( 1 )()(TtTtxtyTjTsejGesG)()(，)(3 .57)()(1)(度弧度，TTjGjG)()(sResCTsj01j1dB0)(dB二、开环幅相曲线的绘制)1)(1()(21sTsTKsG例：绘制系统开环频率幅相曲线，其中：001800)(0)0(jGKjG，解：)1)(1()(2121s
12、TsTTTKjG零型系统若包含n个惯性环节时，0当0900)(njG00)0( KjG时，当例：)1)(1)(1()(321sTsTsTsKsG试分析开环幅相曲线特点并求曲线与负实轴交点。解：)1)(1)(1()(321321sTsTsTsTTTKjG003600)(90)0(jGjG，02322222123212321)1)(1)(1 ()()0(ReTTTTTTTTTKjG)1)(1)(1 ()(1)(Im2322222121332212TTTTTTTTTKjjG0jRe求负实轴交点可以用试探法，一般也可令G(j)虚部为0，解得，再求实部。13322110)(ImTTTTTTjGx再代入实
13、部：)1)(1)(1()()(2322222123212321TTTTTTTTTKjGxxxxx5-4 Nyquist 稳定判据 1、应用开环频率特性判断闭环稳定性其中开环频率 特性可部分实验求取； 2、便于研究系统参数和结构的改变对稳定性的影响； 3、可以研究包含延时环节的稳定性； 4、可以推广到非线性研究。Nyquist判据的特点：Nyquist判据根据开环频率特性判断闭环系统稳定性。一、辅助函数F(s) 1、其零点和极点分别是闭环和开环的特征根； 2、其零极点个数相同； 3、F(s) 和 G(s)H(s) 只差常数。)(sG)(sH)(sR)(sE)(sC)()()()()()()(21
14、2121sMsMsNsNsNsMs设：)()()()()()(2211sNsMsHsNsMsG，则：)()()()()()(2121sNsNsMsMsHsG定义一个辅助函数：)()()()(1)()()()()()()(11212121jnjinipszssHsGSNsNsMsMsNsNsF定义一个辅助函数：辅助函数 F(s) 有如下特点：F(s) 函数的特点： 0)(jG)(sF01二、映射定理 在 s 平面上任选一复数 s，通过复变函数 F(s) 的映射关系在 F(s) 平面上可以找到 s 相应的象。 若在 F(s) 的零极点分布图上，选择A点，使 s 从A点开始移动，绕 F(s) 的零点
15、 Zi 顺时针依曲线s（ s不通过任何零极点）转一周回到A，相应地，F(s)也可从 B 点出发回到 B，也画出一条封闭曲线 F。0jAs s0jB FF若 s 依 s变化时，F(s) 相角的变化为)(sF)()()()()()()(2121nnpspspszszszssF 则有：0jAs s0jB FFizs 从图中可以看出，除2)(izssF之外，其它各项均为零。F(s)= -2 表示 s 的象F 从 B 点开始再回到 B点绕着原点顺时针转了一圈。幅角定理： 若封闭曲线 s 内有 z 个F(s)零点，p 个F(s)极点，则 s 依 s 顺时针转一圈时，在 F(s) 平面上，F(s) 曲线绕原
16、点反时针转的圈数 R 为 p 与 z 之差，即 R= p - z同理，若 s 绕F(s)的极点顺时针转一圈时，在F(s)上s的象 F绕原点反时针转一圈。由此，可得映射的幅角定理：0jAs s0jB FF三、Nyquist 判据 若系统开环稳定，则闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线不包围（-1，j0）点； 若系统开环不稳定（在 s 右半平面有 p 个开环极点），则系统闭环稳定的充要条件是开环幅相曲线反时针方向包围（-1，j0）点 p/2 次。Nyquist 判据可分为两种情况：证明：将s 取为虚轴和右半平面半径为无穷的圆，幅角原理的 p 和 z 则表示了位于右半 s 平面的开环极点和零点的个数。0
17、j sBACK 故 s 沿 s 顺时针环绕一圈时，在 F(s) 平面上 F 绕原点反时针圈数为 R = p z0j s若系统稳定，则 F(s) =1+ G(s)H(s)在 s 平面的右半部（即 s所围区域内）没有零点。即环绕 F(s)原点数为 R= p-z|z=0= p为进一步简化，我们不作 F(s) 曲线，仅画 G(s)H(s) 曲线，由前所述，F(s) 与 G(s)H(s) 仅差单位 1，G(s)H(s) 曲线是将 F(s) 平移（左移）一个单位而得，从 G(s)H(s) 图上看，F(s) 原点相当于 G(s)H(s)图上的（-1，j0）点。0j1因此，在 G(s)H(s) 图上，若希望系
18、统稳定，G(s)H(s) 的曲线环绕（-1，j0）点次数为 R = p 0，这里 p 为开环系统在右 s 平面的极点数。由于我们做幅相图时，j 取 =0 到 ，因而仅是 s 的部分路径（对于的半圆倒无妨，反正它退化在 G(s)H(s) 平面上的原点邻域，与（-1，j0）点并无关系）因此，我们得出第二点结论。定理证毕 。0j s试分析系统稳定性。例：系统的开环传递函数为：)1)(1()()(21sTsTKsHsG解：该系统开环幅相图如右，由图中 G(s)H(s) 的 G(j)H(j) 曲线不包围 （-1，j0）点可知，该系统稳定。0j-1事实上，本题中，只要 K，T1，T2 均大于零，G(j)H
19、(j) 的幅角只会在 0 -1800内变化，不会与负实轴相交，因而不会包围（-1，j0）点，因此只要 K，T1，T2 均为正数，系统总是稳定的。如前所述，当系统的开环传递函数包含积分环节时，设：)()()(1)()(1111011uuuvwwwvasassbsbsbsHsGssHsG 当 = 0 时，090)0()0(1jHjGv，0180)0()0(2jHjGv，090)0()0(vjHjG即对 型系统，有：0js1abc为避免s经过 G(s)H(s) 的极点，可采用一无限小的圆弧来绕过这些位于虚轴上的开环极点，从而可以应用 Nyquist 判据。绕过原点处的极点会产生何种影响呢?S 平面上
20、原点映射到 G(s)H(s) 平面上的无穷远处，而s 从 s 上的 a点移至 c 点时，0js1abcjvvvjeKeKsHsG1111)()()(其中：uwuuuuwwwwssabasasasbsbsbsbsHsGK 111111001101lim)()(lim201，在 a 点，故090)()(vsHsG090)()(vsHsG在 c 点2，故在 b 点0，故00)()(sHsG可见，1小圆弧在 G(s)H(s) 上的映射是半径无穷大的v/2 的圆，其方向为顺时针。再考虑到 G(j)H(j) 幅相曲线从 =0 至 ，1 圆弧仅考虑 bc，故在应用 Nyquist 判据时，遇到开环传递函数有
21、原点处极点（即有积分环节）的情况，应对 G(j)H(j) 从频率 0+ 对应的点开始，反时针方向补画 v/4 个无穷大半径的圆。0js1abc)1 ()(2TssKsG例：某单位反馈系统试用 Nyquist 判据判断其稳定性。解：系统的开环幅相图如右，由于有二阶积分环节，补画半圆。可见，幅相曲线包围（-1，j0）点一次，而开环系统稳定，故闭环系统不稳定。0j0+ = -1例：试判断下列系统 K=2 时闭环是否稳定，并确定临界放大系数。) 12)(1()()(sssKsHsG)21 (32)12)(1(2)()(22jjjjjHjG解：作 K=2 时的幅相图可见系统不稳定，0j-121令上式虚部
22、等于零，得0212，即将21代入 G(j)H(j) 得：32)21()21(KjHjG132K，令23临界K可得四、系统稳定裕量 工程上要求系统稳定，即要求最小相位系统的幅相图曲线不包括（-1，j0）点，若能保证不但不包括（-1，j0）点，而且离（-1，j0）点有一定距离，则系统在受到环境温度、元件参数变化所影响后，幅相曲线也不会包围（-1，j0）点，则称系统有一定的稳定裕量。 稳定裕量分相角余量相角余量和幅值余量幅值余量。相角余量相角余量是指在幅值等于1的频率上，使系统达到稳定边界所富余的相角迟后量： = 1800 + (c)c G(j)H(j) 曲线与单位圆 交点处的频率（穿越频率）0j-
23、1c幅值余量幅值余量指 G(j)H(j) 相角等于 1800 时（ G(j)H(j) 与负实轴交点处），幅值G(jg)H(jg) 的倒数。0j-11/hg)()(1ggjHjGh 相角余量相角余量表示使系统到达稳定边界所允许增加的开环传递函数的相位滞后。 幅值余量幅值余量表示使系统到达稳定边界所允许增大的开环传递函数的放大倍数。如右图可见：五、Nyquist 判据在对数频率特性中的应用 在 G(j)H(j) 平面上的单位圆反映到对数坐标图上是 0dB 线。在 G(j)H(j) 平面上负实轴反映到坐标图上是 1800 线。 因此，G(j)H(j) 线不包围（-1，j0）点转换到对数坐标上是：在
24、L() 0dB 的频段内，相频特性曲线不穿越 1800 线。 因此， Nyquist 判据用在对数频率特性上表达为： 一个反馈控制系统，其闭环特征正实部根的个数 z ，可以根据开环传递函数右半 s 平面极点个数和开环对数幅频特性为正值的所有频段内，对数相频曲线与 -1800 线的正负穿越之差 N=N+-N- 确定，即 z = p-2N，系统稳定的充要条件是 N= p/2。 何为N+，N-？请看下例：由幅相图上看，幅相曲线包围（-1，j0）点的圈数为0，此结论也可以根据 增加时的幅相曲线穿越负实轴来确定，将由下往上穿越为负穿越（如 C 点），而将由上往下为正穿越（如 B 点），A点不必考虑，仅考
25、虑负实轴上（-，-1）部分（即 0dB 以上部分）。0j-1-+CBA090)(dB00180-+)(CBACBA0j-1-+CBA090)(dB00180-+)(CBACBA把增加时,相角()减少的称负穿越，把增加时,相角()增加的称正穿越。同样地，当G(s)H(s)包含积分环节时，在对数相频曲线上 为 0+ 的地方，应补画一条从相角 0 度到 G(j0+)H(j0+)的虚线，将虚线的穿越也算入穿越的统计内。例：系统的开环传递函数为) 1()()(2TssKsHsG试用对数频率判据判断闭环系统的稳定性。0180)(dB00270-40dB/dec-60dB/dec1/T)(解：系统伯德图如右
26、，由于 p=0，故z = 0 - 2(-1) =2所以系统不稳定，且可以进一步指明，系统闭环特征方程右半 s 平面根的个数z = 2G(s)H(s)有两个积分环节，相频特性从-1800开始，但需从 00 线补画一虚线在 = 0+ 处，故 N=N+- N-= -1六、对数幅相特性和系统品质的关系通常把对数幅、相特性分为低频区、中频区和高频区)(L-20dB/dec- 40dB/dec1- 60dB/dec-20dB/dec2c34低频区低频区高频区高频区中频区中频区0- 40dB/dec)(dB1、低频区 系统低频区的特性决定系统的静态性能的好坏； 低频特性渐进线决定系统的稳态误差； 低频特性渐
27、进线是 0dB/dec 的系统是0型系统； 低频特性渐进线是 -20vdB/dec 的系统是 v 型系统；)(L-20dB/dec- 40dB/dec1- 60dB/dec-20dB/dec2c34低频区低频区高频区高频区中频区中频区0- 40dB/dec)(dB 1型系统低频渐进线的斜率是-20dB/dec，作低频渐进线的延长线与 0dB 线相交，交点的频率数值就是系统的稳态速度误差系数，如下图：确定 K 值有两种方法，均基于积分环节的如下公式：KjG)(lg20lg20)(KL，) 1 (lg20LK 1、取1时的纵坐标分贝值20)1(10LK ，得2、设低频渐进线（或其延长线）于 0dB
28、 交于 k，由0lg20lg20)(kkKLkK，得dB0-20dB/dec=1k20lgKdB0-20dB/dec20lgK=1kK 1K 1时，随 M增大，等 M 圆越来越小，最后收敛于（-1，j0）点，这些圆心在（-1，j0）点左边，圆在 M = 1 直线左边。 当 M1时，随 M 减小，等 M 圆收敛于原点，圆心在原点右边，圆在M=1直线右边。该式表明，等M圆的轨迹是圆心在），（012jMM21MM半径为的圆。)1()()(11xytgxytgtgN 令tgAtgBtgBtgABAtg1)(，则由22yxxyN得22)21(41)21()21(NNyx即)2121(Nj，可见，N 等于
29、定值的轨迹为圆，圆心为22141）（N，半径为 这些圆称为等 N 圆。等 N 圆实际上是等相角正切的圆，当相角增加 1800 时，其正切值相同，因而在同一圆上。 利用标有等 M 圆和等 N 圆的坐标纸，将极坐标开环幅相曲线画上，即可求得相应频率的 M，值。 对应于与幅相相切的且有最小半径的圆的M值，为谐振峰值Mr。用等M圆,等N圆求系统的闭环频率特性，必须画出系统的开环幅相图。利用 Nichols 图则可根据开环对数坐标图求得闭环频率特性。二、尼柯尔斯（N.B.Nichols）图尼柯尔斯图可由等 M 圆和等导N 圆转换而得。三、带宽 当闭环幅频特性下降到零频时的闭环幅频特性以下 3分贝时，对应的频率 b 称为带宽频率。 0b称为系统的带宽。 )(dB3brMr1 )()()(vpsszsKsGjvi，对于 I 型或 I 型以上的系统有：)()()()(ijvizsKpsszsKs)()()()()(ijvizjKpjjzjKj此时：一阶和二阶系统带宽与瞬态响应有着明确对应的关系：1)0()0()0()0()0(ijvizjKpjjzjKj0)0(lg20 j故11)(Tss如一阶系统：21 Tj解，Tb1可得TtTtrs2.23，而由时域分析：。，brbstt2.23故有：欠阻尼二阶系统：2222)(nnnsss
