1、5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程5-2 分子热运动和统计规律5-3 理想气体的压强和温度公式5-4 能量均分定理 理想气体的内能5-5 麦克斯韦速率分布律5-6 麦克斯韦玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒子按高度的分布 5-7 分子碰撞和平均自由程5-8 气体的输运现象5-9 真实气体 范德瓦耳斯方程第五章 气体动理论 一、状态参量的微观解释1. 体积 V 气体分子所能到达的空间。2. 压强 p 气体分子垂直作用于器壁单位面积上的 力，是大量气体分子与器壁碰撞的宏观 表现。 1atm =760 mmHg =1.01105 Pa 为了描述物体的状态，常采用一些物理量来表示物体的有关特性，
2、例如体积、温度、压强、密度等，称状态参量（state parameter）。5-1 热运动的描述 理想气体模型和物态方程 热力学温标(T：K)与摄氏温标(t：)： t /=T /K-273.163. 温度 T 反映物体冷热程度的物理量，其高低反 映内部分子热运动的剧烈程度。二、平衡态 准静态过程 平衡态（equilibrium state）：在不受外界影响（即系统与外界没有物质和能量的交换）的条件下，无论初始状态如何，系统的宏观性质在经充分长时间后不再发生变化的状态。 从微观角度，存在热运动，又称为热动平衡状态（thermodynamical equilibrium state）。 气体处于热
3、平衡、力学平衡与化学平衡。 一定质量的气体的平衡态可以用 一组状态参量（p、V、T） 表示。在P-V 图上是一个确定的坐标点。 当气体的外界条件改变时，气体从一个状态不断地变化到另一状态，如果状态变化过程进展得十分缓慢，使所经历的一系列中间状态，都无限接近平衡状态，这个过程就叫做准静态过程（quasi-static process）或平衡过程（equilibrium process）。在P-V 图上是一条连续的曲线。三、理想气体状态方程理想气体（ideal gas）：在任何情况下都严格遵守波意耳定律、盖吕萨克定律以及查理定律的气体。是实际气体在压强趋于零时的极限。宏观模型 当质量为m、摩尔质量
4、为的理想气体处于平衡态时，它的状态参量（p、 V、T） 满足方程：RTMmpV （理想气体状态方程）（普适气体常量） 1318KmolJ.1R系统的压强、体积、温度中任两个量一定，就可确定系统的状态，因此常用p-V 图中的一点表示气体的一个平衡态，p-V 图上的一条曲线来表示系统的一个准静态过程。一定量理想气体的等温线 例5-1 某种柴油机的汽缸容积为 0.82710-3 m3。设压缩前其中空气的温度47 C，压强为 8.5104 Pa。当活塞急剧上升时可把空气压缩到原体积的1/17，使压强增加到 4.2106 Pa， 求这时空气的温度。 如把柴油喷入汽缸，将会发生怎样的情况？（假设空气可看作
5、理想气体。）只需考虑空气的初状态和末状态，有222111TVpTVpT1=273+47=320（K）K 930111222TVpVpT 这一温度已超过柴油的燃点，所以柴油喷入汽缸时就会立即燃烧，发生爆炸推动活塞做功。解： 例5-2 容器内装有氧气，质量为 0.10 kg，压强为 10105 Pa ，温度为 47 C 。因为容器漏气，经过若干时间后，压强降到原来的 5/8，温度降到 27 C 。 问 (1) 容器的容积有多大？ (2) 漏去了多少氧气？RTMmpV 10032. 0472731031. 810. 05MpmRTV解：(1)(m1031. 833（2）若漏气若干时间之后，压强减小到
6、 p，温度降到 T。如果用m 表示容器中剩余的氧气的质量，由状态方程得 (kg)1067. 6472731031. 81031. 81085032. 0253TRVpMm漏去氧气的质量为 kg.210333mmm一、分子热运动的图像分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动。5-2 分子热运动和统计规律布朗运动分子热运动的图像：1. 标准状态下 ，气体分子之间的距离大约是分子本身线度（10-10 m）的10倍左右，可把气体看作是彼此相距很大间隔的分子集合。2. 分子与分子间的相互作用力，除了在碰撞的瞬间以外，极为微小。 3. 分子热运动的平均速度约 = 500 m/s ， 分子的平均碰撞频率约
7、 = 1010 /s， 分子的平均自由程约 =10-7 m。vZ返回二、分子热运动的基本特征分子热运动的基本特征：分子的永恒运动与频繁的相互碰撞。分子热运动与机械运动有本质的区别。1. 分子热运动的无序性2. 分子热运动的统计性平衡态的统计假设：1、平衡态时，气体分子数密度分布均匀；2、分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个方向上气体分子的运动比其他方向更占优势。宏观量（macroscopic quantity）：表征大量分子的整体特征的量。如温度、压强、热容等，是实验中能测得的量。微观量（microscopic quantity）：表征个别分子特征的物理量。如某个分子的质量、速度、能
8、量等，在现代实验条件下是不能直接测得的量。统计方法的作用：在气体动理论中，必须运用统计方法， 求出大量分子的某些微观量的统计平均值，用以解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质。 几个统计物理学术语三、分布函数和平均值偶然事件：不可预测而又大量出现的事件。 多次观察同样的事件，可获得该偶然事件的分布规律。例如：伽耳顿板实验 投入一个小球，一次实验中，小球落入哪个狭槽是偶然的。 投入大量的小球，落入各个狭槽的小球数目遵守一定的统计规律。则小球该的总数为 为了描述统计规律，引入分布函数：iiiiixhCNNjjjiiiixhxhNNP 设第 i 个狭槽的宽度为xi ，其中积累的小球高度为 hi ，则
9、此狭槽内的小球数目Ni 正比于小球占的面积A = hixi 。令 Ni =C A = C hi xi第 i 个狭槽内小球数目占总球数的百分比为 可作为每个小球落入第 i 个狭槽内的概率。xxhxxhNNPd)(d)(dd令 则xxhxhdxdpxf)d()()(f (x)表示小球落在x附近单位区间内的概率，或小球落在x处的概率密度，称为小球沿x 的分布函数。减小狭槽的宽度，使 ，0ix小球落在xx+dx内的概率（或在xx+dx内的小球数目占总球数的百分比）为 xxfPd)(dxNNxfdd)(显然，1)(dd)(NxNxxf由分布函数还可计算任一物理量（如x）的统计平均值。xxxfNNxxd)
10、(d（归一化条件）如平均位置：表示小球落在x处的概率密度xNNxfdd)(一、理想气体的微观模型（宏观模型？） (1)分子线度与分子间距相比较可忽略，分子被看作质点。 (2)除了分子碰撞的瞬间外，忽略分子间的相互作用。 (3)气体分子在运动中遵守经典力学规律，假设碰撞为弹性碰撞。 理想气体分子是自由地无规则地运动着的弹性质点群。 (4)一般情况，忽略分子的重力。1. 力学假设5-3 理想气体的压强和温度公式根据理想气体的运动图像进行的假设2. 统计假设 (1)平衡态时， 气体分子数密度 n 分布均匀。 (2)平衡态时，相同速率的分子沿各个方向运动的平均分子数相等(或沿各方向运动的概率均等)。z
11、yNiixxvvNvv)(2222231)(vvvNvvzyNiixx 2222zyxvvvv根据理想气体的运动图像进行的假设二、理想气体压强公式的推导12lvix分子一次撞到A1面上给器壁的冲量为 单位时间内，该分子它们给A1面的总冲量：1022lvvmixix考虑其中的一个分子 i ，速度为 iv设一长方体容器（ l1、 l2 、l3、）内有N个同类气体分子，分子数密度n ，分子质量m0 。ixvm02单位时间内，该分子与A1面碰撞的次数为 考虑所有N个分子，单位时间内，它们给A1面的总冲量：NiixNiixNiixixvlmlvmlvvmF12101120110)22(20 xvnmp
12、2031vnmp （理想气体的压强）2321012321032xNiixAvll lNmvll lmllFSFp2k21vm分子的平均平动动能：)21(3220vmnk32n2031vnmp 理想气体的压强：设：分子质量为 m0，气体分子数为N，分子数密度 n。0Nmm 0mNMARTMmpV RTmNNm00ANkT三、温度的本质和统计意义nkTp 玻耳兹曼常量：12310381KJ.ANRk（理想气体状态方程）kTvm23212k 上式反映了微观量的统计平均值和宏观量之间的关系，指出了温度的统计意义： 温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度，它是大量分子热运动平动动能的统计平均值的量度。对
13、个别分子，说它有温度是没有意义的。k32nnkTp结论四、气体分子的方均根速率kTvm232120k方均根速率：023mkTv MRNmkNmkAA00MRTmkTv3302ANRk 例5-3 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率 设（1）在温度 t =100 oC 时， （2）在温度 t =0 oC 时， （3）在温度 t = -150 oC 时。)m/s(.23210745102837331833MRTvJ)(.k212310717373103812323kT解：（1）在温度 t =100 oC 时（3）在温度t = -150 oC时m/s)(.33110281233183332MRTv
14、J)(.k212310552123103812323kTm/s)(.49310282733183332MRTv（2）同理在温度 t =0 oC 时J)(.k212310655273103812323kT（2）氧气分子的质量：（3）分子平均平动动能：（1）单位体积内的分子数：32510452m.kTpnkg.A26010315NMmJ1021.62321kkT例5-4 一容器内贮有氧气，其压强 ，温度 t=27 ，求：（1）单位体积内的分子数； （2）氧分子的质量；（3）分子的平均平动动能。 Pa .5100131P压强不太大，温度不太低，可视为理想气体。解：5-4 能量均分定理 理想气体的内能
15、一、分子的自由度 决定某物体在空间的位置所需要的独立坐标数目。自由度 ( i )：做直线运动的质点：1个自由度做平面运动的质点：2个自由度做空间运动的质点：3个自由度质点:(x, y, z) i=3运动刚体的自由度：自由刚体有 6个自由度：3个平动自由度 (x , y , z )3个转动自由度 ( )随质心的平动+绕过质心轴的转动i = 3个平动自由度 + 2个转动自由度= 5个自由度刚性细棒：,单原子分子：多原子分子：双原子分子：3个自由度H2、 O2、 N2等，5个自由度(看做刚性细棒)He、Ar等，H2O、CH4等，6个自由度刚性气体分子的自由度：对非刚性的双原子和多原子分子，还须考虑振
16、动自由度（视温度而定），一般而言分子的自由度为3n。二、能量均分定理分子的平均平动动能：20202020k2121212123zyxvmvmvmvmkT222231vvvvzyxkTvmvmvmzyx21212121202020 分子的平均平动动能 3kT/2 是均匀地分配在每个平动自由度上的, 每个平动自由度都具有相同的平均动能 kT/2 . 推广到分子的转动和振动上，得到能量按自由度均分的统计规律能量均分定理： 在温度为 T 的平衡态下，物质分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于kT/2。分子平均动能：kTi2单原子分子的平均动能：kT233i多原子分子的平均动能：kT266
17、i双原子分子的平均动能：kT255i具体来看：1、不考虑振动(对刚性分子)：( i ：刚性分子的自由度)t ： 平动自由度， r ：转动自由度分子平均总能量（包括动能和势能）：kTssrt21)( s ： 振动自由度若分子2、考虑振动由振动的规律我们知道，振动过程中动能与势能的平均值相等，所以，有多少振动动能，就有东少振动势能。kTsrt21)(分子平均动能振动动能振动势能三、理想气体的内能气体的内能： 气体中所有分子的热运动动能和分子间相互作用势能的总和。理想气体内能：气体中所有分子的平均动能的总和。1mol 理想气体的内能：（只考虑刚性分子）RTikTiNE220A质量为m，摩尔质量为M的
18、理想气体内能：RTiMmEMmE20 一定量的理想气体，其内能只是温度的单值函数。知识回顾MRTmkTv3302上节课我们得到了分子速率的一个统计平均值，方均根速率但当气体处于平衡状态下，并非所有分子都按方均根速率运动，他们运动速率各不相同但是大量分子整体来看，速率分布遵从一定规律引题：*一、分子速率的实验测定 令圆盘先后以各种不同的角速度转动，用光度学的方法测量各次在胶片P上所沉积的金属层的厚度，可以比较分布在不同速率间隔内分子数的相对比值。 高真空5-5 麦克斯韦速率分布律二、速率分布函数分子速率分布函数：vNNvfdd1)(物理意义： 分子速率在位于v附近单位速率区间内的分子数占总分子数
19、的百分比(概率密度)。（概率密度）NNvvfdd)(vvNfNd)(010vvfd)(归一化条件分子速率位于vv+dv区间内的分子数占总分子数的百分比(概率)：vvfNNvvd)(21知识回顾dvv1v2f(v)vNNdNNNNvvvvfvdd)(0022vvfvvd)(由 f (v) 计算与 v 有关的物理量的平均值：分子平均速率：分子速率平方的平均值：速率分布曲线vvfNNvvd)(2110vvfd)(NNv)v(fdd三、麦克斯韦速率分布律222302024vkTmvfkTvme)()(麦克斯韦指出在平衡状态中气体分子速率分布函数： vpf(v)vTTOTvp麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦
20、最概然速率 vpmmMRTMRTmkTv601880.平均速率：0vvvfvd)(0232302024vvkTmkTvmde)(/203212bvvbvde 平衡态下三个分子速率的统计平均值利用方均根速率：）（或由022vvfvvd)(MRTMRTmkTv73. 13302kTvm23212最概然速率：0d)(dpvvvf0p2mkTv MRTMRT41. 12例5-5 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，问：（1）哪一条曲线对应的温度高？（2）如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：MRTv2p(1) T1 T2(
21、2) 红：氧气f(v)vT1T22pv1pv例5-6 求气体分子速率与最可几速率之差不超过1%的分子数占全部分子的百分比。解：vvkTmvvfNNkTvme)(222302024vvvvv02. 002. 099. 001. 1ppp%.eeppp6710201441322vvvvNNvv分子速率范围：pppp01. 001. 0vvvv5-6 麦克斯韦玻耳兹曼能量分布律 重力场中粒子按高度的分布一、麦克斯韦玻耳兹曼能量分布律 玻耳兹曼保守力场中分子总能量：pkEEEzzzyyyxxxd,d,d和速度区间zzzyvyxxxvvvvvvvvvd,d,dzyxvvvkTmnNzyxkTEEdddd
22、ddedpk23002保守力作用和无规热运动达到平衡时，位于空间区域的分子数为 M B分布 由麦克斯韦速率分布函数的归一化条件：1222230023020vvkTmvvvkTmkTvmzyxkTEd4eddde2kzyxnNkTEdddedpB0可得：上式表示位置处于 x x+dx, y y+dy, z z+dz 内的分子数(包括各种速度的分子)。玻耳兹曼分布律二、重力场中粒子按高度的分布kTgzmnn00e重力场中，重力作用和无规热运动达到平衡时，粒子数密度按高度的分布：0nzn0分子数密度按势能的分布律：kTEnnpe0式中的 n0 表示势能零点处的分子数密度。zyxnNkTEdddedp
23、B0等温气压公式：RTgzMkTgzmpppee000p0为z = 0处的气体压强；p为高度z处的气体压强。ppMgRTz0lnkTnpnkTp00,测定大气压强估算上升的高度： 随着高度升高，气体越稀薄，压强也越低。5-7 分子碰撞和平均自由程一、分子碰撞的研究 分子间频繁碰撞，分子的实际运动路径是曲折无规的。 1s内一个分子和其他分子碰撞的平均次数。平均碰撞频率 ：Z每两次连续碰撞间一个分子自由运动的平均路程。平均自由程 ：nvdZ22（ 为分子的平均速率）v可以证明：vv2r平均碰撞频率： 设分子直径均为 d ，某分子以平均相对速率 运动，其他分子不动。rvnvdZr2二、平均自由程公式rv平均自由程：ndZv221pdkT22nkTp ,p当压强 p 很低，以致分子平均自由程大于容器线度时，其平均自由程即容器的线度。表明分子很少与其他分子碰撞，不断与器壁碰撞。例5-7 求氢在标准状态下1 s内分子的均自由程和平均碰撞次数。（已知分子直径d = 210-10 m)解：MRTv8)sm(.133107011022733188)(m.3252351069227310381100131kTPnm.721014221nd1910957s.vZ
