1、第39讲 直线与圆的位置关系【高考地位】直线与圆的位置关系一般包括直线与圆相交（与弦长有关）及直线与圆相切（切线方程，切线长等），是平面解析几何中相对基础的综合类问题，考查学生对平面几何知识的应用及运算，是进一步学习圆锥曲线综合问题的基础与准备。类型一 直线与圆相交万能模板内 容使用场景直线与圆相交解题模板第一步 确定直线与圆的位置关系，利用垂径定理、设参，点，引入直线方程；第二步 求参，解方程。 例1直线与圆相交于、两点，则_.【答案】【分析】求出圆心到直线的距离，根据弦长公式即可求解.【详解】圆的标准方程为，圆心到直线的距离，所以弦长：.故答案为：【点睛】此题考查直线与圆位置关系，考查弦长
2、公式的基本运算，要准确写出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径大小，要求熟练掌握弦长公式.例2已知曲线：.（1）当为何值时，曲线表示圆；（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.【来源】青海省西宁市普通高中五校2020-2021学年高三上学期期末联考数学（理）试题【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由圆的一般方程所满足的条件列出不等式，解之即可；（2）将转化为，即，然后直线与圆联立，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可.【详解】（1）由，得.（2）设，由得，即.将直线方程与曲线：联立并消去得，由韦达定理得，又由得； .将、代入得，满足判别式大于0.【变式演练1】已知圆：，斜率为1
3、的直线与圆交于、两点.（1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；（2）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；（3）当直线平行移动时，求面积的最大值.【答案】（1）；圆心，；（2）存在；或；（3）.【分析】（1）将一般方程化为标准方程后即可得到结果；（2）设，与圆的方程联立得到根与系数的关系，利用，即，由此整理可得方程求得，进而得到所求方程；（3）设，由垂径定理表示出，将所求面积表示为关于圆心到直线距离的函数，利用函数最值的求法可求得结果.【详解】（1）由得：.圆的圆心为：，半径.（2）假设存在直线，设方程为，以为直径的圆过圆心，即.由消去得：.
4、由得：.由根与系数关系得：，解得：或.直线方程为：或.（3）设圆心到直线：的距离为，则，当时，圆心到直线距离，解得：或，当直线的方程为或时，面积取得最大值.【点睛】方法点睛：处理直线与圆问题中的三角形面积的最值或取值范围问题时，通常结合垂径定理和点到直线距离公式将所求面积表示为关于圆心到直线距离或者半径的函数关系式的形式，利用函数最值的求解方法求得结果.类型二 直线与圆相切万能模板内 容使用场景直线与圆相切解题模板第一步 确定直线与圆相切，切点是否可知；第二步 设参，引入切线方程，由点到线距离求参。 例3. 过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（ ）ABCD【来源】百师联盟全国卷2021
5、届高三开年摸底联考数学（理）试题【答案】B【分析】求出，求出以点为圆心、以为半径的圆的方程，然后与圆的方程作差可得出直线的方程.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，由圆的切线的性质可得，则，所以，以点为圆心、以为半径的圆的方程为，将圆的方程与圆的方程作差并化简可得.因此，直线的方程为.故选：B.例4已知圆与倾斜角为的直线相切于点，且与曲线相外切，则圆的方程为（ ）A，B，C，D，【来源】河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考数学（理）试题【答案】D【分析】求出直线方程为，设出圆的方程，构建方程组即可得到结果.【详解】过点且倾斜角为的直线方程为，即，设圆的圆心为，半径为，
6、由题意直线垂直于直线，故，可得，两圆相切，有，（1）时，解得，圆的方程为；（2）时，解得，圆的方程为；故选：D【变式演练2】已知圆在，两点处的切线均与直线平行，则直线的方程为（ ）ABCD【来源】2021新高考高考最后一卷数学第五模拟【答案】D【分析】由题设可知直线过圆心且与直线垂直，求出直线斜率即可得解.【详解】由题知，圆在，两点处的切线均与直线平行，可知直线过圆心且与直线垂直，设直线的斜率为，则，解得，故直线的方程为故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆相切，解题的关键是通过题设知直线过圆心且与直线垂直，从而求出直线的斜率，考查学生的逻辑思维能力，属于一般题.【变式演练3】在平面直角
7、坐标系中，已知点是上的动点，过点作圆的切线，切点为，当直线的斜率为正时，直线在轴和轴上的截距之和的最大值为_.【来源】西南名校联盟“3 3 3”2021届高三5月份高考数学（文）诊断性试题（三）【答案】0【分析】设，写出切点弦方程，求得直线在x，y轴上的截距，相加，根据函数单调性求得最大值.【详解】设，则由切点弦方程知，直线的方程为，即，由题知，此时的斜率，即直线在x轴上的截距为：，在y轴上的截距为：，两截距之和为，由单调性知，时，当时，取得最大值为0故答案为：0【高考再现】1（多选）（2021年全国新高考卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）A点到直线的距离小于B点到直线的距离大于C当最小
8、时，D当最大时，【答案】ACD【分析】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.2（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.3（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新
9、课标）已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）ABCD【答案】D【分析】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，当直线时， ，此时最小即 ，由解得， 所以以为直径的圆的方程为，即 ，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程故选：D.4（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）ABCD【答案】B【分析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的
10、半径为，圆的标准方程为.由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B.5（2018年全国卷理数高考试题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是ABCD【答案】A【详解】：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.【反馈练习】1已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学
11、试题【答案】A【分析】设，联立，化为由可得，根据韦达定理解出，进而可得结果.【详解】设，联立，化为，解得，因为，所以，解得，符合，则“”是“”的充分不必要条件，故选：A.2已知圆与轴交于两点，点的坐标为圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（ ）ABCD【来源】江苏省淮安市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题【答案】B【分析】令，由题设可得，若圆为，易求、，进而可得含参数的圆的方程，要使变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则直线、圆都过相同的两定点，即可确定直线.【详解】令代入圆得：，若，若圆为，由都在圆上，易知，圆：，整理得，当实数
12、变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，直线一定过圆上的两个定点且与无关，不妨设，则，解得或，即圆过定点，所得两点一定在直线上，代入各选项验证可知B正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：要使变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则必有直线、圆都过相同的两定点，将所得圆的方程转化为关于的直线方程形式.3已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（ ）ABCD【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021届高三三模数学（文）试题【答案】B【分析】、为直线与圆的交点,设，联立方程，借助韦达定理化简，计算即可得出结果.【详解】、为直线与圆的交点,设，联立可得：，即，解得：.
13、则，则,解得：或.综上：故选：B.【点睛】易错点睛：在处理直线与圆交点问题，联立方程借助韦达定理时，不要忽略的隐含条件.4直线与圆交于MN两点，O为坐标原点，则（ ）ABC1D2【来源】河北省“五个一名校联盟”2021届高三下学期第二次诊断考试数学试题【答案】C【分析】可将代入得出：，然后可设，从而根据韦达定理可求出，进而得出，最后便可得出的值【详解】代入得，设，则：，故选：C5已知直线：与圆：相交于，两点，点，分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值是（ ）ABCD【来源】2021年高三二轮复习讲练测（文理通用）【答案】D【分析】由题设，根据圆的性质知当且仅当为圆的直径且时，四边
14、形面积的最大，结合弦长公式求，由圆标准方程确定，即可求四边形面积的最大值.【详解】由题意，要使四边形面积的最大，即点，到直线：的距离之和最大，又，分别在圆上运动且位于直线两侧，当且仅当为圆的直径且时，四边形面积的最大，将直线的方程代入圆中，得，若，即，又圆：，为圆的直径时，故选：D【点睛】关键点点睛：根据圆的性质判断四边形面积的最大时的位置关系，结合弦长公式、圆的标准方程求，求面积即可.6已知圆的方程为，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为ABCD【来源】西藏日喀则市南木林高级中学2021届高三第六次月考数学（理）试题【答案】A【分析】将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，以AB
15、为直径的圆过原点即OAOB，x1x2+y1y2=0，可得关于a的方程，即可求解【详解】由直线x+2y4=0与圆x2+y22x4y+a=0，消去y，得5x28x16+4a=0设直线l和圆C的交点为A （x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是的两个根x1x2=，x1+x2= 由题意有：OAOB，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（4x1）（4x2）=0，即x1x2（x1+x2）+4=0将代入得：a=故选A【点睛】本题综合考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基本知识的考查与应用7过点作圆与圆的切线，切点分别为，若，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】首先根据，圆与的半径
16、相等，为直角三角形，得到，进而得到点在线段的垂直平分线上；然后求出此平分线表达式，得到点的只含有的坐标，代入，得到二次函数，求其最小值即可.【详解】解：如图所示，由圆的切线的性质得，在中有，由题知，所以点在线段的垂直平分线上；由题知，所以与的中点的坐标为，与所在直线的斜率为，所在直线的斜率为，直线的方程为，即，点在，所以点的坐标满足，所以，故选：B.【点睛】本题主要考查直线与圆相切的性质及函数的最值；解题方法是根据已知条件，将表示为只含有一个未知数的函数，然后根据二次函数的特征求出其最小值；解题的关键点是找出点所在的一条直线，进而用一个未知数表示出其坐标，进而求得的最小值.8已知过的直线与圆交
17、于两点（点在轴上方），若，直线的斜率为_【答案】【分析】设出直线AB方程，再联立直线AB与圆C的方程，由建立起直线AB的斜率表示式的等式，求解而得.【详解】显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=my+3，由消去x得：，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以如图，因，则y2=-3y10，从而解得，而时，y1 0，y 0)，则，表示出矩形的周长，利用基本不等式求其最大值，根据等号的成立条件可得，进而可得圆的方程；(2) )设直线AB：，联立：，利用韦达定理求出和，利用单调性求出的取值范围.【详解】解：(1) 设矩形在第一象限点为 (x，y) (x 0，y 0)，则，矩形周长，当且仅当取“=
18、”矩形周长的最大值为，r = 2，圆O的方程：(2)设直线AB：， ,联立：，消去y并整理得，同理：，异号，.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查利用韦达定理解决最值问题，是中档题.16已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.【答案】（1）；（2）2【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1故由，解得：故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|=2考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 21 / 21微信公众号：数学讲义试卷 囡囡老师微信jiaoyu376 word学生+教师双版下载QQ群：457512538
