1、高等机构学高等机构学YSU陈子明陈子明燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院20152015年年1111月月n 螺旋理论基础螺旋理论基础n 基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n 空间机构的位置分析空间机构的位置分析n 运动影响系数原理运动影响系数原理n 空间机构动力学空间机构动力学n 基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n 空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容 一阶影响系数矩阵一阶影响系数矩阵 - Jacobian- Jacobian矩阵矩阵 G 二阶影响系数矩阵二阶影响系数矩阵 - Hessian
2、- Hessian矩阵矩阵 H 能够应用于机构的速度分析，加速度分析，误差能够应用于机构的速度分析，加速度分析，误差分析，受力分析，以及对机构性能的一些分析等方面。分析，受力分析，以及对机构性能的一些分析等方面。影响系数定义影响系数定义 机器人操作臂的操作空间机器人操作臂的操作空间u与关节空间与关节空间q之间的位移关系可表之间的位移关系可表示为示为 两边对时间求导，可得到操作臂的速度方程两边对时间求导，可得到操作臂的速度方程 为末端在操作空间的广义速度，为末端在操作空间的广义速度， 为关节速度，为关节速度，G为为 向向 映射映射的线性变换，即雅克比矩阵。的线性变换，即雅克比矩阵。( )fuq
3、uG qu q q (1)(1)(2)(2)u 影响系数定义影响系数定义( ) iijju qqG这些与运动分离的一阶偏导数定义为一阶影响系数。这些与运动分离的一阶偏导数定义为一阶影响系数。(3)(3)对式（对式（2 2）再次求导）再次求导 式中这些二阶偏导数定义为二阶影响系数，式中这些二阶偏导数定义为二阶影响系数，H即为二即为二阶影响系数矩阵，表示加速度与输入之间的映射关系。阶影响系数矩阵，表示加速度与输入之间的映射关系。 + TuqH qG q(4)(4)2 ijijq q uH(5)(5)影响系数定义影响系数定义 平面平面2R2R机构的输入输出分别为：机构的输入输出分别为： 运动方程：运
4、动方程： 根据式（根据式（3 3）得雅克比矩阵）得雅克比矩阵 操作臂的影响系数矩阵操作臂的影响系数矩阵1121211212coscos()sinsin()xllyll1121221211212212sinsin()sin() coscos()cos()llllllG12 ,TTxyuq(6)(6)由式（由式（5 5）可得二阶影响系数矩阵为）可得二阶影响系数矩阵为 222=ijijijijxyq q uH2212122221222 2 2 uuHuu操作臂的影响系数矩阵操作臂的影响系数矩阵 串联串联机构的影响系数机构的影响系数串联机构的一阶串联机构的一阶转动转动影响系数影响系数: ,0 nhnn
5、j nnSG为为转转动动副副为为其其他他情情况况(7)(7) Sn表示第表示第n个运动副的方向向量个运动副的方向向量 串联机构的影响系数串联机构的影响系数串联机构的一阶串联机构的一阶移动移动影响系数影响系数:(), ,0 nnPnnnj nnj nnjSPRGS为为转转动动副副为为移移动动副副 Sn表示第表示第n个运动副的方向向量，个运动副的方向向量，P为为j杆上选定点的杆上选定点的位置向量，位置向量，Rn为为n杆上固连的动系相对定系的位移向量。杆上固连的动系相对定系的位移向量。 还能看出还能看出第第n n个副的相对运动对第个副的相对运动对第n n个副之前的杆件是个副之前的杆件是没有影响的没有
6、影响的。(8)(8) 串联机构的影响系数串联机构的影响系数串联机构的一阶影响系数串联机构的一阶影响系数 串联机构的影响系数串联机构的影响系数串联机构的二阶影响系数串联机构的二阶影响系数 用构造法得到用构造法得到2R2R链的运动影响系数链的运动影响系数 由式（由式（7 7）可得）可得 其中其中12(001)SS22122 12( cs0)llPR 1122()()TTGSPRSPR11121211212( ccss0)llllPR 代入可得代入可得1121221211212212sinsin()sin() coscos()cos()00llllllG 与式（与式（6 6）求得的结果相同）求得的结
7、果相同 并联并联机构的一阶运动影响系数机构的一阶运动影响系数 对于并联机构，对于并联机构， G 是平台运动对分支独立输入变是平台运动对分支独立输入变量的一阶偏导影响系数矩阵。量的一阶偏导影响系数矩阵。 以以6-6R6-6R机构为例：机构为例： 首先把每个分支看作单开链求得各分支的影响系首先把每个分支看作单开链求得各分支的影响系数矩阵，得到对应的数矩阵，得到对应的6 6个矩阵方程。个矩阵方程。 从中提取出从中提取出6 6个主动副对应的方程，结合成一个矩个主动副对应的方程，结合成一个矩阵表达式，即可构造得到一阶影响系数矩阵。阵表达式，即可构造得到一阶影响系数矩阵。 并联机构的一阶运动影响系数并联机
8、构的一阶运动影响系数 r r取取1 1到到6 6，可得六个分支主动运动对应的方程，可得六个分支主动运动对应的方程，将将6 6个方程合成为一个表达式，得个方程合成为一个表达式，得 ( )( )1 : rriiqGu1 qGu 再次求逆，得再次求逆，得 uG q G 就就称称为为并并联联机机构构的的一一阶阶影影响响系系数数矩矩阵阵虚设机构法虚设机构法 对于空间少自由度并联机构，分支往往不足对于空间少自由度并联机构，分支往往不足6 6自由度。自由度。为便于分析，可在原机构上为便于分析，可在原机构上虚设一个或多个以运动副连接虚设一个或多个以运动副连接的构件的构件，按前述公式得到分支影响系数后，按前述公
9、式得到分支影响系数后，将虚设构件的将虚设构件的输入为零输入为零，从而得到机构的真实输出。，从而得到机构的真实输出。 虚设机构法虚设机构法 添加虚设构件后应确保此时机构的添加虚设构件后应确保此时机构的雅克比矩阵雅克比矩阵不奇异不奇异，所添加的运动副与机构中不线性相关。，所添加的运动副与机构中不线性相关。虚设机构法虚设机构法 012345 TuG00RG其其中中为为转转动动副副的的输输入入转转速速，计计算算时时令令其其为为零零此此时时， 为为6666非非奇奇异异方方阵阵(9)(9) -1012345 TGu虚设机构法虚设机构法 如图的如图的3-RPS3-RPS角台机构，令每角台机构，令每个分支的个
10、分支的R R0 0和和P P为驱动，由式（为驱动，由式（9 9）得得 -110-132 GuG： 即每个分支主动运动对应的方即每个分支主动运动对应的方程。将三个分支对应三个方程组程。将三个分支对应三个方程组合，即可得到机构六个主动运动合，即可得到机构六个主动运动对应的矩阵方程。对应的矩阵方程。虚设机构法虚设机构法 -110-110-110-132-132-132GGGuGGG（1）（1）：（2）（2）：（3）（3）：（1）（1）：（2）（2）：（3）（3）：即即1 qGu uG q虚设机构法虚设机构法 uG q000222 uG（1）（2）（3）（1）（2）（3） 这里这里G的前三列对应虚设运
11、动副的输出，只需取出的前三列对应虚设运动副的输出，只需取出其后三列，即得其后三列，即得3-RPS3-RPS角台机构的一阶影响系数矩阵。角台机构的一阶影响系数矩阵。进而根据影响系数法的公式进而根据影响系数法的公式一阶一阶转动转动影响系数影响系数一阶一阶移动移动影响系数影响系数: ,0 nhnnj nnSG为为转转动动副副为为其其他他情情况况:(), ,0 nnPnnnj nnj nnjSPRGS为为转转动动副副为为移移动动副副虚设机构法虚设机构法123435265454(001)(010)( -)-()SSSa Aa ASSSSSSSSS容易写出分支容易写出分支1 1的影响系数矩阵的影响系数矩阵
12、124561112234455660()()()()()SSSSSGSPRSPRSSPRSPRSPR其中其中1234562RARARRRRa虚设机构法虚设机构法直接法直接法 对于空间少自由度并联机构，分支往往不足对于空间少自由度并联机构，分支往往不足6 6自由度自由度，可以用虚设机构法进行分析。，可以用虚设机构法进行分析。 另外，存在一类少自由度并联机构，可以采用直接法另外，存在一类少自由度并联机构，可以采用直接法对其进行运动学分析。利用直接法，可以为一个对其进行运动学分析。利用直接法，可以为一个N N(N N 6 6)自由度的并联机构建立自由度的并联机构建立N NN N的的JacobianJ
13、acobian矩阵和矩阵和N NN NN N的的 Hessian Hessian 矩阵。矩阵。 这类机构必须满足如下条件：这类机构必须满足如下条件：每个支链的自由度数目每个支链的自由度数目都与机构的自由度数目相同。都与机构的自由度数目相同。直接法直接法3 个转动自由度和个转动自由度和2个个(沿沿x及及y轴轴) 移动自由度移动自由度直接法直接法 对对第第r r个分支个分支，按照前面串联分支影，按照前面串联分支影响系数的求法，可得响系数的求法，可得T( )1( )2( )( )3( )4( )50 xryrzrrxryrwwwvvG( )6 5rRG其其中中（1）动平台参考点动平台参考点p p取在
14、取在转动中心转动中心直接法直接法抽取雅克比方阵抽取雅克比方阵直接法直接法 由于机构没有由于机构没有Z Z方向的移动自由度方向的移动自由度, , , ,可取出可取出式式(1)(1)中中 的非零分量对应的五个方程，写成的非零分量对应的五个方程，写成( )1:( )2( )5 5( )3:( )4:( )5:rrrrfrrRGGGGGG：（2）60u ( )( )rrffuG u 其中其中=xyzfxywwwvvu 直接法直接法 由于由于 为方阵，将式（为方阵，将式（2 2）求逆，可得）求逆，可得 于是，对第于是，对第r r个分支中第个分支中第i i个副，有个副，有( )rfG（3）( )( )1
15、: rrifif Gu ( )( )1 rrff Gu （4）直接法直接法 机构的输入运动为机构的输入运动为3 3个圆柱副和第个圆柱副和第1 1、2 2支链机架支链机架副（副（R1R1）的转动）的转动。于是机构的输入速度矢量为。于是机构的输入速度矢量为(1) -111(1) -133(2) -111(2) -133(3) -133ffffffGGuGGG（1）：（1）：（2）：（2）：（3）：T(1)(1)(1)(1)(1)13133q 由式（由式（4 4）得到每个分支主动运动对应方程，组）得到每个分支主动运动对应方程，组合可得合可得（5）（6）直接法直接法 fufquGq 将式（将式（6 6
16、）求逆即可得到机构的）求逆即可得到机构的5 5维输出与维输出与5 5维维输输入之间的关系入之间的关系1(1) -11(1) -135 5(2) -11(2) -13(3) -13fffuqfffRGGGGGG：（8）（7） 机构的雅克比矩阵为机构的雅克比矩阵为直接法直接法 将式将式(7)(7)代入式代入式(4)(4)还以得到还以得到（9）( )( )1 :( )1 : = frrififurfiq GuGGq 上式建立了机构中任何分支运动副的运动与广上式建立了机构中任何分支运动副的运动与广义输入之间映射的关系。义输入之间映射的关系。直接法直接法 若动平台上参考点并若动平台上参考点并不是选在转动
17、中心不是选在转动中心，此时动平，此时动平台速度矢量台速度矢量6 6个分量往往都为非零元素。这时，一般取个分量往往都为非零元素。这时，一般取动平台动平台5 5个自由度所对应分支雅克比矩阵的个自由度所对应分支雅克比矩阵的5 5行行，同样得，同样得到方阵到方阵 。( )rfG 由于分支雅克比矩阵由于分支雅克比矩阵 的的秩为秩为5 5，其第，其第6 6行必定行必定可以通过前可以通过前5 5行线性组合得到。设行线性组合得到。设( )rG( )( )( )( )( )( )6:1:2:3:4:5:rrrrrrfffffabcdeGGGGGG（10）直接法直接法 由式由式(10)(10)可得各系数为可得各系
18、数为-1( )1:( )2:( )( )( ) -1( )6:6:3:( )4:( )5: = rfrfrrrrffrfrfa b c d eGGGGGGGG（11）( )( )66:( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )1:2:3:4:5:12345 =rrrrrrrrrrrrffffffffffuabcdeaubucudueuGGGGGG （12） 此时输出速度矢量第此时输出速度矢量第6 6个分量则为个分量则为直接法直接法 fufquGq 这种情况下，所得到机构的这种情况下，所得到机构的5 5维输出与维输出与5 5维维输入输入之间的关系，与式之间的关系，与式(7)(7
19、)形式相同形式相同 由于由于 可以用其他可以用其他5 5维输出线性表示，所以通过维输出线性表示，所以通过将上式扩充便可以得到将上式扩充便可以得到6 6维输出与维输出与5 5维维输入之间的关输入之间的关系，写成系，写成6u 66: fufququuGqG（13）（14）直接法直接法 式中式中 可由式可由式(12)(12)求得求得612345 =fffffuaubucudueu6u 由式由式(13)(13)可得可得: fufiqiu Gq （15）（16）61:2:3:4:5:fffffuuuuuqqqqquabcdeGqGqGqGqGq 将上式代入式将上式代入式(15)(15)可得可得（17）直
20、接法直接法 又因为又因为6:1:2:3:4:5: fffffuuuuuuqqqqqqabcdeGGGGGG66:= uquGq 于是式于是式(14)(14)可直接写为可直接写为 6 5 uuqqRGqGu， 上式即表示上式即表示6 6维输出速度与维输出速度与5 5维输入的关系。维输入的关系。 联合式联合式(17)(17)可得可得人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。
