1、为什么为什么特殊特殊1）这些函数在解决工程实际）这些函数在解决工程实际问题中具有重要作用，地位特殊问题中具有重要作用，地位特殊2）它不能通过五种基本的初等函数的四则运算）它不能通过五种基本的初等函数的四则运算和乘方开方得到，它一般是和乘方开方得到，它一般是收敛的无穷级数来表达收敛的无穷级数来表达) 1().(2)(1( !2) 1()(220nmnnnmxxJmnmnmmnn阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数R的薄圆盘，侧面绝热，的薄圆盘，侧面绝热，圆周边缘温度为零度，且初始温度已知，圆周边缘温度为零度，且初始温度已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。求圆盘内瞬时温度分布规律。5.1 的引出的引出0)()n(
2、)( )( 222PPP0)()()()()()()(r222 rFnrrFrrFrrFrPP得到，并记令 当0时，时， n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程最常见的形式最常见的形式5.2 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解0)(222 ynxyxyx1）n为任意实数或者复数，不只是整数，为任意实数或者复数，不只是整数， 可以是非整数可以是非整数2）这个方程的解称为）这个方程的解称为n阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数3）变系数的二阶常微分方程）变系数的二阶常微分方程Solve: 1)设方程有一个级数解设方程有一个级数解代入到代入到n阶贝塞尔方程，阶贝塞尔方程，求求c和系数和系数ak2）c=n,-nc=n, )2(
3、2knkaakk0.1231maaa).(2)(1( !2) 1(,.,202220mnnnmaaaaammmm满足递推关系kckkxay00)(222 ynxyxyx)!).(2)(1( !2) 1(20200mnnnmaxxaymmnmmkckk) 1(210nan令) 1().(2)(1( !2) 1()(220nmnnnmxxJmnmnmmn0)(10 xdttexxt)() 1(1) 1 (xxx) 1(2) 1()() 1().(2)(1( !2) 1()(220220mnxxJnmnnnmxxJmnmnmmnmnmnmmn!.) 1() 1()() 1nnnnnnnn（整数，特别
4、的，)0() 1(!2) 1()(220nmnmxxJmnmnmmnn阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数,是方程的一个特解是方程的一个特解.)2 , 1 , 0()!( !2) 1()(220nmnmxxJmnmnmmn方程的另一个特解：方程的另一个特解：2）c=n,-nc=-n, .)2 , 1() 1(!2) 1()(220nmnmxxJmnmnmmn也称为也称为n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数,也是方程的一个特解也是方程的一个特解)!( !2) 1() 1(!2) 1()(2222mNmxmNmxxJmNmNNmmmNmNNmmN特别的，N=整数时， 5.3 贝塞尔方程的通解贝塞
5、尔方程的通解n不为整数时，不为整数时，)()(xBJxAJynn)() 1()(xJxJNNN线性相关线性相关)() 1(.! 2)!2(2)!1(2!2) 1(.! 2)!2(2) 1(! 1)!1(2) 1(!2) 1()!( !2) 1()(2222121244222122xJNxNxNxNxNxNxmNmxxJNNNNNNNNNNNNNNNNNNmNmNNmmN)()(xBJxAJynn所以我们要寻求另一个特解，所以我们要寻求另一个特解，我们定义第二类贝塞尔函数我们定义第二类贝塞尔函数整数）（整数）（nxJxJnnxJnxJxJnxJnxYnnnnnn(sin)(cos)lim(sin)(cos)(csc)(cot)()()(21xYCxJCynn 5.4贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式之间的关系与探讨)(),()(11nxJxJxJnn的实数）证明0()()(1nxJxxJxdxdnnnn)()(!2) 1() 1(!2)22() 1() 1(!2) 1() 1(!2) 1(101212021220222022xJxmnmxxmnmxmnmnmxdxdmnmxxdxdnnmmnmnmnmmnmnmmmnmnmmmnmnmn)()(10 xJxJdxd再证明至少用至少用2种方法种方法.)2 , 1 , 0()!( !2) 1()(220nmnmxxJmnmnmmn
