1、 用三个用三个4，并利用各种运算符号组成一个算，并利用各种运算符号组成一个算式，使它的结果分别等于式，使它的结果分别等于1，2，3，10。你会做吗？你会做吗？ 怎样反复使用一种特殊的数学运算符号与三怎样反复使用一种特殊的数学运算符号与三个个2，把任意自然数表示出来？，把任意自然数表示出来？ 这种数学运算符号就是这种数学运算符号就是 (开平方根开平方根)。22log log2N 使用使用N重根号即可将任意自然数重根号即可将任意自然数N表达为：表达为：符符 号号 美美 所谓符号符号其实就是一种用来传达信息的标记或记号。它既可以是文字、图形，也可以是别的东西（如：“结绳记事”中的结；联络用的暗号）。
2、 人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号正是这样产生的。 文字是用声音和形象表达事物的符号，一个语种就是一个“符号系统”。这些符号的组合便是语言。 符号对于数学的发展来讲是极为重要的。它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，这在事实上增加了人们的思维能力。如果没有符号去表示数、形及其运算，数学的发展是不可想象的。 数与形是科学的语言，符号则是记录、表达这些语言的载体。正如没有文字，语言也难以发展一样，几乎每一个数学分支都是靠一种符号语言而生存。数学符号是贯穿于数学全部的支柱。 古代数学的漫长历程、今日数学的飞速发展；十七，十八世纪欧洲数学的兴起、我国几千年数学发展进程的
3、缓慢，这些在某种程度上也都归咎于数学符号的运用得当与否，简练、方便的数学符号对于书写、运算、推理来讲，都是何等方便!反之，没有符号或符号不恰当、不简练，势必影响到数学的推理和演算。 然而，数学符号的产生(发明)、使用和流传(传播)却经历了一个十分漫长的过程。这个过程始终贯穿着自然、和谐与美。 数学符号的产生也与数学发展的背景有着紧密的联系，同一概念开始往往运用不同的符号表示，人们在使用过程中不断对其进行鉴别以确定优劣（实用性、方便性、简洁性等）这里面也蕴涵一个审美过程。 数学符号按其性质可分为元素符号(如记数符号)、关系符号(如等号)、运算符号、约定和辅助符号(如括号)。它们都是简化逻辑推理所
4、不可缺少的。 形式简洁形式简洁 具有某种对称性（部分符号）具有某种对称性（部分符号）如：记数符号如：记数符号 1 1，2 2，3 3，9 9，0 0 四则运算符号四则运算符号 + +，- -， 人们记数，经历了从原始记数至数字符人们记数，经历了从原始记数至数字符号记数的发展阶段。其中，原始符号记数又号记数的发展阶段。其中，原始符号记数又包括实物记数、结绳记数和刻痕记数等。包括实物记数、结绳记数和刻痕记数等。 随着生产的发展，许多文明发达较早的随着生产的发展，许多文明发达较早的民族逐渐产生了各自的记数符号和记数方法，民族逐渐产生了各自的记数符号和记数方法，经过长期的、一定范围内的交流、传播和比经
5、过长期的、一定范围内的交流、传播和比较、鉴别，到较、鉴别，到1616世纪以后，逐渐形成了目前世纪以后，逐渐形成了目前比较通用的阿拉伯记数符号和记数方法。比较通用的阿拉伯记数符号和记数方法。例例1 1：记数符号：记数符号乘号乘号十个十个10 相加（相加（=1010）。）。例例2 2：（部分）运算符号：（部分）运算符号1010乘方乘方十个十个10 相乘（相乘（= ）。）。10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 阶乘阶乘10！= 10123456789101iiaa a a a a a a a a a连乘连乘10123456789101iiaa aaaaaaaaa 连加连加 说到数学符号，我们当然
6、不能忘记图说到数学符号，我们当然不能忘记图形。希尔伯特就说过：形。希尔伯特就说过：“算术符号是写出算术符号是写出来的图形，而几何图形则是画出来的公来的图形，而几何图形则是画出来的公式。式。” 点、线、面、体的产生正是人们对客点、线、面、体的产生正是人们对客观事物的抽象和概括，欧氏几何、非欧几观事物的抽象和概括，欧氏几何、非欧几何、解析几何、拓扑学等就是研究这类图何、解析几何、拓扑学等就是研究这类图形的数学分支。除此之外，还有许多精彩形的数学分支。除此之外，还有许多精彩的例子。的例子。例例3 3：图图形符号形符号 能够一笔画出的图形，其奇点（经过能够一笔画出的图形，其奇点（经过该点的线段条数为奇
7、数的点）个数只能是该点的线段条数为奇数的点）个数只能是0 0或或2 2；若奇点个数为；若奇点个数为2n2n，则至少需要，则至少需要n n笔。笔。 一笔画问题 一个旅行者从始点一个旅行者从始点A A出发，需经过四个阶段到出发，需经过四个阶段到达终点达终点E E。前面三个阶段分别有。前面三个阶段分别有3 3个、个、4 4个和个和2 2个中转个中转点，旅行者在每一阶段只能选择一个中转点作为本点，旅行者在每一阶段只能选择一个中转点作为本阶段的到达点，具体线路如下图所示，边旁参数为阶段的到达点，具体线路如下图所示，边旁参数为该边起点到终点的距离。求该边起点到终点的距离。求A A至至E E的最短路径。的最
8、短路径。 最短路径问题最短路径问题AB1B2C1C2C3C4D1D2EB3435547653252256231735例例4 4：行列式符号：行列式符号 行列式的概念要追溯到行列式的概念要追溯到G.Leibniz(1678)G.Leibniz(1678)。H.CramerH.Cramer是第一个发表有关这个主题的人是第一个发表有关这个主题的人(1750)(1750)。“行列式行列式”这一名词首先是由这一名词首先是由C.F.GaussC.F.Gauss（18011801）创立的。）创立的。行列式理论是与解线性方程组行列式理论是与解线性方程组的问题相联系而发展的。的问题相联系而发展的。1111111
9、nnnnnnna xa xba xaxb1112112212212122aaa aa aaa11121321222311 22 3312 23 3113 21 32313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa13 22 3111 23 3212 21 33a a aa a aa a a2D 3D 表示对所有表示对所有n元排列求和。元排列求和。 n n阶行列式是由阶行列式是由 个数所确定的一个数个数所确定的一个数 ：2nnD 上式表明，上式表明， 是是n！项的代数和，每项都！项的代数和，每项都是是n个因子的乘积；个因子的乘积；n个因子取自不同的行与个因子取自不同的行与列，每项前的
10、符号由排列列，每项前的符号由排列 的逆序数的逆序数 决定。决定。nD1njj1()nN jj11211112121222()1212( 1)nnnnnNjjjjnjjjnnnnaaaaaaa aaaaanD 1njj其中其中 行列式简洁、整齐、便于记忆，这些特行列式简洁、整齐、便于记忆，这些特点往往使某些数学方程变得更漂亮。例如：点往往使某些数学方程变得更漂亮。例如：11221101xyxyxy2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy表示；等等。表示；等等。平面上过点平面上过点1122( ,) (,)x yxy、的直线方程可用的直线方程可用112233
11、( ,) (,) (,)x yxyxy、平面上过点平面上过点的圆的方程可用的圆的方程可用表示；表示；例例5 5: (: (黎曼黎曼) )积分符号积分符号 被誉为被誉为“人类精神最高胜利人类精神最高胜利”的微积分，的微积分，其符号是由它的理论创立者牛顿、莱布尼兹各其符号是由它的理论创立者牛顿、莱布尼兹各自独立创造的。牛顿把变量叫作流，变量的变自独立创造的。牛顿把变量叫作流，变量的变化率叫作流数化率叫作流数, ,对于流对于流 的流数记作的流数记作, x y , x y 莱布尼兹于莱布尼兹于1684年在一篇文章中首先使用微分年在一篇文章中首先使用微分记号记号d，积分记号，积分记号“ ”是莱布尼兹与雅
12、各是莱布尼兹与雅各 贝努贝努利在通信讨论中共同创造的利在通信讨论中共同创造的, 是是“和和”Sum一词一词第一字母的拉长。第一字母的拉长。 莱布尼兹是历史上最大的符号学者之一，莱布尼兹是历史上最大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。他煞费苦心这对微积分的发展有极大的影响。他煞费苦心地研究，要把记号选得最好。地研究，要把记号选得最好。 开始开始(1673(1673年年) )他用拉丁文他用拉丁文omniaomnia的头三个的头三个字母字母omnomn表示积分，用表示积分，用 表示今日的表示今日的 , ,且
13、经常且经常用用 表示表示 。16751675年他已开始用年他已开始用“ ”“ ”代替代替omn, omn, 但他却用但他却用 表示表示 ，不久他便改为，不久他便改为后者。后者。ldyadx,y xd d,dy dx 定积分符号01( )lim( )nbiiaTif x dxfxOxyab1x2x1nxnx( )yf x 定积分的几何意义是曲线定积分的几何意义是曲线 与直线与直线 轴所包围图形的面积。求面轴所包围图形的面积。求面积的主要步骤是：分割、求和、取极限。积的主要步骤是：分割、求和、取极限。( )yf xxaxbx、 有人说：代数学其实就是“符号的形式运算” 。你认为是否确实如此？ 记数
14、法方面的一个伟大创造是位值制（进位制）的发明，即不同位置的数字符号代表不同的值。 现实生活中的进位制主要有哪些？ 圆周率 是不是符号？ 呢？问题与思考：问题与思考：2“图论图论(graph theory)(graph theory)” ” 离散数学的一个分支，其特色在于对所离散数学的一个分支，其特色在于对所研究的对象进行几何的探讨。图论的主要研究的对象进行几何的探讨。图论的主要对象是图和它的推广。对象是图和它的推广。 图论中最早的一些问题是解数学趣味图论中最早的一些问题是解数学趣味难题（哥尼斯堡七桥问题，旅行售货员问难题（哥尼斯堡七桥问题，旅行售货员问题等）。最早的结果之一是走遍一个图的题等）
15、。最早的结果之一是走遍一个图的所有边而没有一边通过两次的可能性的判所有边而没有一边通过两次的可能性的判定准则，该准则由定准则，该准则由L LEulerEuler于于17361736年在解年在解哥尼斯堡七桥问题时得出。哥尼斯堡七桥问题时得出。1919世纪中叶明世纪中叶明确提出的四色问题（定理），虽然当时仅确提出的四色问题（定理），虽然当时仅是作为一个趣味性的难题，却导致了理论是作为一个趣味性的难题，却导致了理论的和应用的图论研究。的和应用的图论研究。 20 20世纪初，图被用于表示某些数学对象，世纪初，图被用于表示某些数学对象，以及形式地表述不同的离散问题；其它名以及形式地表述不同的离散问题；其
16、它名称如地图、复形、图解、网络、迷宫等也称如地图、复形、图解、网络、迷宫等也被使用。随着被使用。随着D DKnigKnig的专著于的专著于19361936年的年的出版，术语出版，术语“图图”的使用超过了其它名称。的使用超过了其它名称。 图论的结果和方法被用于解决运输问题、图论的结果和方法被用于解决运输问题、求分派问题的最优解、在发展方案的编制求分派问题的最优解、在发展方案的编制和管理中认定薄弱环节、物资供应中的最和管理中认定薄弱环节、物资供应中的最优路径的确定、以及用于复杂的技术过程优路径的确定、以及用于复杂的技术过程的建模、构造不同的离散机制、规划和程的建模、构造不同的离散机制、规划和程序设计等等。序设计等等。
