1、Nanjing University of Posts and Telecommunications数 学 物 理 方 程主讲：王主讲：王 正正 斌斌E_mail: E_mail: BBS: BBS:科技教育科技教育/ /物理研究物理研究 答疑：周二下午答疑：周二下午3 3：30305 5：0000，教，教2 2605605室室南京邮电大学南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系数理学院、应用物理系Nanjing University of Posts and Telecommunications第四章、特殊函数常微分方程第四章、特殊函数常微分方程勒让德方程勒让德方程 贝塞尔方程贝塞尔方程 勒让
2、德多项式勒让德多项式贝塞尔函数贝塞尔函数在球坐标系解三类偏微分方程：在球坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：在柱坐标系解三类偏微分方程：Nanjing University of Posts and Telecommunications拉普拉斯方程的一般形式为拉普拉斯方程的一般形式为02 u1 1、在球坐标系下，、在球坐标系下，表示为：表示为： 02u0sin1sinsin112222222ururrurrr( , , )( ) ( , )u rR r Y 解：设分离变量形式的试探解解：设分离变量形式的试探解代入方程得到代入方程得到一、勒让德方程的导出一、勒让德方程的导出Nan
3、jing University of Posts and Telecommunications2222222sin0sinsinYRRYRYrrrrrr(1)l l0) 1(sin1sinsin10) 1(2222YllYYRlldrdRrdrd2222111sinsinsinRYYrR rrYY Nanjing University of Posts and Telecommunications式中第一个方程为式中第一个方程为欧勒型常微分方程欧勒型常微分方程,解得解得 11( )llR rCrDr第二个方程为第二个方程为球函数方程球函数方程，对该方程继续做分离：，对该方程继续做分离：( ,
4、)( )( )Y 2221sin) 1(sinsinddlldddd代入球函数方程得到代入球函数方程得到0sin) 1(sinsin0222llddddddNanjing University of Posts and Telecommunications式中第一个方程由自然边界条件式中第一个方程由自然边界条件)()2(构成本征值和本征函数构成本征值和本征函数2 (0,1,2, )( )cossinmmAmBm 第二个方程可以改写为第二个方程可以改写为 0sin) 1(sinsin122mlldddd令令cosxsindddxdddx ddx 2211sinsin(1)sinsindddddx
5、ddxdddxdxddxdxNanjing University of Posts and Telecommunications01) 1()1 (222xmlldxdxdxd22222(1)2 (1)01ddmxxl ldxdxx 该方程称为该方程称为l阶连带勒让德方程或阶连带勒让德方程或阶缔合勒让德方程。阶缔合勒让德方程。l如果如果球坐标的极轴为对称轴球坐标的极轴为对称轴 222(1)2(1)0ddxxl ldxdx 阶勒让德方程阶勒让德方程lNanjing University of Posts and Telecommunications在柱坐标系下解在柱坐标系下解 拉普拉斯方程：拉普
6、拉斯方程：02u01122222zuuu2222220d RdRd ZR dR dZ dz nbnannnnnsincos, 2 , 1 , 0,2分离变量得分离变量得二、贝塞尔方程的导出二、贝塞尔方程的导出( , , )( ) ( ) ( )uzRZ z Nanjing University of Posts and Telecommunicationsn n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程22222()0 d RdRxxxnRdxdx22221()00d RdRnRZdZd(1) (1) 0情况。作代换情况。作代换x，则得，则得 (2) (2) 0情况。作代换情况。作代换x，则得，则得 0)(22
7、222RnxdxdRxdxRdxn n阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程Nanjing University of Posts and Telecommunications三、亥姆霍兹方程三、亥姆霍兹方程(a)(a)、三维波动方程为、三维波动方程为: :022uautt)()(),(rvtTtru设分离变量解为设分离变量解为: :代入方程，并移项得到：代入方程，并移项得到： 222kvvTaT 00 0 sincos)(02222vkvkDtCkkatDkatCtTTakT得得Helmholtz EquationNanjing University of Posts and Telecomm
8、unications（b)b)、三维输运方程为：、三维输运方程为：022uaut分离时间变量和空间变量，得：分离时间变量和空间变量，得： )()(),(rvtTtru代入方程，并代入方程，并移项得到移项得到 ：222kvvTaT2 222220( )0 k a tTk a TT tCevk v得得Helmholtz EquationNanjing University of Posts and Telecommunications在球坐标系下解亥姆霍兹方程：在球坐标系下解亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：022vkv在球坐标系下的形式为：在球坐标系下的形式为： 0sin1sinsin1
9、122222222vkvrvrrvrrr分离变量，得：分离变量，得： ),()(),(YrRrv) 1(sin1sinsin11222222llYYYYrkdrdRrdrdRNanjing University of Posts and Telecommunications0)1(0) 1(sin1sinsin1222222RllrkdrdRrdrdYllYY0)1(222222RllrkdrdRrdrRdr展开得球球 贝贝 塞塞 尔尔 方方 程程)(2)( xyxrRkrx0)(2212222ylxdxdyxdxydx21l阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程 Nanjing University of
10、 Posts and Telecommunications在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：利用柱坐标系的利用柱坐标系的Laplace方程的表达式可得柱坐标系方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达式方程的表达式:011222222vkzvvv分离变量，得：分离变量，得： )()()(),(zZRzv0100222222 RkddRdRdZZ代入原方程得：代入原方程得： Nanjing University of Posts and Telecommunications记常数记常数22 k，也即，也即22k，那么上面第三个方程可以写成：，那么上面第三个方程可以
11、写成：222210d RdRnRdd对自变量做变换对自变量做变换 ，那么上式变成，那么上式变成 x2222110d RdRnRdxx dxx该式即为该式即为n阶阶Bessel方程方程。Nanjing University of Posts and Telecommunications幂级数展开幂级数展开定义：各项均为幂函数定义：各项均为幂函数kkzza)(0的无穷级数：的无穷级数： 20201000)()()(zzazzaazzakkk称为以称为以0z为展开中心的幂级数。其中为展开中心的幂级数。其中 ,100aaz都是复常数。都是复常数。1 1、达朗贝尔判别法：若、达朗贝尔判别法：若1|lim
12、|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk则幂级数绝对收敛。则幂级数绝对收敛。 敛散性：敛散性： 2、根值判别法：若、根值判别法：若1|lim0kkkkzza，则幂级数绝对收敛；，则幂级数绝对收敛； Nanjing University of Posts and Telecommunications泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)级数展开级数展开洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)级数展开级数展开 幂级数展开幂级数展开泰勒泰勒(Taylor)级数展开级数展开可展开为幂级数可展开为幂级数称为泰勒展开系数。称为泰勒展开系数。泰勒泰勒(Taylor)定理定理：若：若)(
13、zf在在Rzz|0内解析，则在此圆内，内解析，则在此圆内，)(zf00)()(kkkzzazf，其中，其中lkkkkzfdzfia!)()()(210)(10l为圆周为圆周Rz|0，且展开唯一。，且展开唯一。(要多精确有多精确要多精确有多精确) 解析：解析：若函数若函数f(z)在点在点z0及其邻域上处处可导，则称及其邻域上处处可导，则称f(z) 在在z0点解析。点解析。Nanjing University of Posts and Telecommunications几个基本初等函数的泰勒展开式：几个基本初等函数的泰勒展开式： |,! 2102zkzkzzzekkkz1|,11102 zzzz
14、zzkkk3521210( 1)sin( 1),|3!5!(21)!(21)!kkkkkzzzzzzzkk 1|,) 1() 1(32)1ln(11132 zkzkzzzzzkkkkk解析函数：解析函数：若函数若函数f(z)在区域在区域B上每一点都解析，则称上每一点都解析，则称f(z)是区域是区域B上的解析函数。上的解析函数。Nanjing University of Posts and Telecommunications洛朗洛朗(Laurent)级数展开级数展开 洛朗洛朗(Laurent)定理定理：设：设)(zf在环形区域在环形区域102|RzzR则对环域上任一点则对环域上任一点 , z)
15、(zf可展为幂级数可展为幂级数kkkzzczf)()(0，其中，其中lkkdzfic10)()(21一周的任一一周的任一闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。闭合曲线。洛朗展开也是唯一的。 的内部单值解析，的内部单值解析，积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园积分路径为位于环域内按逆时针方向绕内园洛朗洛朗(Laurent)级数展开方法：级数展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将非奇异项展开为非奇异项展开为Taylor级数，再和非奇异项合并级数，再和非奇异项合并Nanjing University of Posts and Telecommunicat
16、ions特殊函数方程的级数解法特殊函数方程的级数解法 熟悉的特殊函数熟悉的特殊函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输输运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数；球贝塞尔方程等特殊函数； 未知的特殊函数未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学物理偏微分方程进行分离，还会：在其它坐标系对其它数学物理偏微分方程进行分离，还会出现其它各种各样的特殊函数方程。出现其它各种各样的特殊函数方程。 级数解法级数解法：就是在某个任选点：就是在
17、某个任选点0 x的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的邻域上，把待求的解表示为系数为待定的级数，代入原方程以逐个确定系数。的级数，代入原方程以逐个确定系数。Nanjing University of Posts and Telecommunications常微分形式常微分形式：线性二阶常微分方程：线性二阶常微分方程22( )( )0d wdwp zq z wdzdz方程的常点方程的常点：常微分方程中系数：常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是解析的，的邻域中是解析的， 则则 点点 称为方程的常点。称为方程的常点。)(zp)(zq0z0z222(1)2(1)0ddxxl ldx
18、dx 22222()0 d RdRxxxnRdxdx0001() ()w zCw zCNanjing University of Posts and Telecommunications一、常点邻域上的级数解一、常点邻域上的级数解该解可以表示为此邻域上的该解可以表示为此邻域上的泰勒级数泰勒级数的形式的形式:00)()(kkkzzazw求解步骤求解步骤：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各系数分别为零系数分别为零,找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来确定各个系数。确定各个系数。方程的奇点方程的奇
19、点：常微分方程中系数：常微分方程中系数 和和 在选定的点在选定的点 的邻域中是的邻域中是 或或 的奇点，则的奇点，则 点点 称为方程的奇点。称为方程的奇点。)(zp)(zq0z0z)(zp)(zqNanjing University of Posts and Telecommunications0) 1(2)1 (2 yllyxyx 22110) 1()( )( )(kkkkkkkkkxkkaxykxaxyxaxy泰勒级数形式及其导数为泰勒级数形式及其导数为化简之后得到化简之后得到0)1() 1() 1)(2(002kkkkkkxllkkaxkka(1) 勒让德方程在勒让德方程在 的级数解的级
20、数解00 xNanjing University of Posts and Telecommunications要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为kkkakklklkakkllkka) 1)(2() 1)() 1)(2() 1() 1(2 ! 4) 3)(1)()(2 ( 34) 3)(2 (! 2) 1)(02402allllallaalla ! 5) 4)(2)(1)(3 ( 45) 4)(3 (! 3) 2)(1 (13513allllallaallaNanjing University of Posts and
21、Telecommunicationskxkkllllllklkxllllxllxy2420)!2 () 12() 3)(1()(2 ()42)(22 ( ! 4) 3)(1)()(2 (! 2) 1)(1)(12531)!12 ()2() 4)(2()1)(3 ()32)(12 ( ! 5) 4)(2)(1)(3 (! 3) 2)(1 ()(kxkkllllllklkxllllxllxxy其中其中 为偶次幂，是偶函数，为偶次幂，是偶函数， 为奇次幂，是奇函数。为奇次幂，是奇函数。)(0 xy)(1xyNanjing University of Posts and Telecommunicati
22、ons(2) 解的收敛半径解的收敛半径由系数的递推公式可以得到由系数的递推公式可以得到2(2)(1)lim|/| lim()(1)nnnnnnRa an l n l )(0 xy)(1xy因此级数因此级数 和和 收敛于收敛于 ，而发散于，而发散于 。1|x1|x由于由于 阶勒让德方程中阶勒让德方程中 ,所以其解是收敛的。所以其解是收敛的。lcosx(3) 解在解在 的收敛性的收敛性1x根据高斯判别法可以证明，级数解根据高斯判别法可以证明，级数解 和和 在在是发散的。是发散的。)(0 xy)(1xy1x21(1)(1)lim11(1)(1)nnnllnnNanjing University of
23、 Posts and Telecommunications（4）解退化为多项式）解退化为多项式nl2若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零22 nx)2 (ln若再取若再取 ，那么，那么 01a0)(1xy解为只含偶次幂的解为只含偶次幂的 l 阶多项式阶多项式)(00 xya选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式0a21ln若若 ，而从，而从 项起所有系数含有项起所有系数含有 项均为零项均为零23nx(21 )nl 若再取若再取 ，那么，那么 00a0( )0y x 解为只含奇次幂的解为只含奇次幂的 l 阶多
24、项式阶多项式)(00 xya选取适当的选取适当的 得到一个特解，得到一个特解，称为称为 l 阶勒让德多项式阶勒让德多项式1aNanjing University of Posts and Telecommunications(5) 自然边界条件自然边界条件定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的勒让德方程在勒让德方程在 也必须为有限的成为勒让德方程的也必须为有限的成为勒让德方程的自然自然边界条件边界条件。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题，其本征值是题，其本征值是l(l+1)(
25、l为零或正整数为零或正整数)，所以本征函数为，所以本征函数为l阶勒阶勒让德多项式。让德多项式。1xNanjing University of Posts and Telecommunications二、奇点邻域上的级数解二、奇点邻域上的级数解 0)( 0)1 (12222222ynxxyyxyxndxdyxdxyd（1 1）n n 阶贝塞尔方程在阶贝塞尔方程在 的邻域上的解的邻域上的解 00 x1100()(1)kkss ksaxya sxa ssxkx21100(1)(1)()(1)kss kskx ya sksk xa s sxa ssx 22120022)(ksksskkskxaxaxa
26、xaxyx0011( )ss kks kskka xa xy xa xa xNanjing University of Posts and Telecommunications222121200( )s kssskkkknan y xna xnaxnaxx代入代入Bessel 方程，合并同类项得：方程，合并同类项得： 0)() 1()(22221122022kskkkssxaanksxansxans比较等式两边系数，可得一系列方程：比较等式两边系数，可得一系列方程：2212200222222(1)2)0000)kksnaasssknaannaaNanjing University of Pos
27、ts and Telecommunications022nsnsns21 ,第二个方程第二个方程 00) 1(1122aann2222222()0 ()()kkkkkas kn aas knaas k n s k n 2)2(1kkakknans1(1) 、先取、先取，递推公式成为，递推公式成为 Nanjing University of Posts and Telecommunications0 21)() 2)(1( !1) 1( 2) 2)(1( ! 214) 42(103 ) 32(1 2) 1( ! 112) 22(1120220424130202kkkkaaknnnkaannana
28、anaanana因此贝塞尔方程的一个特解为因此贝塞尔方程的一个特解为:kknxknnnkxnnxnxaxy242012)()2)(1( !1) 1( 2)2)(1( ! 212) 1( ! 111)(Nanjing University of Posts and Telecommunications该级数的收敛半径为该级数的收敛半径为:)2(lim|/|lim2knkaaRkkkk通常取：通常取： 012(1)nan!) 1( nnn为整数，则若因此只要因此只要 有限，级数就是收敛的。有限，级数就是收敛的。 x此时把这个解称为此时把这个解称为n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数，记为：，记为
29、：)(xJn201( )( 1)! (1) 2nkknkxJ xkn k Nanjing University of Posts and Telecommunicationsns1(2)、再取、再取，递推公式成为，递推公式成为 200312420420212111 0(2 2 )21!(1)2(3 2 )311 (4 2 )42!(1)(2)211( 1) 0!(1)(2)()2kkkkbbbbbnnnbbbnnnbbbknnn k 222222k221()0() 1 1b()()() 2kkkkkks kbbs k n s k nk kn bbbnbs kn Nanjing Universi
30、ty of Posts and Telecommunicationskknxknnnkxnnxnxbxy242022)()2)(1( !1) 1( 2)2)(1 ( ! 212)1 ( ! 111)(因此贝塞尔方程的另一个特解为因此贝塞尔方程的另一个特解为:该级数的收敛半径为该级数的收敛半径为: :)2(lim|/|lim2knkbbRkkkk因此只要因此只要 有限，级数就是收敛的。通常取有限，级数就是收敛的。通常取x012(1)nbn Nanjing University of Posts and Telecommunications此时把这个解称为此时把这个解称为- -n n 阶第一类贝塞
31、尔函数阶第一类贝塞尔函数，记为：，记为： )(xJn022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ因此，因此，n n阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加的通解就是两个特解的线性叠加 ：)()()(21xJCxJCxynn可证明，当可证明，当n n为整数时，为整数时， 与与 线性相关，而当线性相关，而当n n不为整数不为整数时，他们线性无关。时，他们线性无关。( )nJ x( )nJxNanjing University of Posts and Telecommunications贝塞尔方程对应贝塞尔方程对应 ns1的特解为：的特解为： 022) 1(!1) 1()(kk
32、nknxknkxJ022)!( !1)1(kknkxknk贝塞尔方程对应贝塞尔方程对应ns1的特解为：的特解为： 022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ只要只要nk ，则，则1kn 是负整数是负整数 负整数的负整数的 函数为无限大函数为无限大 证明证明: :当当n n为整数时，为整数时， 与与 线性相关线性相关( )nJx( )nJxNanjing University of Posts and TelecommunicationsnkknknxknkxJ22) 1(!1) 1()()() 1( 2)!( !1) 1() 1( 2) 1()!(1) 1()(0202xJxnllx
33、lnlxJnnllnlnllnnln当当 n 为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的)()()(21xJCxJCxynn不能表示为不能表示为n阶阶Bessel方程的解方程的解Nanjing University of Posts and Telecommunications若取若取 ：nCnCcsc ,ctg21 代入通解中可以得到另外一个特解代入通解中可以得到另外一个特解 ，该特解可以作为，该特解可以作为n n阶贝阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数或或诺诺伊
34、曼函数伊曼函数: : ( )cos( )( )sinnnnJ xnJxY xn因此因此n n阶贝塞尔方程的通解还可以写成阶贝塞尔方程的通解还可以写成 ：12( )( )( )nny xC JxC Y x不论不论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！当当n n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解为整数时，还需要另外一个线性无关的特解 ！Nanjing University of Posts and Telecommunications（2 2）在）在 的邻域上求解的邻域上求解 阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程： 00 x120)(22122 y
35、xyxyx0223121212)(!1) 1()()(kkkxkkxJxy122111102222( 1)!()(1)( )2kkkxk kk1 ( )2解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得Nanjing University of Posts and Telecommunications12122020202102( 1)( )(21( 1)1( )2!(21)(21)5 3 12( 1)( )2 (22)4 2 (21)(21)5 3 12( 1)( )()!21)! kkkkkkkkkkkkkxkkkxxk kkxxkxkxk122 ( )sinJxx
36、x3521210( 1)sin( 1), | |3!5!(21)!(21)!kkkkkzzzzzzzkk Nanjing University of Posts and TelecommunicationsxxxJcos2)(21同理，可求得另外一个特解：同理，可求得另外一个特解：因此方程的通解为因此方程的通解为)()()(212121xJCxJCxy由此可以推广到半奇数由此可以推广到半奇数)(21l阶贝塞尔方程的求解阶贝塞尔方程的求解 )()()()(212121xJCxJCxyll根据根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函
37、数。函数。Nanjing University of Posts and Telecommunications)() 1()(xJxJnnnn n为偶数时，为偶数时， 为偶函数为偶函数)( xJnn n为奇数时，为奇数时， 为奇函数为奇函数)( xJn022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ第三类贝塞尔函数：汉克尔（第三类贝塞尔函数：汉克尔（HankelHankel）函数）函数)()()()1(xjYxJxHnnn)()()()2(xjYxJxHnnnBesselBessel函数的奇偶性函数的奇偶性Nanjing University of Posts and Telecommun
38、ications三类柱函数三类柱函数贝塞尔函数贝塞尔函数( )nJx诺伊曼函数诺伊曼函数( )nNx汉克尔函数汉克尔函数(1)( )nHx或或(2)( )nHx所以对应于贝塞尔方程的通解为所以对应于贝塞尔方程的通解为12( )( )( ) m mmR xC JxC Jx不为整数或或)()()(21xYCxJCxRmm还可以把贝塞尔方程通解表示为还可以把贝塞尔方程通解表示为:)()()()2(2) 1 (1xHCxHCxRmmNanjing University of Posts and Telecommunications5.25.2、贝塞尔函数递推公式、贝塞尔函数递推公式不同阶的贝塞尔函数之
39、间有一定的联系不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ112202221) 1(!2) 1( 21) 1(!1) 1()(kkknkkkknknnxknkkxknkdxdxxJdxdNanjing University of Posts and Telecommunications1 lknnllnlnlllnlnnxxJxlnlxxlnllxxJdxd)(2) 11(!) 1(1 21) 11()!1() 1(2) 1()(102101222)1(令令同理可以得到同理可以得到:)()(1xJxxJxdxdnnnnnnnnxxJxxJdxd)()(
40、101100 ( )( )1( )( )nJxJ xdnxJ xxJxdx NOTENanjing University of Posts and Telecommunications若将上面两式左端的导数求出，可得：若将上面两式左端的导数求出，可得：11112( )( )( )2()(nnnnnnJnJxJxJxxxJxJx)()()()()()(11xxJxnJxxJxxJxnJxxJnnnnnn知道了知道了011/21/2() () () ()J xJ xJ xJx，可求得到任意阶贝塞尔函数可求得到任意阶贝塞尔函数Nanjing University of Posts and Telecommunications第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）的递推公式：第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）的递推公式：)()(1xYxxYxdxdnnnn)()(1xYxxYxdxdnnnn)(2)()(11xYxnxYxYnnn)(2)()(11xYxYxYnnnHankel Function also comply with the ruleNanjing University of Posts and TelecommunicationsThanks for your attention!
