1、第3章 最短时间和最少燃料的最优控制3.1 非线性系统的最短时间控制问题最短时间控制问题的提法： 设受控系统状态方程为 ) 13()(),(),()(tuttxBttxftx 给定终端约束条件为 )23(0),()(00ffttxxtx 寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束 ) 33(),.,2 , 1(1)(mjtuj 使系统从已知初始状态 转移到目标集中某一状态 时，如下目标泛函取极小值，其中 未知 )(0tx)(ftxft)43()(00fttfttdttuJ第3章 最短时间和最少燃料的最优控制应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：)53()(1),(),(),(Buf
2、ttuttxHT在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件),.,2 , 1()(),(min)(),()63()(1min)(1*1)(*1)(*mjtuttxBtuttxBBufBufTtuTTtuTjj将（3-6）式中的矩阵表达式展开成分量形式mjniiijjmnmnnmmnbuuuubbbbbbbbb112121222211121121)73(.jq则极值条件可写为：)83(min1*11*mjjjumjjjququj第3章 最短时间和最少燃料的最优控制由式（3-8）可见，由于 是确定的，故使 取极小值的最优控制为)83(min1*11*mjjjumjjjququj*jqm
3、jjjqu1*）（不定9300101*jjjjqqqu或简写为：)103(sgnsgn1*niiijjbquj 根据 是否为零，将系统分为两种情形：（砰-砰控制）*jq*jq*ju011第3章 最短时间和最少燃料的最优控制平凡最短时间控制系统 只是在各个孤立的瞬刻才取零值， 是有第一类间断点的分段恒值函数。奇异（非平凡）最短时间控制系统。并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，从必要条件不能推出确切关系式。*jq*ju第3章 最短时间和最少燃料的最优控制3.2 线性时不变系统的最短时间控制问题线性时间最优调节器问题的提法： 设受控系统状态方程为 )113()()()(tButAxtx 给定
4、终端约束条件为 )123(0)()0()(0ftxaxtx 寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束 )133(),.,2 , 1(1)(mjtuj 使系统从以最短时间从初始状态 转移到状态空间原点。)0(x根据上一节的结论，可得极值条件为：)143()(sgnsgn*tbquTjjj第3章 最短时间和最少燃料的最优控制对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得如下重要结论：（1）系统平凡的充要条件：当且仅当m个矩阵 中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡的。（至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的） )153(.,1,2,jnjjjjbAbAAbbG（2）系统最优解
5、存在的条件：常数矩阵A的特征值全部具有非正实部。（3）最优解唯一性定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，则最短时间控制必然是唯一的。（4）开关次数定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，则最优控制u*的任一分量 的切换次数最多为n-1次。（n为系统维数）*ju第3章 最短时间和最少燃料的最优控制3.3 双积分模型的最短时间控制问题双积分模型的物理意义：惯性负载在无阻力环境中运动 作用力位移，质量，)()(tftym负载运动方程： )163()()(tftym )()(),()(21tytxtytx传递函数： )173(1)()()(2mssFsYsG（由两个积分环节组成） 定义u(t)=f(t)
6、/m , 则（3-16）式变为： )183()()(tuty 取状态变量 )193()()()()(221tutxtxtx则有 矩阵形式为： )203()(10)(0010)(tutxtx 第3章 最短时间和最少燃料的最优控制双积分模型最短时间控制问题的提法： 已知二阶系统的状态方程为 给定端点约束条件为 )223(00)()0(2010TfTtxxxx 寻求有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束 )233(1)(tu 使系统从以最短时间从任意初态转移到终态。)213()()()()(221tutxtxtx0110ABBG)(10)(0010)(tutxtx先判断该系统是否平凡？第3章
7、 最短时间和最少燃料的最优控制由上节重要结论可知：（1）本系统为平凡最短时间控制系统（2）其时间最优控制必然存在且唯一（3）时间最优控制u(t)至多切换一次 最优控制表达式：)243()(sgn)(sgn2*ttBuT 下面利用协态方程求解)(2t12211)(0)(xHtxHtuxfHT2211120102101)()(ttt1)sgn(1020*tu第3章 最短时间和最少燃料的最优控制由式（3-25）可知， 为一直线，由于开关次数的限制，其四种可能的开关序列为： 下面通过图解法，在相平面上分析相轨迹转移的规律，从而寻找最优控制u*(t)。首先求解状态轨线的方程：)253(1)sgn()sg
8、n()(10202*tttu)(2t1, 1,1, 1,1,1)263(21,)()2() 1 ()2()()() 1 ()()(2122122212212cxxdxxdxxtuxdxdxtutxtxtx为抛物线第3章 最短时间和最少燃料的最优控制121212ucxx121212ucxx0 x1x20,21: ),(222121xxxxx0,21: ),(222121xxxxx21: ),(22121xxxxx为开关曲线第3章 最短时间和最少燃料的最优控制0 x1x222121xxxh定义RxxuhxxR),(10: ),(21*21RxxuhxxR),(10: ),(21*21第3章 最短时
9、间和最少燃料的最优控制双积分模型时间最优控制工程实现的闭环结构第3章 最短时间和最少燃料的最优控制求解状态转移最短时间t*：Ox1x2A(x10,x20)BtABtBOBOABttt*20210202122121xtxxtxtxuxxxBA) 1 (21202102021xtxxtxtxBABBABABB点坐标BBBxtxxtxtxuxxxOB22122122121)2(02102122BBOBBOBBOxtxtxtO点坐标(1)式带入（2）式即可解出结果参见P187 (5-116)BOABtt,第3章 最短时间和最少燃料的最优控制作业： 秦寿康 教材，第三章 习题1，3，4，5，6q 通过对
10、非线性系统的最短时间控制问题的分析，得到最优控制的一般形式(砰-砰控制）q 具体到线性时不变系统，得到最短时间控制问题的若干重要结论。（开关次数定理，非平凡判据）q 将上述结论应用于双积分模型的最短时间控制问题，求解过程为： 1)应用最小值原理得出最优控制表达式 2)解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的候选函数序列 3)在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律 4)计算状态转移的最短时间)103(sgnsgn1*niiijjbquj)(sgn2*tu最短时间控制问题 小结：第3章 最短时间和最少燃料的最优控制3.4 非线性系统的最少燃料控制问题最少燃料控制问题的提法：
11、设受控系统状态方程为 ) 13()(),(),()(tuttxBttxftx 给定端点约束条件为 )23(0),()(00ffttxxtx 寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束 ) 33(),.,2 , 1(1)(mjtuj 使系统从已知初始状态 转移到目标集中某一状态 时，如下目标泛函取极小值，其中 未知 )(0tx)(ftxft)273()()(01fttmjjjdttuCtuJ第3章 最短时间和最少燃料的最优控制应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件),.,2 , 1(min)293()(min)(11)(*1*11
12、)(*1*mjBuuCBuuCBufuCBufuCTmjjtuTmjjTmjjtuTmjjjjjjjj将（3-29）式中的矩阵表达式展开成分量形式mjniiijjTbuBu11jq则极值条件可写为：)303(min11)(1*mjjjtumjjjCquuCCquuCjjjjjjj)283()(),(),(),(1BufuCttuttxHTmjjj第3章 最短时间和最少燃料的最优控制为使（3-30）右端取极小值， 应与 符号相反，则有*ju 再来确定 的幅值：)303(min1*1)(1*mjjjtumjjjCquuCCquuCjjjjjjjjujjCq /*)313(1 min1*1)(1*m
13、jjtujmjjjCquCCquuCjjjjjjjjCq*ju111 10) 11(010111jjCq*ju1111)323(*jCqdezujj三位控制、离合控制第3章 最短时间和最少燃料的最优控制平凡最少燃料控制系统奇异（非平凡）最少燃料控制系统。并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，利用常规公式无法求解第3章 最短时间和最少燃料的最优控制3.5 线性时不变系统的最少燃料控制问题线性时间最优调节器问题的提法： 设受控系统状态方程为 )113()()()(tButAxtx 给定终端约束条件为 )333()()0()(0ftxxtx 寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约
14、束 )133(),.,2 , 1(1)(mjtuj 使系统从从初始状态 ，在给定时间 内转移到预定终态 ，并使如下目标函数取极小值 。)0(xft)(ftx)343()()(01fttmjjdttutuJ第3章 最短时间和最少燃料的最优控制对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得如下重要结论：（1）平凡最少燃料控制的充分条件：（至少有一个为零时，系统是奇异的） )153(.,1,2,jnjjjjbAbAAbbG（2）最优解唯一性定理：系统是平凡的且最少燃料控制存在，则最少燃料控制必然是唯一的。目标泛函的相对极小值也是唯一的。)343(0detTTjAG对 j=1,2,m中
15、每个值均成立。第3章 最短时间和最少燃料的最优控制双积分模型最少燃料控制问题的提法： 已知二阶系统的状态方程为 )223(00)()0(2010TfTtxxxx 寻求有界闭集中的最优控制u*(t)， 满足不等式约束 )233(1)(tu)213()()()()(221tutxtxtx3.6 双积分模型的最少燃料控制问题 使系统由任意初始状态 ，转移到预定终态 ，并使如下目标函数取极小值 。其中 自由。)353()()(0ftdttutuJ)0(xft)(ftx 给定端点约束条件为 第3章 最短时间和最少燃料的最优控制由上节重要结论可知：该系统是奇异的。（则最少燃料控制不一定是唯一的。） 最优控
16、制表达式： 下面利用协态方程求解)(2t12211)(0)(xHtxHtuxufuHT22120102101)()(ttt)363(2*dezBdezCqdezuTjjj001000110detdetTTjAG 判断其平凡性：)(2010*tdezu第3章 最短时间和最少燃料的最优控制先来分析在奇异区内的情况，此时1, 02010)373()(2010*tdezu2010t*u11111)(0)383()()sgn()(20*tvtvtu第3章 最短时间和最少燃料的最优控制再来分析在平凡区内的情况，此时010)373()(2010*tdezu2010t*u11112010t11t得出9种可能的
17、控制序列作为候选函数1,1,00 , 1,0 , 1,1, 0,1, 01, 0 , 1,1, 0 , 1第3章 最短时间和最少燃料的最优控制 下面通过图解法，在相平面上分析相轨迹转移的规律，从而从候选函数中寻找最优控制u*(t)。（前面已分析了 时的状态轨线，这里只分析 的情形。1u)263(2)()2() 1 ()2()()() 1 ()()(2122122212212cxxdxxdxxtuxdxdxtutxtxtx0u)383(021112ctcxcxu时，时1u1x2x等速直线第3章 最短时间和最少燃料的最优控制121212ucxx121212ucxx0,21: ),(222121xx
18、xxx0,21: ),(222121xxxxx根据什么原则选取状态转移轨迹？0 x1x2第3章 最短时间和最少燃料的最优控制下面来计算在状态转移过程中燃料的消耗：),(2010 xx20 x表示从初态转移到终态（原点）所需消耗的能量。)393()()(0)()(0020202022ffttftduduxtxduxxux该关系式提供了燃料消耗量的下限 ，所以，如果能找到一个控制，驱使状态从初态转移到原点的燃料消耗为 ，则该控制肯定是燃料最优控制。以此为依据来选择最优控制序列（最优轨线）20 x第3章 最短时间和最少燃料的最优控制22121xxxh定义0 x1x2R1R2R3R400: ),(22
19、11xhxxR且00: ),(2213xhxxR且00: ),(2214xhxxR且00: ),(2212xhxxR且第3章 最短时间和最少燃料的最优控制下面根据初始点的位置，分区讨论： （1）),(2010 xxOx1x2A(x10,x20)u=10u1q 平凡情况：只有+1序列可驱使系统状态到达原点。故为问题的解q 非平凡情况：1)(0)383()()sgn()(20*tvtvtu因为v(t)1，则系统状态不可能到达原点。结论：1） 为最优解 2）消耗燃料1*u2020*0*20100)()(),(xxdttudttuxxfffttttcxvx21221第3章 最短时间和最少燃料的最优控制
20、（2）42010),(Rxxq 平凡情况：只有序列 0 0，+1+1和-1-1，0 0，+1+1可驱使系统状态到达原点。其中：0，+1控制下，燃料消耗为-1，0，+1，燃料消耗大于结论：0，+1为最优控制序列，且在各种情况下其响应时间最短，为q 非平凡情况：1)(0)()()sgn()(20*tvtvtvtu可以找到许多v v( (t t) )，使系统状态转移到原点。且燃料消耗为 ，因而都是最优控制。Ox1x2A(x10,x20)u=10u1u=-120 x20 x20 x0222212010210110202201010 xxxxttfxdxxxdxxdxdtdxdxdttff第3章 最短时
21、间和最少燃料的最优控制)21()393()21(12010201022021022220102101102020220102010 xxxxxxxxdxxxdxxdxdtdxdxdttxxxxttfff第3章 最短时间和最少燃料的最优控制（3）12010),(Rxxq 平凡情况：只有序列 -1-1，0 0，+1+1可驱使系统状态到达原点。问题：B点如何选取使燃料消耗最少设B点纵坐标为)403()2(0)2(20202222222220 xxxxxOCCBBxxxxxxCOBCABAOOx1x2A(x10,x20)u=1u=-1R1R4BC/22/结论：燃料控制问题无解（ 燃料最优控制） 20*
22、0 x第3章 最短时间和最少燃料的最优控制31214221*21*21*),(),(0 ),(1),(1RRxxRRxxuxxuxxu不存在0 x1x2R1R2R3R4类似地，可对其它两个区间进行研究。综上所述，双积分装置最少燃料问题的控制规律如下：第3章 最短时间和最少燃料的最优控制最少燃料控制问题 作业：秦寿康 教材，P119 习题1，2，3，4，5q 通过对非线性系统的最少燃料控制问题的分析，得到最优控制的一般形式（离合控制）q 具体到线性时不变系统，得到最短时间控制问题的若干重要结论。（非平凡判据）q 将上述结论应用于双积分模型的最少燃料控制问题，求解过程为： 1)应用最小值原理得出最
23、优控制表达式 2)解协态方程，列出最优控制的候选函数序列（9个） 3)燃料消耗量的下限为 4)在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律 5)计算状态转移的所需时间、消耗燃料最少燃料控制问题 小结：)323(*jCqdezujj2*dezu20 x修正：习题1的控制序列为0，-1第3章 最短时间和最少燃料的最优控制第3章 结束语q 最少燃料控制为三位式控制，存在（+1，0，-1）三种控制状态，与最短时间控制相比，多1个u= 0的控制状态，这意味着： 在状态转移的某些阶段，可借助系统中积存的能量来维持运动，根本不需要消耗能量。q 双积分装置最少燃料系统的最优解取决于初态的位置。即可无解，也可唯一解或多个解。这意味着，同一个问题，在某些初值下是平凡的，在另一些初值下是非平凡的。 单考虑燃料最少，相应可能太慢，应与时间综合考虑。如：采用时间燃料综合最优的指标函数。ftdttuKtuJ0)()(
