1、20182018年全国卷数学说题年全国卷数学说题全国卷全国卷（理）第（理）第1212题题 说题流程命题立意命题立意总结解题过程解题过程规律方法规律方法变式拓展变式拓展备考启示备考启示1 12 23 34 45 5错点分析错点分析6 620182018年全国卷年全国卷1 1（理）（理）1212题题 12.12.已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为1 1，每条棱所在直线与平面，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大截此正方体所得截面面积的最大值为值为 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D.43333242323 说命题说命题 说规律说规律
2、 说变式说变式 说解题说解题 说备考说备考【立意立意】以空间想象能力和推理论以空间想象能力和推理论证能力为导向，根据教材主干知识证能力为导向，根据教材主干知识创设新情境，注重对基础知识的深创设新情境，注重对基础知识的深层次考查。层次考查。【考点考点】 直线与平面所成角；面面直线与平面所成角；面面平行的性质定理。平行的性质定理。【思想方法思想方法】数形结合，转化化归数形结合，转化化归 ， 函数思想函数思想 说错点说错点说命题说命题说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考 说错点说错点思路分析思路分析作图作图问题一：面问题一：面在什么位置？在什么位置？问题二：截面是什么形状？问题二：截面
3、是什么形状？条件条件1.1.每条棱所在直线与平面每条棱所在直线与平面所所成的角相等成的角相等条件条件2.2.截此正方体得到截面截此正方体得到截面说命题说命题说错点说错点说变式说变式说解题说解题 说备考说备考 说方法说方法思路分析思路分析正方体中的正方体中的1212条棱可分为条棱可分为三组三组 互相平行的棱互相平行的棱棱棱BA,BC,BBBA,BC,BB与平面与平面所成的角相等所成的角相等根据线面角的定义根据线面角的定义：面面ACBACB与棱与棱BA,BC,BBBA,BC,BB所成的角相等所成的角相等平面平面是是 面面ACBACB平行面平行面与每条棱所成角都相等与每条棱所成角都相等的的面面的位置
4、的位置？三条棱长度相等三条棱长度相等且交于同一点且交于同一点B B方案一：定义法方案一：定义法说命题说命题说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考说错点说错点如图示，建立空间坐标系，设所求截如图示，建立空间坐标系，设所求截面面的法向量的法向量正方体的十二条棱可分为三组，分正方体的十二条棱可分为三组，分 别与别与 相互平行相互平行当每条棱所在直线与面当每条棱所在直线与面所成角都所成角都相等时，应满足：相等时，应满足：代值化简可得：代值化简可得：面面的法向量可取为的法向量可取为),(zyxn ) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (cbancncnbnb
5、nana知识点：利知识点：利用用向量的数量向量的数量积积求夹角求夹角) 1 , 1 , 1 (n方案二：向量法方案二：向量法zyx 由此可知由此可知面面是与体对角线垂直的平面是与体对角线垂直的平面易知体对角线易知体对角线DBDB面面ACBACB所以面所以面是面是面ACBACB的平行面的平行面说命题说命题说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考 说错点说错点正方体有六个面正方体有六个面 = =截面截面边数最多是六边形边数最多是六边形面面平行的性质定理面面平行的性质定理问题问题2 2：截面是什么形状？：截面是什么形状？所得截面是所得截面是等等边三角形边三角形或或对对边平行边平行的六边的六
6、边形形最后回到本题的问题：求截面面积的最大值最后回到本题的问题：求截面面积的最大值面面面面ACBACB即即 求六边形截面的最大值求六边形截面的最大值说命题说命题说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考 说错点说错点法一：法一：特值法特值法+ +排除法排除法 假设面假设面交于棱交于棱AD,DC,CC,CB,BA,AAAD,DC,CC,CB,BA,AA的中的中点点, ,所得所得截面为正六边形截面为正六边形MNEFGH.MNEFGH.由对称性可知，此时截面恰好由对称性可知，此时截面恰好过正方体的体中心。过正方体的体中心。因为正方体棱长为因为正方体棱长为1 1，可得截面，可得截面边长边长|M
7、N|= |MN|= 所以截面面积为所以截面面积为S= S= = = 2260sin)22(2162433中点中点正六边正六边形截面形截面 得面积得面积比较大小排除比较大小排除得到选项得到选项A A的结果，与的结果，与BCDBCD中的数值比较大小，可中的数值比较大小，可以发现以发现 是其中最大值，故排除是其中最大值，故排除BCD,BCD,选选A A433说命题说命题说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考 说错点说错点法二：分割法二：分割M MN NE EF FH H如图示，连接如图示，连接MEME，EG,GM,EG,GM,将平行六将平行六边形分割为边形分割为 三个全等的三角形三个全等
8、的三角形和和 一个等边三角形一个等边三角形G G已知正方体对角线为已知正方体对角线为 ，假设边长，假设边长|MN|= |MN|= ，则，则|NE|=|NE|=2x2)1 (2x 在在MNEMNE中，由余弦定理得中，由余弦定理得 120cos)1 (2)2(2)1 (2)2(|222xxxxME2222xx则截面面积则截面面积) 10(23-360sin22221120sin)1 (2221 3322xxxxxxxSSSMEGMNE）（）（所以当所以当x= x= 时，面积取到最大值时，面积取到最大值 选选A A21433x2)1(2x说命题说命题说错点说错点说变式说变式说解题说解题 说备考说备考
9、 说方法说方法法三：补形法三：补形M MN NE EF FH H如图示，延长如图示，延长HMHM，NE,GFNE,GF交于点交于点OPQOPQ，将平行六边形将平行六边形补全为补全为 等边等边OPQOPQG G已知正方体对角线为已知正方体对角线为 ，假设边长，假设边长|MN|= |MN|= ，则，则|NE|=|NE|=2x2)1 (2x所以当所以当x= x= 时，面积取到最大值时，面积取到最大值 选选A A21433O OP PQ Q 则截面面积则截面面积) 10(23)(32333-60sin2213-60sin2)1 (222132222xxxxxxxxxSSSOMNOPQ）（ 说命题说命题
10、说规律说规律说错点说错点 说解题说解题说变式说变式说备考说备考空间几何体的截面问题要掌握好空间几何体的截面问题要掌握好定位定位定形定形定量定量 首先，由关键点确定截面与空首先，由关键点确定截面与空间几何体间几何体相交的位置相交的位置 其次，根据题目中已知的条其次，根据题目中已知的条件与空间点、线、面的位置关系件与空间点、线、面的位置关系确定确定截面的形状和基本特征截面的形状和基本特征 最后，最后，运用平面解析几何的运用平面解析几何的有关性质、定理与公式完成截面有关性质、定理与公式完成截面相关的数量计算（相关的数量计算（如边长，周长，如边长，周长，面积等）面积等）说命题说命题说规律说规律说变式说
11、变式说解题说解题 说备考说备考说错点说错点1.1.不能根据隐含的不能根据隐含的平行关系平行关系将正方体的将正方体的 十二条棱十二条棱简化为三条两两垂直的棱简化为三条两两垂直的棱难点易错点难点易错点3.3.不能成功找出不能成功找出对边平行的六边形对边平行的六边形截面截面错因分析：错因分析： 1. 1.空间想象能力空间想象能力较弱较弱 2. 2.对对“直线和平面所成的角直线和平面所成的角”的定的定义、义、“面面平行的性质定理面面平行的性质定理”等等基础基础知识不能熟练应用知识不能熟练应用3.3.无无转化化归转化化归思想思想4.4.不知道不知道如何去求六边形面积如何去求六边形面积，在转，在转化的过程
12、中化的过程中计算出错计算出错2.2.认为等边认为等边ACBACB是最大截面，误选是最大截面，误选D D说命题说命题说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考说错点说错点变式：变式： 已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为1 1，用一个平面，用一个平面去截此正去截此正方体，则方体，则截此正方体所得面积的最大值为截此正方体所得面积的最大值为 _正确判断几何体被一个平面所截的截面形状，正确判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状和位置。形状和位置。正方体截面形状小结正方体截面形状小结面积最大面积最大说命题说命题
13、说规律说规律说变式说变式说解题说解题 说备考说备考 此题很好的考察了学生的转化思想和空间想象能力，强此题很好的考察了学生的转化思想和空间想象能力，强调了基础知识和基本思想的运用，具有很强的分辨性。要想调了基础知识和基本思想的运用，具有很强的分辨性。要想更好的解决此类问题，平时教学中应强调：更好的解决此类问题，平时教学中应强调： 1.1.立体几何的基本概念、公理、定理等基础（立体几何的基本概念、公理、定理等基础（根本根本） 2.2.注重公理、注重公理、定理的应用及辅助线的做法（定理的应用及辅助线的做法（难点难点） 3 3. .解题步骤要规范，做到有理有据（解题步骤要规范，做到有理有据（易错易错） 说错点说错点教学反思教学反思说命题说命题说解题说解题说错点说错点说考情说考情 说备考说备考 说方法说方法以下是全国卷近几年立体几何考点分布以下是全国卷近几年立体几何考点分布 未来趋势，此类题仍是重点、难点和热点，在考查基未来趋势，此类题仍是重点、难点和热点，在考查基本知识的基础上，突出考查学生的空间想象能力及思维本知识的基础上，突出考查学生的空间想象能力及思维的深度与广度，应引以重视，夯实基础厚积薄发！的深度与广度，应引以重视，夯实基础厚积薄发！
