1、112 12 能量法能量法12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法212.1 12.1 应变能与余能应变能与余能一、应变能一、应变能(a) 轴向拉（压）杆222221lEAEAlNPWU1. 线弹性体线弹性体 （1） 基本变形形式基本变形形式 利用应变能 在数值上等于外力功W，可得UPPP32pp2p2e22221lGIGIlMGIlMMWUte (b) 扭转12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能4(c) 弯曲纯弯曲 EIlMEIlMMWU222122xEIx
2、MUld2)(02横力弯曲12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能5 可以把应变能统一写成PWU21式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能6（2） 组合变形（用内力形式表示的应变能）组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x) 只产生弯曲转角d 小变形时不计FQ 产生的应变能，dN (x) 只产生轴向线位移dM t(x) 只产生扭转角12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能7对于dx 微段， N(x) , Mt(x) , M(x) 均为外力。略去高阶
3、微量后，dx段的应变能为d)(21d)(21d)(21ddxMxMxNWUtEIxxMGIxxMEAxxNt2d)(2d)(2d)(2p22杆的应变能为lltllEIxxMGIxxMEAxxNUU2d)(2d)(2d)(d2p2212.1 12.1 应变能与余能应变能与余能8 因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即 ，但必须注意 以及 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。WU P（1） 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2. 非线性弹性体非线性弹性体应变能为10dPWU（P 曲线和轴之间的面积）应变能密度为（ 曲线和 轴之间的面积）10du12.1 12.1 应变能与余能应变能
4、与余能9 以上两式中，分别是以和 为自变量， ， 。所以 为位移状态的函数。)(fU )( fP)(f 因为 ， 为非线性关系，上两式积分后得不到1/2的系数，只能根据 或 的函数关系进行积分。 P)( fP)(f应变能密度 d10tMWUd10u 式中， 为扭转力偶矩， 为扭转角， 为扭转切应力， 为 切应变。tM注意：注意：（2） 扭转扭转应变能12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能10d10MWUd10u式中， 为外力偶矩， 为弯曲转角， 为正应力， 为线应变。MVuzyxuUVVdddd应变能密度 应变能和应变能密度之间的关系为应变能和应变能密度之间的关系为式中，V 为体积。（3
5、） 梁梁应变能12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能11二、余能、余能 图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其P 和关系如图b,c 所示。（1）余功的定义为余功的定义为PWPd10c12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能1PPPdP12其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OP1a1 的面积与曲面Oa1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 。PP1WcaW1o(d)12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能dPPP1P13 余能密度为d10cu 由上述，= f (P
6、 ), f ( )。所以Vc= f (P ) 为受力状态的函数。VcVP1 P 1 a(e)o（3）线弹性体（图）线弹性体（图e） U和 Uc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 U f () , Uc = f (P )。仿照 , WU 余能为PWUPd10cc（2）余能）余能VuUVdcc余能为12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能14B BD D1,1 nkn1P1 1 o例例1 已知两杆的长度均为已知两杆的长度均为l、横截面面积均为、横截面面积均为A、材、材料单轴拉伸时的料单轴拉伸时的 -曲线如图所示。曲线如图所示。 求：荷载求：荷载 P1作用下的余能作用下的余能 Uc 12.1
7、12.1 应变能与余能应变能与余能15dVuUcc1 B BD D1,1 nkn1P1 o duc)(kn )1()(110011 nKdkdunnnc解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。12.1 12.1 应变能与余能应变能与余能16由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此11)cos()1()2()2(nnncVcCPnkAllAudVuU)cos2()1(111APnkunnc AN11 cos211PN B BD D1P)1(11 nKunnc12.1 12.1 应变能与
8、余能应变能与余能1712.2 12.2 卡氏定理卡氏定理 图示梁的材料为非线性弹性体，Pi 为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。iniiiPWUddd10各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为),(21nifUdddd表明为位移状态函数。1. 卡氏第一定理卡氏第一定理nd1P2P3PnP1d2d3d18 假设与第 i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi， 而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为（ ddi不是由Pi产生的， Pi ddi为常力做的功 ）iiPWddd
9、（a）iiiUUdddd(b)式中， 为应变能对位移 的变化率。 iUdid12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理nd1P2P3PnP1d2d3d19 上式为卡氏第一定理卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。WUdd令12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理iiUPd则202. 卡氏第二定理卡氏第二定理 图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。梁的余能为 iniPiPWUid10c
10、c d),(21cniPPPPfU表明(1) 余能定理余能定理12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理nd1P2P3PnP1d2d3d21iiPWd ddciiPPUUddcc令ccddUW 上式称为余能定理余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。iiPUcd得 设第 i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理22(2) 卡氏第一定理和余能定理的比较卡氏第一定理和余能定理的比较 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理),(21cniPPPPfU),(21nifUdddddidi+ddi，其他位移均不变，
11、所有的力均不变。PiPi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理nd1P2P3PnP1d2d3d23 卡氏第一定理卡氏第一定理 余能定理余能定理 iiPWdddciiPPUUddcciiPWdddiiUUdddd续表续表iiUPd(平衡方程)iiPUcd（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理24(3) 卡氏第二定理卡氏第二定理 当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把 用力表示，即),(21niPPPPfU余能定理可以写成iiPUd上式称为卡氏第二定理
12、，卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。UUcP1Pd d1 a(e) OU12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理25 它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意注意:组合变形（不计剪力的影响）时d2)(d2)(d2)(020p202lltliixEAxNxGIxMxEIxMPd 也可以写成lilittliixPxNEAxNxPxMGIxMxPxMEIxM00p0d)()(d)()(d)()(d用该式计算时，可减少计算工作量。用该式计算时，可减少计算工作量。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理26 例
13、例2 2 图图a a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EIEI，材料为线弹性。用，材料为线弹性。用卡氏第二定理卡氏第二定理求圆环开口处的求圆环开口处的张开量张开量d d。不计剪力和轴力的影响。不计剪力和轴力的影响。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理PP27圆环开口处的张量就是和两个圆环开口处的张量就是和两个F F力相对应的相对线位移，力相对应的相对线位移，即即PUd（） 用用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对P P 的偏导数分别为的偏导数分别为 解
14、：解：)cos1 ()( PRM，)cos1 ()(RPM12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理PP28d)cos1 (2023EIPR结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。EIPR33（ ）dd)cos1 ()cos1 (20RRPREI 利用对称性，由卡氏第二定理，得12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理29 例例3 3 三杆的材料相同，三杆的材料相同， = = K K 1/ 1/n( ( n 1) ) ，横截，横截面面积均为面面积均为A，1, 2两杆长度为两杆长度为 l。用。用余能定理余能定理求各杆求各杆的轴力。的轴力。12.2 12.2
15、 卡氏定理卡氏定理P30 解：解：以铰链以铰链 D 的支反力的支反力X 为多余未知力，基本静定系为多余未知力，基本静定系如图如图b 所示，所示，F，X 看作基本静定系上独立的外力，看作基本静定系上独立的外力，所以所以 Uc = Uc (P,X ) （不能含有其它未知力）（不能含有其它未知力）因为铰链因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移处沿铅垂方向的位移为零，应有为零，应有0cXU由该式求出由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。后，再利用平衡方程求各杆的轴力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P31cos221XPNNXN 3(1)（轴力均用（轴力均用P和和 X 表示）表示）由平衡方程得各
16、杆的轴力分别为由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为各杆的应力分别为AXAXP321 cos2(2)nK(3)由由 得得) 1(K/1nn12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P32100c2c1)cos2(K) 1(1dKd11nnnAXPnuu10c3)(K) 1(1dK3nnnAXnu结构的余能为结构的余能为cos22c3c13c31c1cAluAluVuVuU(4)三杆的余能密度分别为三杆的余能密度分别为12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理33nPNX/123)(coscos21nPNN/1221)(coscos2（4 4）式包含了平衡方程和物理方程，而）式包含了平衡方程和物理方程
17、，而 ，表示变形的，表示变形的几何关系。几何关系。0cXU0cXU由由 ，得得将将X 值代入（值代入（1），得），得 以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理34 例例4 刚架各杆的弯曲刚度均为刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴，不计剪力和轴力对位移的影响，用力对位移的影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求支反力。求支反力。CABql l(a)12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理35 解：解：该题为一次超静定。以铰链该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力的铅垂支反力X 为多为多余未知力，基本静定系如图余未
18、知力，基本静定系如图b 所示。由于所示。由于 ,但是在但是在 中，出现中，出现 (U也将出现也将出现 )，必须把，必须把),(XqUU 221)(qyyVyMAxAxVAxVCABql l(a) l(b)yVCxxXVAxVAyCABql 用 q , X 表示。 AxVqlXVAx21由 ，得0BM12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理36CB, AB段的弯矩方程及其对段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为的偏导数分别为 xXxM)(xXxM)()0(lx ，2221)21(21)(yqyl qXyqyVyMAxyXyM)()0(ly 02432d)2121(1d143032202EIlqEIlX
19、yyqylqyXEIxXxEIll 由 ，得0XU l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理37解得解得 （）和图示方向相反。）和图示方向相反。qlX161qlVAy161（）qlVAx167（）qlVCx169（）由平衡条件得由平衡条件得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理38 例例5 半圆环的弯曲刚度为半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对，不计剪力和轴力对位移的影响，用位移的影响，用卡氏第二定理卡氏第二定理求对称截面上的内力。求对称截面上的内力。12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理P39 解：解：沿半圆环
20、的对称截面处截开，取两个沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静圆环为基本静定系（图定系（图b)，多余未知力为轴力，多余未知力为轴力X1, 弯矩弯矩X2, 剪力剪力X3。该题为三。该题为三次超静定。次超静定。),(21XXPUU (a) 但由于结构与荷载均是对称但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故是反对称的，故X30，问题简，问题简化为二次超静定。半圆环的应变化为二次超静定。半圆环的应变能只能为能只能为P，X1，X2的函数，即的函数，即12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理2P2P40与与X1，X2 相应的位移条件分别相应的位移
21、条件分别为两截面的相对线位移和相对角为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即位移为零，即0,021XUXU(b)弯矩方程及其对弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为的偏导数分别为21)cos1 (sin2)(XRXRPM)cos1 ()(1RXM1)(2XM(c)12.2 12.2 卡氏定理卡氏定理2P2P41注意到基本静定系为两个注意到基本静定系为两个1/4圆环，圆环，(b)式成为式成为0d)()(212/01RXMMEIXU(d)0d)()(222/02RXMMEIXU(e)将将 (c) 式代入式代入 (d) 和和 (e) 式，可解得式，可解得PX8421PRX8)3(22212.2 12
22、.2 卡氏定理卡氏定理4212.3 12.3 最小势能原理最小势能原理1.1.势能势能取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为PUU拉杆变形过程中所积蓄的应变能；拉杆变形过程中所积蓄的应变能；拉杆受力后的变形。拉杆受力后的变形。势能的一般表达式：势能的一般表达式：niiiPU1d这一表达式适用于任何弹性结构，这一表达式适用于任何弹性结构， 为广义力，为广义力， 为相应的为相应的广义位移。广义位移。iPid432.2.最小势能原理最小势能原理niiiPU1d当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能
23、的改变量为变量为nidPUdPdUdiiiiiiiii, 2 , 1,dddddddd由卡氏第一定理由卡氏第一定理 得，得，iiUPdnii, 2 , 1, 0d上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。结构。驻值原理驻值原理12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理44结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断： ii, 0, 0122dd取最小值，稳定的平衡；取最小值，稳定的平衡； ii, 0, 0222dd取最大值，中稳定的平衡；取最大值，中稳定的平衡； ii, 0, 0322dd取恒定值，
24、中性的或临界的平衡。取恒定值，中性的或临界的平衡。nii, 2 , 1, 0d对于稳定平衡的弹性结构，对于稳定平衡的弹性结构，最小势能原理最小势能原理等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理4512.3 12.3 最小势能原理最小势能原理例例6 如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积均为截面面积均为A，材料为线弹性，弹性模量为，材料为线弹性，弹性模量为E，试求各杆应力。试求各杆应力。解：由于对称性，解：由于对称性，E E点只有铅垂位移，设点只有铅垂位移，设为为D D。3 3
25、杆的应变为杆的应变为cos3lD其比能为其比能为2233cos22lDEEu3 3杆的应变能为杆的应变能为cos2cos333lEADAluVuU4612.3 12.3 最小势能原理最小势能原理1 1、2 2杆的应变为杆的应变为coscos21lDlD其比能为其比能为221cos2lDEuu其应变能为其应变能为22121cos2DlAEAluUU该杆系结构的总应变能为该杆系结构的总应变能为32321cos21cos2lEADUUUU47结构的势能为结构的势能为PDlEADPDU32cos21cos2由最小势能原理由最小势能原理0D0cos21cos223PlDEA3cos21cosEAPlD三
26、杆应力分别为三杆应力分别为333cos21cosAPlDEE32121cos21coscosAPlDEE12.3 12.3 最小势能原理最小势能原理4812.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法瑞利瑞利- -里兹法主要思路：里兹法主要思路：（1）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；（2）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多个不定的位移参数；多个不定的位移参数；（3）将势能表示成上述位移参数的函数；）将势能表示成上述位移参数的函数；（4）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数
27、为）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；（5）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；可得到；（6）求出内力。）求出内力。49例例7 7 试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。解：取形状函数为解：取形状函数为20432231lxAxAxAxAv由边界条件：由边界条件：0040Avx0030Avx430122lAAvlx31216lAvlxdd2043432lxxllxvd于是于是由
28、对称性条件：由对称性条件：12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法50全梁的弯曲应变能为全梁的弯曲应变能为 dxvEIdxEIxMU2222 40242222llldxvEIdxvEIU2043432lxxllxvd将将 代入：代入：32144lEIUd该梁总势能为该梁总势能为dddPlEIPU3214412.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法51应用最小势能原理，得应用最小势能原理，得02883PlEIdddd求得求得EIPlEIPl3300347. 0288d12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法52例例8 8 试用瑞利试用瑞利- -里兹法计算如图所示两端简支阶梯状里兹
29、法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为E。解：在临界压力解：在临界压力Pcr作用下，压杆可在微作用下，压杆可在微弯状态下维持中性平衡或临界平衡。根弯状态下维持中性平衡或临界平衡。根据边界条件，可用下式的单参数函数作据边界条件，可用下式的单参数函数作为其挠曲线近似方程为其挠曲线近似方程lxvdsin 为杆中点的挠度为杆中点的挠度。d由边界条件：由边界条件：00 xv00 xv0lxv0 lxv由对称性条件：由对称性条件：02lxv12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法53lxvdsinlxlvdcoslxlvdsin2 由于杆
30、的微弯，在其上端有竖向位移由于杆的微弯，在其上端有竖向位移 。为了求为了求 ，在挠曲线上取一微段，在挠曲线上取一微段ds，它与，它与其在其在x轴上投影轴上投影dx之差为之差为dxvdxdxds21222111vv又又12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法54 ldxlxldxvll42cos221220222220dd从而荷载所做的功为从而荷载所做的功为lPPcrcr422d压杆的应变能为压杆的应变能为 2143241821424182sinsin2sin2222232332240434432222444322434240dddlEIlEIdxlxdxlxdxlxlEIdxvEIdxv
31、EIdxvEIUllllllllll12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法55压杆的总势能为压杆的总势能为lPlEIUcr42143222323dd压杆在临界压力作用下，处于中性平衡状态，由势能驻值原压杆在临界压力作用下，处于中性平衡状态，由势能驻值原理有理有022143233lPlEIcrddd解得解得222382. 1123lEIlEIPcr12.4 12.4 瑞利瑞利- -里兹法里兹法56小结小结1. 1. 卡氏第一定理、最小势能原理（势能驻值原理）卡氏第一定理、最小势能原理（势能驻值原理）从原理上讲代表结构的静力学平衡条件，卡氏第一从原理上讲代表结构的静力学平衡条件，卡氏第一定
32、理要求将应变能表示成位移的函数，最小势能原定理要求将应变能表示成位移的函数，最小势能原理（势能驻值原理）要求将势能中的应变能表示成理（势能驻值原理）要求将势能中的应变能表示成位移的函数，而总势能则表示成为位移和荷载的函位移的函数，而总势能则表示成为位移和荷载的函数。该两原理适用于一切弹性结构（在线弹性和非数。该两原理适用于一切弹性结构（在线弹性和非线弹性结构中应变能的计算不同）。瑞利线弹性结构中应变能的计算不同）。瑞利- -里兹法则里兹法则是应用最小势能原理的近似方法。是应用最小势能原理的近似方法。572.2.卡氏第二定理、余能定理在原理上表示结构的变卡氏第二定理、余能定理在原理上表示结构的变
33、形几何条件，要求将卡氏第二定理中的应变能、余形几何条件，要求将卡氏第二定理中的应变能、余能定理中的余能表示成位荷载的函数，余能定理适能定理中的余能表示成位荷载的函数，余能定理适用于一切弹性结构，而卡氏第二定理则只适用于线用于一切弹性结构，而卡氏第二定理则只适用于线弹性结构。弹性结构。3.3.卡氏第二定理、最小势能原理和瑞利卡氏第二定理、最小势能原理和瑞利- -里兹法均可里兹法均可用于静定结构和超静定结构。卡氏第二定理应用于用于静定结构和超静定结构。卡氏第二定理应用于静定结构可以避免寻找复杂的几何关系，用于超静静定结构可以避免寻找复杂的几何关系，用于超静定结构，以多余未知力作为基本未知量，并视多余定结构，以多余未知力作为基本未知量，并视多余未知力为荷载；瑞利未知力为荷载；瑞利= =里兹法可以避开力的平衡、力里兹法可以避开力的平衡、力与位移的关系，直接假设形状函数（须满足边界条与位移的关系，直接假设形状函数（须满足边界条件）求位移，对于复杂的结构和超静定问题尤为方件）求位移，对于复杂的结构和超静定问题尤为方便。便。
