1、撑一支长蒿，撑一支长蒿，让让数学核心素养数学核心素养能诗意地漫溯能诗意地漫溯高中数学核心素养高中数学核心素养“杂谈杂谈”现状现状: :忽如一夜春风来忽如一夜春风来, ,素养素养之花遍地开之花遍地开核心素养核心素养是新课改是新课改的网红词的网红词. .课改象月亮课改象月亮, ,照到哪里，哪里亮照到哪里，哪里亮; ;课改象月亮课改象月亮, ,初一十五不一样初一十五不一样. .核心素养核心素养文化文化修养修养社会社会参与参与自主自主发展发展社会责任、社会责任、国家认同、国家认同、国际理解国际理解人文底蕴、人文底蕴、科学精神、科学精神、审美情趣审美情趣身心健康、身心健康、学会学习、学会学习、实践创新实
2、践创新学生核心素养学生核心素养图图叶澜的叶澜的“三底三底” ” 教育：底线、底色、底蕴教育：底线、底色、底蕴如何让如何让 “高高在上高高在上”的数学核的数学核心素养心素养 “落地落地”.“落地落地”之后的数学核心素养之后的数学核心素养如何能如何能“伸展伸展”.对于数学核心素养急需解决的问题对于数学核心素养急需解决的问题对几个教学本原问题的思考对几个教学本原问题的思考为何教? ? 价值观价值观为谁教? ? 学生观学生观教什么? ? 课程观课程观怎么教? ? 教学观教学观 学科学科核心核心素养素养学科为学生提供什么、知学科为学生提供什么、知识忘记了剩下的是什么识忘记了剩下的是什么. . 数学学科核
3、心素养：数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. . 不是去学科化，而是学科本质化，学科要做不是去学科化，而是学科本质化，学科要做出哪些独特贡献出哪些独特贡献； 不是为了考试的功不是为了考试的功利利性目标性目标. .数学核心素养的理解数学核心素养的理解学生的核心素养是可培养、可塑造、可维持学生的核心素养是可培养、可塑造、可维持的，并且可以通过学校教育获得同时能不断的，并且可以通过学校教育获得同时能不断影响个体的发展影响个体的发展. . “学科育人学科育人”要依靠学科的内在力量要依靠学科的内在力量.
4、“数学育人数学育人”要在数学内部挖掘育人资源，要在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用用. 要从数学的学科本质出发开展思考和研究：要从数学的学科本质出发开展思考和研究：数学数学到底是一门怎样的到底是一门怎样的学科学科？其？其独特的、独特的、别的学科不能替代的育人功能到底在哪里别的学科不能替代的育人功能到底在哪里？怎样教才能实现这些育人功能？这样教的怎样教才能实现这些育人功能？这样教的效果如何？效果如何？数学核心素养的理解数学核心素养的理解参数方程应用参数方程应用教学片段：在研究巧妙应用教学片段：在研究巧妙应用参数出奇制胜地解决问题时参
5、数出奇制胜地解决问题时,我们常常要经历我们常常要经历这么一个过程：这么一个过程：引入引入-召之即来召之即来； 消参消参-挥之即去挥之即去点评：点评：“当我们解题山穷水尽的时候，你（参当我们解题山穷水尽的时候，你（参数）挺身而出，为我们铺路搭桥，当我们解题数）挺身而出，为我们铺路搭桥，当我们解题成功的时候，你挥一挥衣袖，不带走一片云彩，成功的时候，你挥一挥衣袖，不带走一片云彩，悄然离去，这就是参数的悄然离去，这就是参数的风格风格”俏也不争春俏也不争春, ,只把春来报只把春来报. . 数学核心素养的理解数学核心素养的理解（1 1）我教的是一门怎样的课？）我教的是一门怎样的课？（2 2）它能发挥怎样
6、的育人功能，在学生发展）它能发挥怎样的育人功能，在学生发展中所起的不可替代的作用是什么？中所起的不可替代的作用是什么？（3 3）如何教这门课？应采取怎样的教学策略？）如何教这门课？应采取怎样的教学策略？（4 4）这样教在多大程度上实现了它的育人功）这样教在多大程度上实现了它的育人功能？能？数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观参加开国大典的参加开国大典的, ,有中华人民共和国中央人有中华人民共和国中央人民政府主席、副主席、各位委员民政府主席、副主席、各位委员, ,有中国人有中国人民政治协商会议全体代表，有工人、农民、民政治协商会议全体代表，有工人、农民、学校师生、机关工作人员、城防部队、总学
7、校师生、机关工作人员、城防部队、总数达三十万人数达三十万人. .开国大典开国大典你看到你看到了什么了什么? ?从集合角度从集合角度: : 从语文角度从语文角度? ? 描述法描述法数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观 数学是思维的科学，数学教学是思维的教数学是思维的科学，数学教学是思维的教学学数学对于发展学生的思维是至关重数学对于发展学生的思维是至关重要的要的.科学精神：敢于质疑，善于思考，实科学精神：敢于质疑，善于思考，实事求是，事求是，一丝不苟一丝不苟. 数学是一门语言，与语文有相似的特性，数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的它有自己的一套独立的符号系
8、统和严谨的表达方式表达方式阅读、表达的工具阅读、表达的工具.数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观 数学学科育人的独特功能，主要在培养学数学学科育人的独特功能，主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会会思考，特别是学会“有逻辑地思考有逻辑地思考”、创造性思考创造性思考，使，使学学生成为善于认识问题、生成为善于认识问题、善于善于解决问题的人才解决问题的人才. 学会用数学眼光观察世界，学会用学会用数学眼光观察世界，学会用数学数学思思维分析世界，学会用数学语言表达世界，维分析世界，学会用数学语言表达世界，发展学生数学发展学生数学核心素养
9、核心素养.数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观 初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，前不见古人， 后不见来者，后不见来者， 念天地之悠悠，念天地之悠悠， 独怆然而涕下独怆然而涕下.” 这是古人乃至今天人们对时间与空间的认识.时间的模型是一条两端无限的直线直线：诗人处在原点.天地各为两个平面,悠悠地、无限地伸展着.几何就是在这样的空间里展开的. 学会用数学语学会用数学语言表达世界言表达世界. .数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观床前明月光床前明月光,疑上地上霜疑上地上霜xf)(xf 咏雪咏雪 郑板桥郑板桥一片二片三四片，一片二片三四片，五片六片七八
10、片，五片六片七八片，千片万片无数片，千片万片无数片，飞入芦花总不见飞入芦花总不见. *, 0)(Nxxf 会用数学语会用数学语言表达世界言表达世界数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观.lim0馒头馒头包子包子馅馅 包子与馒头的关系包子与馒头的关系: :学会用数学语学会用数学语言表达世界言表达世界. .极限的思想极限的思想笛卡尔笛卡尔( (Rene Descartes) )写写给恋人给恋人克里斯汀的信克里斯汀的信数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观学会用数学语学会用数学语言表达世界言表达世界. .一封信一封信,没有写一句话没有写一句话,只有一个方程只有一个方程. sin1 a用数学语用数
11、学语言表达的言表达的爱情才是爱情才是最浪漫最浪漫. .数学核心素养的课程观数学核心素养的课程观处处连续点点可导圆滑圆滑学会用数学语学会用数学语言表达世界言表达世界. .数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观 郭教授回答说郭教授回答说: :如果你告诉学生，如果你告诉学生，3 3乘乘以以5 5等于等于1515，这不是教学，这不是教学; ;如果你说，如果你说，3 3乘以乘以5 5等于什么等于什么？这就有一点？这就有一点是教学了是教学了; ;如果你有胆量说：如果你有胆量说：3 3乘以乘以5 5等于等于1414，那就更，那就更是教学了是教学了. . 有人问郭思乐教授：有人问郭思乐教授：“什么是教学？什
12、么是教学？” 关注过程关注过程数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观关注现状关注现状凌晨三点起，星月来伴我凌晨三点起，星月来伴我. .问我为何愁，双眉深深锁问我为何愁，双眉深深锁. .术语乱如麻，公式爪哇国术语乱如麻，公式爪哇国. .失足落陷阱，错题一大箩失足落陷阱，错题一大箩. .头昏又脑胀，心惊且胆破头昏又脑胀，心惊且胆破. .数学不爱我，无情相折磨数学不爱我，无情相折磨. .一位文科生的数学告白一位文科生的数学告白数学难数学难,数学烦数学烦,数学不好玩数学不好玩数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观关注现状关注现状没有被数学虐哭的人，不足以谈人生！没有被数学虐哭的人，不足以谈人生！x
13、nxxxnxcos2cossin2cos22sin nxsin six 6cos22sin xnx这个结论合理吗这个结论合理吗?愿望是美好的愿望是美好的,现实是残酷的现实是残酷的.6 数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观尊重教材尊重教材 射射击击 矮矮子子 矮矮击击 射射子子数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观敢于质疑能力的培养敢于质疑能力的培养数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观数学知识学科育人研究方法核心素养提升主题（单元）整体教学主题（单元）整体教学数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观就是从关注一节课一节课的教学到关注更就是从关注一节课一节课的教学到关注更 大范围（如一大
14、范围（如一个单元、一章、一个主题）个单元、一章、一个主题） 的教学的教学. . 问题情境教学问题情境教学“情境情境”主要是指现实情境、数学情境和主要是指现实情境、数学情境和 科学情境。科学情境。 要要求情境真实、有效求情境真实、有效. .教教- -测测- -评一致性教学评一致性教学. . 深度教学从编者角度解读教材，要做到：从编者角度解读教材，要做到：把握全册教材的基本结构、主要特点、教把握全册教材的基本结构、主要特点、教学需要注意的问题，做到学需要注意的问题，做到“胸有全册胸有全册”；把握教材的每个单元教材的内容、特点、把握教材的每个单元教材的内容、特点、训练点等，做到训练点等，做到“胸有全
15、章胸有全章”；把握教材的每个课时内容、教学目标和教把握教材的每个课时内容、教学目标和教学流程，做到学流程，做到“胸有全篇胸有全篇”.主题（单元）整体教学主题（单元）整体教学三角形中的三角形中的“三剑客三剑客”：正弦定理、余弦定理、投影定理正弦定理、余弦定理、投影定理)(2sinsinsin为为外外接接圆圆半半径径RRCcBbAa CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 AbBacAcCabBcCbacoscoscoscoscoscos 教材教材:各自为政各自为政教学教学:浑然一体浑然一体主题（单元）整体教学主题（单元）整体教学正、余弦定理、投影定理的推导
16、正、余弦定理、投影定理的推导：ABC0 CABCABCABCAB 22)()(1(CABCAB Baccabcos2222 iiCAiBCAB )(3(iCAiBA )2cos(|)2cos(|CiCABiBA CbBcsinsin 2) 2(CACABCCAAB CaAcbcoscos 主题（单元）整体教学主题（单元）整体教学平面向量数量积的平面向量数量积的6 6种形式种形式: : cos|:)1(baba定义形式定义形式2121:)2(yyxxba 坐标形式坐标形式.|:)3(投投影影的的乘乘积积方方向向上上的的在在与与就就是是几几何何形形式式ababa )()(41:)4(22babab
17、a 极极化化恒恒等等式式)(21:)5(222bababa 余余弦弦定定理理形形式式2)()(:)6(2222CDABBCADBDAC 对对角角线线定定理理主题（单元）整体教学主题（单元）整体教学初中初中学习时的概念是定性的、形象的，从图形直观的视角让学学习时的概念是定性的、形象的，从图形直观的视角让学生感知概念，感性地认识概念，教材也只是作描述性的说明：生感知概念，感性地认识概念，教材也只是作描述性的说明：函数值随着自变量的增大而增大或增大而减小的变化趋势；函数值随着自变量的增大而增大或增大而减小的变化趋势；高一高一数学学习时的概念则是定量的、抽象的，是一个比较严密数学学习时的概念则是定量的
18、、抽象的，是一个比较严密的、精确的定义，要求学生能够利用定义定量地去证明有关函的、精确的定义，要求学生能够利用定义定量地去证明有关函数单调性问题数单调性问题；高三高三数学的函数单调性概念则在学生的思维经历前面两种认识数学的函数单调性概念则在学生的思维经历前面两种认识的的“洗礼洗礼”后，回归到最本质特征的理解：利用导数来加以定后，回归到最本质特征的理解：利用导数来加以定义刻画从导数的视角重新加以定义，是一个高等数学定义的义刻画从导数的视角重新加以定义，是一个高等数学定义的雏形，对函数单调性的刻划则可以说是入木三分、淋漓尽雏形，对函数单调性的刻划则可以说是入木三分、淋漓尽致致函数单调性概念的建立经
19、历了从定性到定量、从具体到抽象、函数单调性概念的建立经历了从定性到定量、从具体到抽象、从初等到高等的变化发展过程，不断实现数学概念的跨越式、从初等到高等的变化发展过程，不断实现数学概念的跨越式、螺旋式的发展螺旋式的发展函数单调性函数单调性的教学的教学单调性单调性、斜率斜率、导数导数是三个不同的数是三个不同的数学概念，分别在高中不同的阶段进行学概念，分别在高中不同的阶段进行学习，表面上似乎联系不甚密切，其学习，表面上似乎联系不甚密切，其实通过可以通过实通过可以通过“变化率变化率”核心概念核心概念建立本质型联系建立本质型联系.主题（单元）整体教学主题（单元）整体教学对教学的建议对教学的建议: :（
20、营养素营养素）（核桃肉核桃肉）（核桃壳核桃壳）知识知识问题问题情境情境问题情境教学问题情境教学对教学的建议对教学的建议在数学情境中思考问题，在思考问题中掌握知识在数学情境中思考问题，在思考问题中掌握知识.教学设计教学设计学生学习学生学习把数学知识转化为问题，将问题融合于情境之中把数学知识转化为问题，将问题融合于情境之中.知识的知识的“溶解溶解”知识的知识的“结晶结晶”问题情境教学问题情境教学请在下面这一组图形符号中找出它们所请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴藏的内在规律，然后在空白处填上恰蕴藏的内在规律，然后在空白处填上恰当的图形当的图形Harvard university的一的一道入学试道
21、入学试题题问题情境教学问题情境教学归纳法与数学归纳法的引入情境归纳法与数学归纳法的引入情境问题情境教学问题情境教学.,46062使使得得等等式式成成立立请请移移动动其其中中一一个个数数字字”的的等等式式现现有有一一个个不不成成立立“ 在教学中充分利用学生的原有认知的矛盾冲在教学中充分利用学生的原有认知的矛盾冲突突, ,从而为指数运算的学习埋下伏笔从而为指数运算的学习埋下伏笔. .让问题情境挺起数学的脊梁让问题情境挺起数学的脊梁46026 “过去，教材是学生的世界过去，教材是学生的世界， 现在，世界是学生的教材现在，世界是学生的教材”.数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观数学核心素养的教学观
22、数学核心素养的教学观数学数学虐我千百遍，我待虐我千百遍，我待数学数学如初恋！如初恋！案例案例: :“我爱你我爱你”写出其逆否命题写出其逆否命题. .“如果有一个人是我，那么这个人如果有一个人是我，那么这个人爱你爱你”. .“如果有一个人不爱你，那么，这如果有一个人不爱你，那么，这个人，不是我个人，不是我”. .教育情怀教育情怀数学核心素养：数学核心素养：直观想象直观想象数学直觉和数学意识是形成数学直觉和数学意识是形成一定数学核心素养的外在表一定数学核心素养的外在表现现. .直观想象直观想象 直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何直观想象主要指借助空间想象感知事物的形态与变化，
23、利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括利用图形描述数学问题，启图形理解和解决数学问题。主要包括利用图形描述数学问题，启迪解决问题的思路，建立形与数的联系，加深对事物本质和发展迪解决问题的思路，建立形与数的联系，加深对事物本质和发展规律的理解和认知规律的理解和认知. .（内涵）（内涵） 直观想象是发现和提出数学命题、理解数学命题、探索论证思直观想象是发现和提出数学命题、理解数学命题、探索论证思路的重要辅助手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础路的重要辅助手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础. .（学科价值）（学科价值） 直观想象是建立数学直觉的基本途径直观想象是建立数学直觉的基本
24、途径. .在数学教学活动中，重视在数学教学活动中，重视直观想象核心素养的培养，有利于学生养成运用图形和空间想象直观想象核心素养的培养，有利于学生养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，有利于学生提升数形结合的能力，有利于学生思考问题的习惯，有利于学生提升数形结合的能力，有利于学生形成借助图形和空间进行分析、推理、论证的能力形成借助图形和空间进行分析、推理、论证的能力. .（教育价值）（教育价值） 在高中阶段，主要表现于：在高中阶段，主要表现于：利用图形描述数学问题利用图形描述数学问题；利用图形利用图形理解数学问题理解数学问题；利用图形探索、解决数学问题利用图形探索、解决数学问题；构建理论体系的构
25、建理论体系的直观模型直观模型. .（表现）（表现）2 2 23 23 2Oxy向下无限延 伸，可下五洋捉鳖. 向上直冲云霄，可上九天揽月.正切函数的图象xyabybxasinsin xybcosxasin yxacosybsinyxyxyxsincoscossin)sin( 数学概念是一种符号化的、由精确术语数学概念是一种符号化的、由精确术语与关系语句所构成与关系语句所构成. . 所以有人把它比喻为所以有人把它比喻为“石塑石塑”: :充满着充满着理性精神的美却显得冰冷和生硬理性精神的美却显得冰冷和生硬, ,所以很所以很多学生对数学望而生畏多学生对数学望而生畏. .讲数学核心素养最不能忽视还讲数
26、学核心素养最不能忽视还是概念的教学是概念的教学数学离不开推理，推理离不开判断，数学离不开推理，推理离不开判断，而判断是以概念为基础的而判断是以概念为基础的! !正确理解概念是夯实运算的根基正确理解概念是夯实运算的根基. .什么是公理什么是公理? ?连狗都知道的叫连狗都知道的叫公理公理如果你把一根骨头丢出去如果你把一根骨头丢出去, ,狗一定狗一定会沿直线奔过去会沿直线奔过去, ,因为两点之间的因为两点之间的连线以线段最短连线以线段最短. .什么是新闻什么是新闻? ?狗咬人不叫新闻狗咬人不叫新闻, ,人咬狗是新闻人咬狗是新闻NewsSENW谜语谜语. “赤橙黄绿青蓝紫赤橙黄绿青蓝紫”猜一个猜一个国
27、家的名字国家的名字.以色列以色列数数叫叫数数列列按按一一定定次次序序排排成成的的一一列列的概念的概念数列数列如果天气突然热起来，你就要脱衣如果天气突然热起来，你就要脱衣服，脱到怎样合适呢？服，脱到怎样合适呢？(浙大浙大“矿爷矿爷”：揣着文艺范儿来教微积分：揣着文艺范儿来教微积分)一件一件脱，脱到不热为止一件一件脱，脱到不热为止.复合函数也一样，一层一层求导，复合函数也一样，一层一层求导，直到内函数的导数有公式，就成了直到内函数的导数有公式，就成了.“复合函数的求导复合函数的求导”两边夹的思想两边夹的思想.lim,limlim,AbAcacbannnnnnnnn 则则且且已知已知“诺贝尔化学奖颁
28、给物理学家诺贝尔化学奖颁给物理学家,以奖励以奖励他们的成果有益于生物学家的研究他们的成果有益于生物学家的研究.”放下身段，使概念教学走下放下身段，使概念教学走下“神神坛坛” ，俗点再俗点，俗点再俗点让概念教学回归于生活，让概念教学回归于生活，让概念教学让概念教学“放野放野”于生活情境于生活情境.数学运算固然重要，但是若只会算，却不是数学的本质,将是悲哀的事情.数学核心素养：数学核心素养：运算能力喝牛奶要品出芳草的清香喝牛奶要品出芳草的清香“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数课学程的主线，在数学课程中，发挥着不可替代的作用.(2014年浙江高考年浙江高考) 如图
29、如图,某人在垂直于水平地面某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点的墙面前的点 A处进行射击训练处进行射击训练. 已知点已知点A 到墙面的距离为到墙面的距离为AB ,某目标点某目标点P 沿墙面上的射线沿墙面上的射线CM 移动移动,此人为了准确瞄准目标点此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由需计算由点点A 观察点观察点P 的仰角的仰角 大大小小.AB=15m,AC=25m, BCM=30 , 求求tan 的最大值的最大值. PAOxOPxCO33, 则则设设625402 xxAO6254033tan2 xxx 259)5425(332 x935 O(2014年浙江高考年浙江高考) :如图如图,某人
30、在垂直于水平地面某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点的墙面前的点 A处进行射击训练处进行射击训练. 已知点已知点A 到墙面的距离为到墙面的距离为AB ,某目标点某目标点P 沿墙面上的射线沿墙面上的射线CM 移动移动,此人为了准确瞄准目标点此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由需计算由点点A 观察点观察点P 的仰角的仰角 大大小小.AB=15m,AC=25m, BCM=30 , 求求tan 的最大值的最大值. BOMBACP 的平面角的平面角二面角二面角max12,3320 OBMB935tan BOBM化动为静O空间图形中的最大角与最小角空间图形中的最大角与最小角最小角定理最小角定理:平面的
31、斜线和它在平面内的射影平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角线所成的角中最小的角.AC与平面与平面 所成线面角在变化的过程中所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大，当线面角与二面角重叠时线面角最大.(2017届浙江测试届浙江测试)如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥D-ABC，记二面，记二面角角CABD的平面角是的平面角是，直线，直线DA与平面与平面ABC所成所成的角是的角是1，直线，直线DA与与BC所成的角是所成的角是2，则，则 ( ) A1 B 1 C2 D2 BACDA（2018年浙江）
32、年浙江）.已知四棱锥已知四棱锥SABCD的底面是正方的底面是正方形，侧棱长均相等，形，侧棱长均相等，E是线段是线段AB上的点上的点(不含端点不含端点)，设设SE与与BC所成的角为所成的角为1，SE与平面与平面ABCD所成的角所成的角为为2，二面角，二面角SABC的平面角为的平面角为3，则，则 ( )A. 123 B. 321 C. 132 D. 231DBACDEP.sin,3,)(:的的最最大大值值求求角角为为所所形形成成的的与与平平面面设设上上运运动动在在棱棱点点满满足足点点所所有有棱棱长长都都相相等等的的若若三三棱棱锥锥二二模模2 20 01 17 7嘉嘉兴兴链链接接 BCDEPACPE
33、CDEEBCDA DBCA 二面角二面角max322)(sin BACDQP.,30,90,)(:00的的取取值值范范围围求求线线段段成成与与直直线线使使得得上上存存在在点点若若线线段段上上运运动动在在棱棱点点2 2, ,直直角角三三角角形形都都是是等等腰腰与与平平面面面面平平中中三三棱棱锥锥年年二二模模2 20 01 17 7温温州州链链接接PAACPQQCDABPBCBCDBACBCDABCBCDABCBCDA 所成的角所成的角与与成的角成的角与面与面PQACPCDAC ABCCD平面平面 030tantan ACAPACPPCDABC平面平面平面平面 成的角成的角与面与面为为PCDACA
34、CP 360 AP椭圆的一部分椭圆的一部分抛物线的一部分抛物线的一部分圆的一部分圆的一部分直线的一部分直线的一部分）（足条件的点的轨迹是足条件的点的轨迹是则满则满所成角的最大值相等所成角的最大值相等和平面和平面直线直线所成角的最小值与所成角的最小值与和和若直线若直线上运动上运动线线在直在直点点内一点内一点是是平面平面已知三棱柱已知三棱柱年衢、湖、丽年衢、湖、丽.,)2018(DCBAABCPFAEPABCFECBAPABCAACBAABC COABCPA1B1C1EF 2.3.6.0 .)(,)8(: DCBABECDACECDBCDA形形成成的的角角不不可可能能为为所所与与平平面面直直线线旋
35、旋转转的的过过程程中中面面体体绕绕在在该该四四的的中中点点是是线线段段点点内内在在平平面面正正四四面面体体年年温温州州九九校校2 20 01 1链链接接 .所所成成角角与与所所形形成成的的角角最最大大值值与与DCBEBE 4122222 ECBDEDBCDCBE63,cos DCBED如果说数学运算是数学的童子功,那么数学推理则是数学的命根.数学核心素养：数学核心素养：逻辑推理逻辑推理逻辑推理逻辑推理: : 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类，一类是从小范围成立的命个命题的思维过程，主要包括两类
36、，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有归纳、类比；一题推断更大范围内成立的命题的推理，主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，主要有演绎推理。命题是数学结论的主要形式，也是数学交流的主要演绎推理。命题是数学结论的主要形式，也是数学交流的主要内容，因此，逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具内容，因此，逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性有逻辑性. .（内涵）（内涵） 逻辑推理是数学思维的主要形式，是发现、提出数学命题以逻辑推理是数学思维的主要形式，是发现、提出数学命题以
37、及论证命题正确与否的重要手段，也是构建数学体系的重要方及论证命题正确与否的重要手段，也是构建数学体系的重要方式。逻辑推理不仅保证了数学的严谨性，也保证了数学交流的式。逻辑推理不仅保证了数学的严谨性，也保证了数学交流的严谨性严谨性. .（学科价值）（学科价值） 深山藏古寺深山藏古寺 古代有一个画师，画题是古代有一个画师，画题是“深山藏古寺深山藏古寺”, ,许多许多考生都按题意作了画考生都按题意作了画, ,有的画面上是崇山峻岭，在松有的画面上是崇山峻岭，在松柏深处有座寺庙；有的画面上在山峦之间只露出寺柏深处有座寺庙；有的画面上在山峦之间只露出寺庙一角；有的只有山峦之间画出一幅高高飘着的幡；庙一角；
38、有的只有山峦之间画出一幅高高飘着的幡；可是这些画都没有被考官选中，另有一个考生别出可是这些画都没有被考官选中，另有一个考生别出心裁在画面上只有起伏的山峦，密密的松林，惟独心裁在画面上只有起伏的山峦，密密的松林，惟独没有寺庙，也没有任何寺庙的标志，只有一个和尚没有寺庙，也没有任何寺庙的标志，只有一个和尚正从山脚沿着一股小道挑水上山，最后这幅画被评正从山脚沿着一股小道挑水上山，最后这幅画被评为第一名，你知道这幅画用的什么样的方法吗？为第一名，你知道这幅画用的什么样的方法吗？推理推理如果有和尚挑水上山，那么山里就有庙如果有和尚挑水上山，那么山里就有庙利用切线放缩进行推理利用切线放缩进行推理1ln11
39、 xxx1 xex即即可可换换成成把把xx1xxxx )1ln(1)20(tansin xxxx1ln11 xxx1)ln(3213214321 aaaaaaaaaa0, 14 qa321321432111)ln(aaaaaaaaaa 113214321 aaaaaaa矛矛盾盾若若11, 0)()( , 13214321 aaaaaaaq4231,01aaaaq - -切切线线放放缩缩的的情情结结4231423142314231132143214321,.,.,.,.)(, 1),ln(,)2018(aaaaDaaaaCaaaaBaaaaAaaaaaaaaaaaa 则则若若且且成成等等比比数数
40、列列设设年年浙浙江江高高考考B.2121)3( ;22)2()1(:),)(1ln(, 1:)2017(2111*111 nnnnnnnnnnnxxxxxNnxxxxx略略求求证证满满足足已已知知数数列列年年浙浙江江高高考考xxxx )1ln(1)2(111121 nnnnnxxxxx21112 nnnnnxxxxx211 nnnnxxxx21 nnxx)211(2211)2()3(1 nnxx得得由由22211 nnxnnnnxxx 11212易易得得由由.2121:)2( ; 0:)1).(2)1ln(2,32:)(1*111 nnnnnnnnnaaNnaaaaaa证明证明用数归法证明用数
41、归法证明满足满足已知数列已知数列链接链接1ln)2( xx22011nnnnnaaaaa 又又)211(22111 nnaannna212121 120)1ln(0 nnnnaaaa得得11212132 nnna.112)2(; 0:)1(),()11(, 1:)2018:(1*211 nenannaaNnannaaannnnnn求求证证且且满满足足数数列列年年浙浙江江名名校校新新高高考考联联盟盟链链接接)11ln(lnln)2(21nnaann nn 21111 nnnan11ln 由由累累加加法法得得到到)11ln(1n .1ln nen_2,3)12ln(3,)2018(2 yxxxye
42、eRyxyx则则为为自自然然对对数数的的底底数数已已知知年年衢衢湖湖丽丽1 xex1ln xxyxyxeyx 31)2(32取取等等号号当当且且仅仅当当02 yxyxxxyxxy 31)12(3)12ln(取取等等号号- -当当且且仅仅当当112 xyyxxxyeyx 3)12ln(3238234,32 yxyxxxxxtansin,20 则则若若yxDxyxCxyxBxyAyxxyx .2.24.4.)(,cossin,2,0:)2014(则则若若年测试卷年测试卷xxxxtansin,20 则则xxxxytansinsincos xcos xy 22cos2sin2cos2sin2cosxxxxxxy 2cosx 2xy C切切线线放放缩缩的的情情结结此此 证明证明非推理也非推理也撑一支长蒿，让数学核心素养能诗撑一支长蒿，让数学核心素养能诗意地漫溯，沉淀为一种文化的力量，意地漫溯，沉淀为一种文化的力量，开拓出一片思想的天空，为教师的开拓出一片思想的天空，为教师的专业发展奠基，为学生的生命成长专业发展奠基，为学生的生命成长奠基，让我们的内涵发展之路走得奠基，让我们的内涵发展之路走得更坚定、更扎实、更深远！更坚定、更扎实、更深远！
