1、1 北师大版十一册数学知识点北师大版十一册数学知识点 第一单元第一单元 圆圆 一、基本公式 圆的周长圆的周长=直径圆周率 C圆 圆=d 圆的周长圆的周长=半径2圆周率 C圆圆=2r 直径直径=圆周长圆周率 d =C 半径半径=圆周长圆周率2 r =C2 圆周长圈数=总长度总长度 总长度圈数=圆周长圆周长 总长度圆周长=圈数圈数 半圆周长半圆周长= =直径直径圆周率2 +直径 半圆周长半圆周长= = 半径圆周率 +半径2 半圆面积半圆面积= =圆面积圆面积2 跑道周长跑道周长=圆周长+长2 跑道面积跑道面积= 圆面积+长方形面积 圆面积圆面积=半径的平方 圆周率 S圆 圆=r 2 圆面积圆面积=
2、（直径2） 2圆周率 S 圆圆= (d2) 2 圆面积圆面积=（周长圆周率2） 2圆周率 S 圆圆=（C2） 2 圆环面积圆环面积=大圆面积-小圆面积 S圆环 圆环=R 2r2 二、知识点 1、圆的相关知识 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 在同圆或等圆中，半径的长度是直径的 2 1 ，直径的长度是半径的倍。 圆周长计算公式的推导圆周长计算公式的推导：通过“绕” 、 “滚”的方法测量圆周长，得到圆的周 长总是直径的倍。 圆圆的面积计算公式的推导：的面积计算公式的推导：先把圆等分成若干个扇形，再将这些扇形拼成一 个近似的平行四边形或长方形（等分的份数多，越近长方形） ，这个长方形的长 等于圆
3、周长的一半（即r） ，宽等于圆的半径（即 r） 。 圆周长与直径的比是：1，圆周长与半径的比是 2：1.圆的半径扩大（或 缩小）a 倍，直径和周长也扩大（或缩小）a 倍，圆的面积扩大（或缩小）a 2 倍。 大圆与小圆的半径比是 a:b，直径比或周长比也是 a:b，面积比是 a 2:b2。 在正方形内画（或剪）一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长圆的直径等于正方形的边长；在长方形 中画一个最大的圆，宽是圆的直径宽是圆的直径。 周长相等周长相等的长方形、正方形和圆，圆圆的面积最大，长方形的面积最小。 一根铁丝，围成两个图形，周长相等周长相等。 2、轴对称图形 已学的轴对称图形及对称轴的条数如下：
4、 、等腰图形或扇形等腰图形或扇形的对称轴是底边的中线，只有一条对称轴。 、长方形长方形的 对称轴是两组对边的中线，有两条对称轴。 、等边三角形等边三角形的对称轴是各边的 中线，有三条对称轴。 、正方形正方形的对称轴是对边的中线和对角线，有四条 2 对称轴。 、圆圆的对称轴是它的直径，有无数条对称轴。 3、组合图形周长与面积的算法 、先看组合图形（阴影部分）由哪些简单图形组成，并分别计算出这些图形 的面积（或周长） 。、如果这些图形全部是阴影，就计算它们的面积和；若这 些图形中有空白的，应从总面积减去空白图形的面积。、先计算出这些简单 图形的周长总和，再从周长总和中减去重复的部分（ 即多算的线段
5、） 。 4、水池或者花园外面修路是求圆环的面积水池或者花园外面修路是求圆环的面积，先根据题中的直径或者周长算出算出 小圆半径小圆半径，再用小圆半径加上宽算出大圆半径大圆半径，第三步用两个半径分别算两个两个 圆面积圆面积，第四步把两个面积相减面积相减。 第二单元第二单元 分数混合运算分数混合运算 1、分数混合运算(一) 简单的分数乘除应用题解法：先根据的前比后的前比后判断单单位位 1 1 已知还是未知，已知还是未知， 定乘除；定乘除；再根据单位单位 1 1 已知列乘法已知列乘法关系式关系式，单位 1 的量乘几分之几；单位单位 1 1 未未 知列除法知列除法关系式关系式，几分之几的量除以几分之几；
6、最后重复以上两步。 分数混合运算顺序：(1)、一个没有括号的算式，如果只含有同一级运算， 从左往右依次计算。从左往右依次计算。 （2） 、一个没有括号的算式，如果含有两级运算，先算乘法先算乘法 或除法，再算加法或减法。或除法，再算加法或减法。 （3） 、有括号的算式里，先算小括号里面的，再算中先算小括号里面的，再算中 括号里面的，最后算括号外面的。括号里面的，最后算括号外面的。 2 2、分数混合运算(二) 较复杂的分数乘法应用题：的字句的字句先根据单位“1”已知，用单位“1” 的量乘乘题中的几分之几算出积；再根据题中关键词“一共、共、比“一共、共、比多求大多求大 数等”列加法， “还剩、剩下、
7、其余、比数等”列加法， “还剩、剩下、其余、比少求小数、求差数等”列减法。少求小数、求差数等”列减法。 比字句比字句先用单位“1”和题中的几分之几列加法或减法算出问题对应的分率， 再用单位“1”的量乘分率算出积。 简便运算方法：简便运算方法： （1） 、连乘的分数题，交换因数位置，先约分再乘。 （2） 、乘法分配律正用，括号里面的两个数分别乘外面的因数，再把两个积相 加或相减。 （3） 、乘法分配律反用，先把不同的两个因数数相加或相减，再乘相同的因数。 3、分数混合运算(三) 较复杂的分数除法应用题的解法：先根据单位“1”未知，设单位“1” 的数量为，并用几分之几表示出题中条件；再根据“一共、
8、共、比多根据“一共、共、比多 求大数等求大数等”列加法方程，根据“还剩、剩下、其余、余下、比少”列加法方程，根据“还剩、剩下、其余、余下、比少求小数、求小数、 求差数求差数等”列减法方程等”列减法方程；最后检验写答语。 第三单元第三单元 观察物体观察物体 搭积木比赛搭积木比赛：会画从正面、左面、上面观察到的形状；能根据正面、左面、上 面观察的平面图形还原（至少 5 个小正方体组合）立体图形。 观察的范围观察的范围：观察的范围随观察点、观察角度的变化而变化。 天安门广场天安门广场：能判断一组照片的拍摄位置和方位。 3 第四单元第四单元 百分数的认识百分数的认识 1 1、百分数的概念、百分数的概念
9、 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数百分数，也叫做百分率或百分比。 百分数是分母为分母为 100100 的分数的分数，它有专门的书写格式，即。 百分数的特征：百分数只表示两个数之间的倍数关系，即不带单位名称。百分 数的计数单位是百分之一(1)。 小数化百分数小数化百分数：先把小数的小数点向右移动两位，再在这个数后面添上百分号。 百分数化小数百分数化小数：先把百分数的百分号去掉，再将这个数的小数点向左移动两位。 分数化百分数分数化百分数：先用分子除以分母（除不尽时，保留三位小数） ，再将小数化成 百分数。 百分数化分数百分数化分数：先把百分数改写成分母为 100 的分数，再将分数约成最
10、简分数 2 2、百分数应用题、百分数应用题 （1） 、求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以单位“1”的量。 “是”“是” 字字 、 “的”字中间、 “的”字中间的数是单位“1”的量。 （2） 、简单的百分数乘法应用题的解法：先根据单位“1”已知，用单位“1” 的量乘乘题中的百分数算出积； （3、 ）百分数除法应用题的解法 先根据单位“1”未知，设单位“1”的数量为，用 X 乘百分数等于题 中数量。 第五单元第五单元 统计统计 统计图有 3 种：条形统计图、折线统计图和扇形统计图 根据用途的不同，确定统计图的名称。 1、条形统计图只能表示出各种数量的多少。 2、折线统计图不仅能表示出各种数
11、量的多少，还能表示数量增减变化的 情况。 3、扇形统计图体现总数与部分数之间的倍数关系。 条形、折线统计图的画法: 1、 先在中间位置写出统计图的名称，在下一行右边位置画出图例； 2、 再画出互相垂直的两条射线，等分（1cm 或 0.5cm）横射线并写出表 示的名称；等分（1cm 或 0.5cm）纵射线并写出表示的数量； 3、 根据数量的多少，画出高低不同的直条或描出高低不同的点； 4、 给直条涂色或按顺序连接各点，并标出各自的数量。 4 第六单元 比的认识 1、两个数相除两个数相除又叫做两个数的比。比号前面的数叫做前项，比号后面的数叫做 后项，比的前项除以后项的商叫做比值。 2、比和分数、除
12、法的关系 名称 联 系 区别 比 比的前项 比号 比的后项 比值 一种关系 分数 分子 分数线 分母 分数值 一种数 除法 被除数 除号 除数 商 一种运算 3、比的基本性质 给比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（给比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0 0 除外） ，比值不变。除外） ，比值不变。 4、化简比和求比值 、求比值的方法：用比的前项除以比的后项，所得的商就是比值。比值可以用比的前项除以比的后项，所得的商就是比值。比值可以 是任何数。是任何数。 、化简比的方法：用比的前项除以比的后项，约分后写成几比几。：用比的前项除以比的后项，约分后写成几比几。 5、比的应用 a、
13、按比分配问题（已知几个数的和与几个数的比，求这几个数） 解答按比分配问题的方法是归一法： （1 1） 、先根据题中的“比”求出前后项的和；） 、先根据题中的“比”求出前后项的和； （2 2） 、再用题中的数量除以和，） 、再用题中的数量除以和， 得到每份数；得到每份数； （3 3） 、最后用每份数分别乘前后项，算出问题。） 、最后用每份数分别乘前后项，算出问题。 b、已知两个数的差与这两个数的比，求这两个数 解答方法是归一法： （1 1） 、先根据题中的“比”求出前后项的差；） 、先根据题中的“比”求出前后项的差； （2 2） 、再用题中的数量除以和，） 、再用题中的数量除以和， 得到每份数；
14、得到每份数； （3 3） 、最后用每份数分别乘前后项，算出问题。） 、最后用每份数分别乘前后项，算出问题。 c、已知两个数的比与其中一个数，求另一个数已知两个数的比与其中一个数，求另一个数 解答方法是归一法： （1 1） 、用题中的） 、用题中的数量除以前项或者后项，得到每份数； （数量除以前项或者后项，得到每份数； （2 2） 、再用每份数分别） 、再用每份数分别 乘前后项，算出问题。乘前后项，算出问题。 d、把间接的分配量转化为直接的分配量 长方形要给长和宽的和乘长方形要给长和宽的和乘 2 再分配；长方体要给长宽高的和乘再分配；长方体要给长宽高的和乘 4 再分配；等腰再分配；等腰 三角形要
15、把腰或底角的比加三角形要把腰或底角的比加 2 次后再分配； 相遇问题要给速度比的和乘时间后次后再分配； 相遇问题要给速度比的和乘时间后 再分配。再分配。 e、把比转化成分率，总量或者部分量不变 先算出题中的不变量，再根据不变量用归一法计算其他数量。先算出题中的不变量，再根据不变量用归一法计算其他数量。 5 例如：、一个长方形的周长是 48 厘米，长与宽的长度比是 5：7，长 和宽各是多少厘米？这个长方形的面积是多少平方厘米？ 48224（厘米） 24（57）=2(厘米) 2510（厘米） 2714（厘米） 1014140（平方厘米） 答： 长是 14 厘米， 宽是 10 厘米。 这个长方形的面
16、积是 140 平方厘米。 、两地相距 300 千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，经过 3 小时两车相相遇。甲、乙两辆汽车的速度比是 2：3，甲、乙两辆汽车的速度各 是多少千米？ 3003100（千米） 100（23）20（千米） 20240（千米） 20360（千米） 答：甲、乙两辆汽车的速度分别是 40 千米、60 千米。 、将一些书按照 3：4：5 分给甲、乙、丙三个班，甲班比丙班少分 10 本。乙班分得多少本？ 10（53）5（本） 5420（本） 答：乙班分得 20 本。 第七单元第七单元 百分数的应用百分数的应用 百分数的应用（一） 求一个数比另一个数多或少几分之几，用两个数的
17、差除以单位“1” 的量。“比“比 多” “比少”多” “比少” 中间中间的数是单位“1”的量。 百分数的应用（二） 较复杂的百分数乘法应用题的解法 的字句：先根据单位“先根据单位“1 1”已知，用单位“”已知，用单位“1 1”的”的量乘题中的百分数算出积量乘题中的百分数算出积； 再根据题中关键词“一共、共、比“一共、共、比多求大数等”列加法， “还剩、剩下、其多求大数等”列加法， “还剩、剩下、其 6 余、比余、比少求小数、求差数等”列减法。少求小数、求差数等”列减法。 比字句： 先用单位 “先用单位 “1 1” 和题中的百分数列加法或减法算出问题对应的百分率，” 和题中的百分数列加法或减法算
18、出问题对应的百分率， 再用单位“再用单位“1 1”的量乘百分率算出积。”的量乘百分率算出积。 百分数的应用（三） 较复杂的百分数除法应用题的解法 方程解法：先根据单位“1”未知，设单位“设单位“1 1”的数量为”的数量为，并用几分之几 表示出题中条件；再根据“一共、共、比多根据“一共、共、比多求大数等求大数等”列加法方程，根”列加法方程，根 据“还剩、剩下、其余、余下、比少据“还剩、剩下、其余、余下、比少求小数、求差数求小数、求差数等”列减法方程等”列减法方程；最 后检验写答语。 百分数的应用（四） 纳税的数量关系 收入税率税款 税款税率收入 税款收入税率 利息的数量关系 本金利率时间利息 利息时间本金利率 折扣问题 原价折数 =现价 现价 折数 =原价 现价原价=折数
