1、1、定义法、定义法求空间角的大小，一般是根据相关角(如异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的平面角)的定义，把空间角转化为平面角来求解。 【例1】 (2004年天津市高考题)如图1-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点 ()证明：PA平面EBD； ()求EB与底面ABCD所成的角的正切值 平面EDB，且 PA平面EDB，PA平面EDB ()证明证明 如图1-2，连结AC，AC交BD于O，连结EO 底面ABCD为正方形，点O为AC中点 在PAC中，EO是中位线，PAEO 又EO ()解 作EFDC交DC于F，连结BF设正方形AB
2、CD的边长为a PD底面ABCD，PDDC EFPD，F为DC中点 EF底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故EBF为直线EB与底面ABCD所成的角在RtBCF中， aaaCFBCBF2522222 221aPDEF在RtEFB中， 55252tanaaBFEFEBFEB与底面ABCD所成角的正切值为 55 点评点评 求直线与平面所成的角的关键是抓射影，而由斜线上一点作平面的垂线时，需要确定垂足的位置，然后再将这个角放在三角形中利用三角形的边角关系求解2 选点平移法选点平移法 (A) 510(B) 515(C) 54 (D) 32所谓“选点平移法”就是选择适当的点，通过作平行线，
3、构造出所要求的空间角至于点的选取何处适当，通常是视具体情况具体分析 【例例2】 (2004年天津市高考题)如图1-3，在棱长为2的正方体ABCD- 1111DCBA中， O是底面ABCD的中心，E，F分别是 1CC，AD的中点，那么异面直线OE和 所 1FD成的角的余弦值等于( )。 解解 如图1-4，取 11CD的中点M，连结MO，FOO为底面中心，O为BD中点，从而FO为DAB的中位线 FO AB21MD1四边形 FOMD1为平行四边形 MO FD1故MOE(或其补角)即为异面直线 FD1和OE所成的角 在MOE中， 51221FDOM2ME3)2(1222OCECOE由余弦定理得5153
4、522352cos222OEOMMEOEOMMOE 故选B点评点评 求异面直线所成的角，一般都是通过“选点平移”将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来完成，但要特别注意两条异面直线所成的角的范围是 20，此题选点还可选取 1D C的中点或选取BC的中点P，然后再作相应的辅助线。 3.垂线法垂线法当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面的垂线时(或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线)，可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解【例3】 (2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面垂直， ，AF1，M是线段EF的
5、中点 2AB (I)证明：AM平面BDE； ()证明：AM平面BDF； ()求二面角A-DF-B的大小 ()证明证明 如图1-6，设AC，BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF1，AC=2 O，M分别为AC与EF的中点， 1OAEM四边形AOEM是平行四边形 AMOE又OE 平面BDE， AM平面BDE， AM平面BDE ()证明证明 如图1-7，BDAC，BDAF,ACAFA， BD平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF AOAF1，AOMF是正方形，OFAM， 由三垂线定理得DFAM 同理FBAM，DFFBF， AM平面BDF()解解 设AMOFH，由()知AH平面BDF 如
6、图1-8，作AGDF交DF于，连结GH，由三垂线定理知GHDF， AGH是二面角A-DF-B的平面角 又 3622AGAH， 23sinAGH即 o60AGH二面角A-DF-B的大小为 o60 点评点评 利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二 面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角4.垂面法垂面法在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角【例例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形， DAB=60，PD平面ABCD，PDAD，点E为AB中点，点F为PD中点 ()
7、证明：平面PED平面PAB； ()求二面角P-AB-F的平面角的余弦值 ()证明证明 底面ABCD为菱形， ABAD，DAB=60 DAB为正三角形 又E为AB中点， ABDE 又PD平面ABCD，PE在平面ABCD上的射影为DE， ABPE（三垂线定理）PEDEE， 平面PAB平面PED ()解解 AB平面PED，PE 面PED， ABPE 如图1-10，连结EF EF 面PED， ABEF PEF为二面角P-AB-F的平面角 设PDADa，则PFFD 又DAB为正三角形，E为AB中点， ABADa， 2a2aAE aDE23aaaDEPDPE27232222aaaEDFDEF2222232
8、aaaaaEFPFPFEFPEPEF2722272cos2222221475741147二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 1475点评点评 这里由已知条件很容易找到二面角的棱AB的垂面，故运用垂面法可顺利找出二面角的平面角 5.向量法向量法1111DCBA21 ABAA 利用空间向量的数量积来求空间角，能化复杂的几何论证为简单的代数计算，是 一种十分便捷的方法【例例5】(2005年福建卷)如图1-11，长方体ABCD- 中， AD1点E，F，分别是 11CCABDD，的中点，则异面直线 EA1与GF所成的角是( ) (A) 515arccos (B) 4(C) 510arccos(D) 2
9、解解 以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 1DD为z轴建立空间直角坐标系，依题条件易知F(1，1，0)，G(0，2，1)，E(0，0，1)， 1A(1，0，2) 则 FG(1，1，1)， EA1(1，0，1)， 11 0 10FG AE 1FGAE选D 点评点评 连 FBGB11，运用平移法及勾股定理的逆定理当然也很简单，这里主要是强调空间向量法的运用1.直接法直接法 即直接根据点线距离、点面距离、线线距离、线面距离及两个平面间的距离的定 义来计算、求解【例例6】 (2004年浙江省高考题)已知平面 和平面 交于直线，P是空间一点， PA ，垂足为A，PB ，垂足为B，且PA1，PB2若
10、点A在 内的射影与点B在内的射影重合，则点P到l的距离为_ 解解 若A在平面 上的射影为C，则AC ，PB ，ACPB； 同理，若B在平面 上的射影也为C，则PA ，BC ，PABC四边形APBC是一个平行四边形 又 ,ACBCACBC故ACB是 l 二面角的平面角， 四边形PACB是一个矩形(如图1-12所示) l平面ACBP， lPC PC即为所求P到l的距离，PC是边长为1，2的矩形的对角线， 故填 5PC5点评点评 求点到直线的距离，就是直接从该点向直线作垂线，如果垂足的位置不易确定，有时也可借助三垂线定理来作2.转化法转化法常用的方法有将线面距离转化为点面距离，将线线距离转化为线面距
11、离或面面距离还有，甲点到平面 的距离可以转化为与其相关的乙点到平面 的距离等 【例例7】 (2005年湖南卷)如图1-13，正方体ABCD- 1111DCBA的棱长为1，O是底面 1111DCBA的中心，则O到平面 11DABC的距离为( ) (A) 21(B) 42(C) 22(D) 23 解解 如图1-14，作 11ADEA则 221EA 11DC平面 DDAA11 EADC111 故 EA1平面 11DABC 即 1A到平面 11DABC的距离为 22又O为 11CA的中点 O到平面 11DABC的距离为 1A到平面 11DABC的距离的一半 故选B点评点评 这里将点O到面 11DABC
12、的距离转化为点 1A到面 11DABC的距离，比直接求O 到平面 11DABC的距离要简单得多 。【例例8】 如图1-15，CD，AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面 和间的部分AB，CD在平面 内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面 的交角之差的绝对值是o45，求AC与BD之间的距离 解解 AC 平面BD，平面，平面 平面 平面 与平面 的距离为异面直线AC与BD间的距离 设此距离为xcm，则 cmxCCAA，过D点作DEAB交平面 于E，则四边形ABDE 是平行四边形 令12CDCABA ，则21tan122tanxx o2145 o2145tan)tan(即 1tantan1tan
13、tan2121亦即 11221122xxxx 整理得 024102xx解得 6421xx，故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm点评点评 本题是将两条异面直线的距离转化为异面直线所在的两个平行平面的距离来解决的3.体积法体积法当点到平面的距离一时不易求出时，可先构建一个合适的三棱锥，若此三棱锥的底面积易求，且通过体积变换，此三棱锥的体积也能求出，则点面距离可得 【例9】 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 2，则球心O到平面ABC的距离为( ) (A) 31(B) 33(C) 32(D) 36 解解 设O到平面ABC的距离为h AB，AC，CB的球面
14、距离均为 2 AOB=AOC=COB= 2球半径为l， AO=BO=CO=1，AB=AC=BC= 2 611112131OBCAABCOVV又 hhVABCO63243312 6163h33h球心O到截面ABC的距离为 33故选B 点评点评 这是用体积法求点到平面距离的一个最通俗的实例 4.极值法极值法有时通过建立所求的两个研究对象上任意两点之间的距离的函数关系，来求该函数的最小值，此最小值即为这两个对象之间的距离【例例10】长为a正方体 1AC中，求异面直线BD与 CB1之间的距离 解解 如图1-16，在 CB1上任取一点M，作MNBC于H，再过H作HNBD于N， 连结MN平面 1BC平面A
15、C MN平面ACMHHN 设MC=x，则 xMH22xHC22 xaBH22 xaHN2122在MHN中， o90MHN 332432221222222222aaxxxaMHHNMN当且仅当x a32时， 322minaMN，即 aMN33minBD与 CB1之间的距离为 a33点评点评 极值法多适用于两异面直线之间的距离，其背景是易于由其中一条直线上的任意一点向另一条直线作垂线，而且该垂线段的长度能够表示成某一变量的函数 5.向量法向量法跟求空间角一样，如果试题的背景适合于建立空间直角坐标系，用空间向量来求空间距离也是很方便的事 【例例11】 如图1-17，已知正方形ABCD的边长是4，E，
16、F分别是AB，AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离 分析分析 由题设可知CG，CB，CD两两垂直，由此可以建立空间直角坐标系，用向量法求解，即求出过点B直于平面EFG的向量，它的模长即为点B到平面EFG的距离 解解 如图1-18，以C为原点，CB，CD，CG所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz则有C(0，0，0)，A(4，4，0)，B(4，0，0)，D(0，4，0)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，G(0，0，2)2040420 , 20，BGBFBE022224，EFGE设向量 BM平面GEF，垂足为M，则M，G，E，F四点共面，故存在实数a，b
17、，c 使 GBcBFbBEaBM即 cbacbcbaBM24242204042020，由 BM平面GEF，得 EFBMGEBM， 0F0EEBMGBM，即 002224242F，022424242E，cbacbEBMcbacbGBM整理得 ，102305cbacbaca解之得 1131171115cba，11611211224242，cbacbBM11112116112112222BM点B到平面GEF的距离为 11112 点评点评 用向量法求点到平面的距离，避免了作垂线段时垂足不易确定的问题，只需利用垂足点与平面内的其他三点共面及垂线段所代表的向量与其他两共点向量垂直即可求得垂线段的坐标表达式
