1、7.1 正则共轭坐标正则共轭坐标7.2 哈密顿函数和正则方程哈密顿函数和正则方程7.3 变分问题的欧拉方程变分问题的欧拉方程 7.4 哈密顿原理哈密顿原理7.5 正则变换正则变换7.6 泊松括号和泊松定理泊松括号和泊松定理7.7 哈密顿哈密顿-雅科毕理论雅科毕理论7.8 用哈密顿理论解开普勒问题用哈密顿理论解开普勒问题完完全全独独立立的的。是是与与数数学学的的术术语语来来说说，可可以以有有无无穷穷多多个个，用用对对应应的的意意的的，因因此此是是任任。由由于于将将是是两两个个不不同同的的力力学学量量和和因因此此中中都都含含有有和和对对应应。由由于于也也是是唯唯一一的的，两两者者一一一一对对应应的
2、的是是唯唯一一的的，那那么么，若若拉拉氏氏函函数数量量是是对对应应的的广广义义动动标标在在拉拉氏氏理理论论中中，广广义义坐坐iiiii2i1iiiiiiqppq) t ,q(fqLqL,qdt/ ) t ,q(df) t ,q,q(LpqLqLpq 本章所要讨论的哈密顿理论，其使本章所要讨论的哈密顿理论，其使用的坐标（共有用的坐标（共有s 对对pi 、qi ，其中，其中pi完全完全独立于独立于qi）称为）称为或或 ) s 21j ( pqLdtdqL pq qLp p q q q :jjjjjjjjjjj，拉拉氏氏方方程程变变为为：称称为为正正则则共共轭轭。，；定定义义广广义义动动量量：组组。
3、方方程程化化为为一一阶阶微微分分方方程程。，广广义义动动量量哈哈密密顿顿函函数数：广广义义坐坐标标。方方程程为为二二阶阶微微分分方方程程组组。，广广义义速速度度广广义义坐坐标标拉拉格格朗朗日日函函数数 dttLqdpdqp dttLqdqLdqqLdL dLdpqqdpdHdttHdppHdqqH) t ,p,q(dH) t ,q,q(Lqp) t ,p,q(H s1jjjjjs1jjjjjs1jjjjjs1jjjjjjjs1jjj ）（其其中中）（右右边边微微分分：左左边边微微分分：二二、正正则则方方程程正正则则方方程程），（海海森森条条件件；独独立立，故故得得：，因因为为）（）（）（ s2
4、1j qHppHq tLtH dpdq dttHdppHdqqHdttLdpqdqpdHdttLqdpdqpdL,dLdpqqdpdHjjjjjjs1jjjjjs1jjjjjs1jjjjjs1jjjjj 广广义义能能量量积积分分非非稳稳定定约约束束机机械械能能稳稳定定约约束束）（）（非非稳稳定定约约束束稳稳定定约约束束意意义义三三、哈哈密密顿顿函函数数的的物物理理)( UTT )( UT UTTTTT2 UTT2Lqp) t ,p,q(H)( TT2 )( T2qqTqp qTqLp o2o1212s1jjj12s1jjjs1jjjjjj循循环环（动动量量）积积分分。常常数数，则则，不不出出现
5、现若若能能量量积积分分；常常数数，则则，即即不不显显含含若若分分四四、能能量量积积分分和和循循环环积积 jjjjs1jjjjjs1jjjjjp 0qHp q H hH 0dtdH0tH t H tHtHqHpHpHqH tHppHqqHdtdH )z, y, x(Upppm21 )z, y, x(Um2pm2pm2pmpmpmp LqpH zmzLpymyLpxmxLp )z, y, x(U2/ )zyx(mL )1( 2z2y2x2z2y2x2z2y2xiizyx222 ）（，直直角角坐坐标标系系解解：U( ) ), r(U)sinr/pr/pp(m21H )( )3()z, r(U)pr/
6、pp(m21 )z, r(U)zrr(m21H zmzLpmrLprmrLp )z, r(U)zrr(m21L)2(222222r2z222r2222z2r2222 作作业业球球坐坐标标系系，柱柱坐坐标标系系常数常数正则方程：正则方程：哈密顿函数：哈密顿函数：解解 2222232rrr222rmrp 0HpmrppHra)rr (mramrprHp mppHr ra)r/pp(m21H: q)Aqp(2m1 qmv21 vAqqmv21v)Aqvm( LvpLqpHAqvmvLpvAqqmv21L222iii2哈密顿函数：哈密顿函数：粒子的动量为：粒子的动量为：解：解：mgvrxxoy a4/
7、mgxx)a4/x1 (xm21UTTHa4/mgxx)a4/x1 (xm21UTLa/mgxU , 2/ )xyx(mT222222o222222222222 解解： 0a2xmgxmxa4xmx)a4x1(ma2xmgxm)a4/x1(a2/xm2pxHxa2xmx)a4x1(mpxa4mgxm21)a4/x1(mpm21H)a4/x1(mpx)a4/x1(xmxLpa4/mgx2/x)a4/x1(xmH a4/mgx2/x)a4/x1(xmL22222222222x2222x222222x22x22x222222222222 解解：），（s21j QqHp pHq jjjjj 力学第一性
8、原理力学第一性原理1、牛顿定律、牛顿定律2、虚功原理、虚功原理3、达朗贝尔原理、达朗贝尔原理4、最小作用量原理、最小作用量原理（1）等时不等能变分）等时不等能变分哈密顿原理哈密顿原理（2）不等时等能变分）不等时等能变分莫培督原理莫培督原理,dxdty1dt)dy()dx(dtdsv ,gy2v : )x(y v B A B A 1222 而而的的关关系系与与坐坐标标速速度度。解解：这这是是泛泛函函极极值值问问题题点点。间间到到达达擦擦地地下下滑滑时时，以以最最短短时时点点沿沿它它无无摩摩在在重重力力作作用用下下，自自零零的的质质点点，曲曲线线来来，使使得得初初速速度度为为的的曲曲线线中中，找找
9、出出一一条条和和定定点点二二个个铅铅直直平平面面内内在在所所有有联联结结、最最速速落落径径问问题题程程一一、变变分分问问题题的的欧欧勒勒方方oxyAB泛泛函函取取极极小小值值。取取什什么么函函数数时时问问题题到到点点所所需需的的时时间间为为质质点点自自沿沿曲曲线线自自由由滑滑下下、最最速速落落径径问问题题程程一一、变变分分问问题题的的欧欧勒勒方方, :dxgy2 y1dtT dxdt y1 dt)dy()dx(dtdsv 1BABAxx2xx222 oxyAB 21xx22dx)y,y,x( f )x(yJ : )x(yJ )y(dxd dxdy)x(ddx)y(d dxdy)dx(dx)dy
10、(dxdy ),y(d)dy(0dx0 x 0.T )x(yT 的的普普遍遍形形式式为为泛泛函函变变分分运运算算性性质质：。，不不同同处处为为变变分分和和微微分分的的运运算算相相似似取取极极值值的的条条件件为为泛泛函函0ydxyfyfdxdyyf dxyyfdxdyyfdxdyyf dxyyfyyf dx)y,y,x( fdx)y,y,x( f J dx)y,y,x( f )x(yJ : )x(yJ )y(dxddxdy ),y(d)dy(21212121212121xxxxxxxxxxxxxx 的的普普遍遍形形式式为为泛泛函函变变分分运运算算性性质质：0yf y y yf y yf yyf
11、yfdxd y y yf y yf yyf yfy - fdxd:. yfy - f : , x f 0yf yfdxd , y , 0yy 0ydxyf yfdxdy yfT BAxxxx2121 因因为为常常数数则则欧欧勒勒方方程程有有初初积积分分不不显显含含自自变变量量如如果果欧欧勒勒方方程程是是任任意意的的且且)2cos1(2Cctg1Cyctgy C)y1(y )y1(gy2)y1(gy2yygy2y1gy2y1yygy2y1 .Cyfy - f , x f ) gy2y1f ( .121122222212 ，使使引引入入参参数数常常数数常常数数常常数数即即：则则有有不不显显含含因因
12、解解：已已知知例例：求求最最速速落落径径方方程程旋旋轮轮线线方方程程程程为为所所以以最最速速落落径径的的参参数数方方而而， )2cos1(2CyC)2sin2(2Cx :C)2sin2(2Cd)2cos1(Cdxx d)2cos1(CdsinC2 ctgdcossin2Cctgd2sinCydydx )2cos1(2Cyctgy 121211121111给给出出。的的条条件件为为动动可可由由作作用用函函数数取取极极值值学学规规律律所所决决定定的的真真实实运运由由动动力力中中的的运运动动约约束束所所允允许许的的各各种种可可能能在在相相同同和和如如果果时时间间内内和和在在哈哈密密顿顿原原理理），比
13、比较较与与定定义义哈哈密密顿顿作作用用函函数数：、适适用用完完整整保保守守力力系系 0dt) t ,q,q(LS : , ) t (q ,)t (q)t (q , t t : Lfqytx dx)y,y,x(f )x(yJ (dt) t ,q,q(LS1212121tt2121xxtt ) Q ( ,QqLqLdtd QqTqTdtd 0dtqQ) t ,q,q(TS :2 0qLqLdtd : 0yfyfdxd 0dt) t ,q,q(LS jjjjjjjttjjjjtt2121为为非非有有势势力力其其中中或或可可导导出出拉拉格格朗朗日日方方程程：，哈哈密密顿顿原原理理、用用完完整整非非保保
14、守守力力系系的的拉拉格格朗朗日日方方程程可可得得由由欧欧勒勒方方程程 rninrninhxpxpnhxxndxdlhxpnhxnDBnADnlsinsin sinsin )( )( :. )( ; (1) :).(2121222221212222212121002 光光程程折折射射定定律律的的证证明明反反射射定定律律的的证证明明例例光光程程最最短短学学中中称称为为费费马马原原理理最最小小作作用用原原理理在在几几何何光光pABDh2h1irxn1n2S1S1S2 212121212121ttjjjjttjjjjjjttjjjjjjjjttjjjjttjjjjttjjjjjjjjjjjjjjdtq
15、pqp( dtqqHpppHqdtqqHppHqpqp dt)t ,q,p(HqpSdt)t ,q,p(Hqpdt) t ,q,q(LS) t ,q,p(Hqp) t ,q,q(L ) t ,q,q(Lqp) t ,q,p(H 则则方方程程三三、哈哈密密顿顿原原理理导导出出正正 正正则则方方程程是是任任意意的的 qHppHq , q ,p 0dtqqHpppHqS) 0q , 0q ( 0qp dtqpdtd dt)qp(dtddtqpqp(jjjjjjttjjjjjjttjttjttjjttjjttjjttjjjj212121212121 一、正则变换目的一、正则变换目的通过变量变换获得更多
16、的循环坐标。通过变量变换获得更多的循环坐标。广广义义动动量量守守恒恒常常数数则则为为循循环环坐坐标标若若正正则则方方程程 , jjjjjjjjpqHpqqHppHq0) , ( : , :) , ( ),(),( , ,*sjQHPPHQFdtdFHqpHQPsjtpppqqqPPtpppqqqQQPQpqjjjjjjjjssjjssjjjjjj212121212121 则则形形式式体体系系运运动动方方程程仍仍具具有有正正称称为为母母函函数数其其中中正正则则变变换换条条件件其其变变换换关关系系为为变变换换为为 . P,Q 0FF dt)dtdFdt)Hqp( dt)HQP( , 0dt)Hqp
17、( dtdFHqpHQP :jjttttttttjjtt*jjttjjjj*jj1221212121是是正正则则变变量量由由哈哈密密顿顿原原理理可可知知正正则则变变换换条条件件证证明明 0dttFHH dQ QFPdq qFptFQQFqqFHqpHQP tFQQFqqFdtdFdtdF ) t ,Q,qF Qq 1dtdFHqpHQP 1*jj1jjj1j1jj1jj1jj*jj1jj1jj111jj*jj （是是独独立立变变量量，设设、正正则则变变换换条条件件tFHH ), s1,2,j ( QFP qFp ,t , Qq 0dttFHH dQ QFPdq qFp) t ,Q,qF Qq
18、11*j1jj1j1*jj1jjj1j1 所所以以有有皆皆是是独独立立变变量量，由由于于（是是独独立立变变量量，设设、0dttFHH dP PFQdq qFpdtdFdt)QPF(dHHQPqpdtdFHqpHQPQPdtd QPQPdtdQP dtdFHqpHQP ) t ,P,qF Pq 22*jj2jjj2j2jj1*jjjj1jj*jjjjjjjjjj1jj*jj2 ）（）（，（是是独独立立变变量量，设设、tFHH ), s1,2,j ( PFQ qFp ,t , Pq 0dttFHH dP PFQdq qFp) t ,P,qF Pq 22*j2jj2j2*jj2jjj2j2 所所以以
19、有有皆皆是是独独立立变变量量，由由于于（是是独独立立变变量量，设设、0dttFHH dQ QFPdp pFqdtdFdt)qpF(dHHQPqpdtdFHqpqpdtdHQP qpqpdtdqp dtdFHqpHQP ) t ,Q,pF Qp 33*jj3jjj3j3jj1*jjjj1jjjj*jjjjjjjj1jj*jj3 ）（）（，（是是独独立立变变量量，设设、tFHH ), s1,2,j ( QFP pFq ,t , Qp 0dttFHH dQ QFPdp pFq) t ,Q,pF Qp 33*j3jj3j3*jj3jjj3j3 所所以以有有皆皆是是独独立立变变量量，由由于于（是是独独立
20、立变变量量，设设、tFHHsjPFQpFqtPpFPpjjjj 44444* ), 1,2, ( ), （是独立变量，是独立变量，设设、. , qQFP , QqFpQq)q,Q,t(F :.Q dF)dQPdqp(:.HH , 0tF ,) s1,2,i ( tFHH :,jj1jjj1jjj1 jiiii*ii*换换动动量量与与坐坐标标的的名名称称已已互互取取母母函函数数例例如如的的意意义义了了已已经经没没有有纯纯粹粹空空间间坐坐标标注注意意正正则则变变换换的的条条件件则则如如果果母母函函数数不不显显含含时时间间有有同同一一种种形形式式关关系系新新旧旧哈哈密密顿顿函函数数之之间间的的四四种
21、种正正则则变变换换中中 换换。的的显显函函数数，故故为为正正则则变变不不是是母母函函数数证证为为一一正正则则变变换换。，证证明明：变变换换 t F dF)QctgPPQ(d )PQ(d)QctgP(d )PQ(dPdPcscQctgPdQ QdPPdQPdPQctgQdPctgPdQ PdQPdPQctgctgPdQ PdQ)dPPsinPcosdQQ1(QctgPPdQpdq: QctgPpPsinQlnq 222 常常数数。令令。求求母母函函数数，已已知知正正则则变变换换为为例例 f0pf psinq2 pfpsinq2)p( f)pcospsinp(qppF )p( f)pcospsin
22、p(q )p( fdq)pcospsinp(F psinq2pF ,pcospsinpqF Fppsinq2q)pcospsinp( ,psinq2Ppcosq2Q :222221121Qq22Qq2Qcosq )pcospsinp(q)Q,q(F q2Q1p sin ,q2Qcosp )pcospsinp(qF f)p(f)pcospsinp(qF psinq2Ppcosq2Q : 于于是是母母函函数数可可取取为为常常数数。，。，正正则则变变换换 2/QcscymQFP yctgQmyFp /2QcscxmQFP xctgQmxFp )ctgQy2/ctgQx(m) t ,Q,q F2/ )
23、yx(mm2/ )p(pH:2222212221y1221111111x22212112222212y2x （选选解解2211222221222122222122212222212222221222121*2222222y1221111x22212112222212y2xPP 2/Qcscym2/Qcscxm 2/ )Qctg1(ym2/ )Qctg1(xm 2/ )yx(m m2/ )QctgymQctgxm( HtFHH , 2/QcscymP yctgQmp , /2QcscxmP xctgQmp )ctgQy2/ctgQx(m) t ,Q,q F2/ )yx(mm2/ )p(pH: （
24、选选解解。，；，为为表表示示谐谐振振子子的的正正则则方方程程，新新变变量量 tQ CP Q0P tQ CP PHQ0QHP: PQ PPH ,Qcscym21P ,Qcscxm21P222222221111111*11*1jj2211*2222212211 ）（）（）（）（。；22221111222222222221112211221122222111112222212211tsinmC2ytsinmC2x Ctcscym21Qcscym21PCtcscxm21Qcscxm21P tQ CP tQ CP Qcscym21P ,Qcscxm21P jjjjjjjjjjqHpfpHqftf ppf
25、qqftfdtdf . f f H .) t ,p,q(f 是是否否是是运运动动积积分分的的关关系系来来判判断断和和下下面面研研究究坐坐标标而而求求出出力力学学量量守守恒恒可可通通过过循循环环学学量量正正则则变变量量描描写写系系统统：力力一一、泊泊松松括括号号jiiijiijjjjiiijiijjjiiiiijiiijiijjjjjpH qHpqpHqqH,qqqHqHpppHqpH,pp 1qq 1pp 0pq 0pq 0qp 0qpH, f tfdtdf qHpfpHqfH, f 。，力力学学量量的的运运动动方方程程：定定义义泊泊松松括括号号：守守恒恒条条件件不不显显含含时时间间，即即若若
26、的的条条件件守守恒恒量量是是运运动动积积分分正正则则方方程程： 0H, f 0tf f 0H, f tfdtdf :)( fpH qqHp jjjj )(mxy yxmmppxymmpp yHpLpHyLxHpLpHxL qHpLpHqLH,Lk )ypxp(L :)yx(m21)pp(m21H : :212222yx21xyyzyzxzxzjjjzjjzzxy2222212y2x 平平面面谐谐振振子子的的角角动动量量为为解解函函数数为为已已知知平平面面谐谐振振子子哈哈密密顿顿量量的的守守恒恒性性。讨讨论论平平面面谐谐振振子子的的角角动动例例为为非非中中心心力力场场。因因为为力力场场不不守守恒
27、恒。角角动动量量时时）当当（为为中中心心力力场场。因因为为力力场场守守恒恒。角角动动量量时时）当当（解解函函数数为为已已知知平平面面谐谐振振子子哈哈密密顿顿量量的的守守恒恒性性。讨讨论论平平面面谐谐振振子子的的角角动动例例 )yx(m21U L 0H,L , 2 )yx(m21U L 0H,L , 1)(mxyH,L :)yx(m21)pp(m21H : :222221zz212221zz212122z2222212y2x 0, , )3(01,q )2( c 0, c )1(qppq, ) t ,p,q() t ,p,q( jjjjj ，若若，若若为为常常数数。，如如果果泊泊松松括括号号的的
28、性性质质：的的泊泊松松括括号号为为，定定义义任任意意两两个个力力学学量量 0, , , , )7(t,t,t)6(, )5(, , )4(qppq, :njjnjjjjjjj ，则则如如泊泊松松括括号号的的性性质质：泊泊松松括括号号,H ,H, , ,HH,t,t, t , , 0, , 0, , , , .H,t ,H,t 0H,t C, C) t ,p,q( C) t ,p,q( 21 守守恒恒可可知知：，证证明明：由由也也是是守守恒恒量量。则则都都是是守守恒恒量量，和和若若二二、泊泊松松定定理理守守恒恒量量即即二二、泊泊松松定定理理 C,0H, t :, t, t t,tt,t H,H,
29、 ,H ,H, , ,HH,t,t, t , .H,t ,H,t zniixiiiyniiyizxizyixniiyiyxiyyixniiyixxixyixyxniixiiyizniiziixiyniiyiizixL)pyxp(00 zLpLpLzLyLpLpLyL xLpLpLxLL ,L )pypx(L )pxpz(L)pzpy(L : L 。，解解所所组组成成的的泊泊松松括括号号。的的直直角角坐坐标标分分量量试试求求由由质质点点组组角角动动量量例例： 0L,L 0L,L 0L,L L,LL,L LL,L LL,L LL,L zzyyxxxxxxyxzxzyzyx ，同同理理：；而而。，同
30、同理理：ijjijijis21s21jjs21s21jjijjijijis21s21jjs21s21jjPQ 0PP 0QQ ) t ,PP,P,QQ,Q(pp) t ,PP,P,QQ,Q(qq pq 0pp 0qq ) t ,pp,p,qq,q(PP) t ,pp,p,qq,q(QQ ，满满足足或或，满满足足则则变变换换（证证明明略略）三三、用用泊泊松松括括号号判判别别正正0pp 0qq 1PctgPcsc ctgPctgPPsinQQ1QpPqPpQqpqQctgPpPsinQlnq PQ 0PP 0QQ pq 0pp 0qq 222ijjijijiijjijiji ，显显然然有有，。，例
31、例：变变换换，或或满满足足，正正则则变变换换满满足足一、哈密顿一、哈密顿-雅科毕方程雅科毕方程 ),(),( ),(),( *tpptqqtpppqqqPPtpppqqqQQPQPQHssjjssjjssjjssjjjjjjjj2121212121212121000常常数数常常数数新新正正则则方方程程变变为为，最最理理想想的的正正则则变变换换使使雅雅科科毕毕方方程程即即为为哈哈密密顿顿得得到到利利用用正正则则变变换换关关系系称称为为主主函函数数并并记记为为）（选选取取。满满足足：，则则要要求求母母函函数数欲欲使使- 0) t ,qSqS,qS,qq,q(HtS: ,) t ,q(SQ ,q)
32、t ,q(Sp : , , ) t ,q(S ,t ,P,qFF 0tFH F 0H s21s21jjjjjjjjjjj2* 。又又称称为为哈哈密密顿顿作作用用函函数数密密顿顿作作用用量量即即是是积积分分限限不不确确定定的的哈哈的的物物理理意意义义哈哈密密顿顿主主函函数数讨讨论论雅雅方方程程哈哈正正则则变变换换 , dt L S LHqptSqqSdtdS S : 0) t ,qSqS,qS,qq,q(HtS:-) t ,q(SQ ,q) t ,q(Sp :jjjjs21s21jjjjjjjjj hqWqW,qW,qq,qH h ),qq,q(WhtdthS htSqS,qH : .h)p,q
33、(H t t 1s21s211s21s21 雅雅科科毕毕方方程程变变为为哈哈密密顿顿且且令令雅雅科科毕毕方方程程可可写写成成哈哈密密顿顿常常数数，存存在在能能量量积积分分哈哈密密顿顿函函数数不不显显含含时时间间间间、哈哈密密顿顿函函数数不不显显含含时时c2/qhqhtSc2/qhqdq)qh(Wdq)qh(dWqhdqdWhdqdWq dqdWqSp)h,q(WhthdtS htSqSqqSp22 所所以以雅雅方方程程：哈哈，解解： 0tS2kqqSm21 tS2kqm2ptSH ,SQ ,qSp :2kqm2pH 222222 解解统统的的哈哈密密顿顿函函数数为为点点的的线线性性谐谐振振动动
34、。设设系系度度质质雅雅科科毕毕方方程程求求解解单单自自由由例例：用用哈哈密密顿顿 dqqkE2mkEt) t ,q(S dqqkE2mkWdqqkE2mkdW0E2kqdqdWm21tS2kqqSm21 ),q(WEt) t ,q(S , H 0tS2kqqSm21tSH 222222222则设则设不显含时间且稳定约束不显含时间且稳定约束)t (sinkE2mqkE2mkqSp)t (coskE2qE2kqcoskmtqkE2dqkmtESSdqqkE2mkEt) t ,q(S 2122 ) t ,qq,q(W)q(SS ,) t ,qSqS,qS,qq,q(F )qS,q( , F ,0)
35、t ,qSqS,qS,qq,q(F)qS,q( 0tSH 2s321111s32s321111111s32s321111 其其解解可可写写成成此此时时即即都都必必须须为为常常数数和和欲欲使使上上式式成成立立可可以以写写成成雅雅方方程程以以分分离离出出来来哈哈相相应应偏偏导导数数可可雅雅方方程程中中有有一一个个变变量量及及、哈哈 22s24232s432222222222s43222212111s13121s321111111111s32111) t ,tW,qWqW,qW,qq,q(F ),q(SS ,)qS,q( ) t ,qq,q(W),q(SW , , q , F ) t ,tW,qWq
36、W,qW,qq,q(F ),q(SS ,)qS,q( ) t ,qq,q(W)q(SS 积积分分得得可可设设同同理理如如还还有有可可分分离离变变量量如如果果积积分分得得解解可可写写成成) t ,qq,qq,q( SqS ,qSqS )qS,q( , - , H q , q ),q(S),q(S ),q(SS s1i1i21iiiiiiiiiiiiiisss222111 于于是是常常数数这这时时中中雅雅方方程程哈哈显显含含在在也也不不中中不不显显含含在在则则为为循循环环坐坐标标若若到到母母函函数数的的形形式式为为应应用用上上面面方方法法，最最后后得得部部分分离离，则则可可逐逐次次如如果果方方程程
37、的的变变量量可可以以全全212221121221121122211122211221qh2dqdW2qdqdWhqdqdWdqdW2qdqdW21dqdWpdqdWp),q(W)h,q(Wht),h,q,q(WhtStH ，所所以以不不显显含含时时间间解解：因因为为哈哈密密顿顿函函数数c2/ )2/qq(/ )3/qhq2(htSc2/ )2/qq(W2/ )q(dqdWc/ )3/qhq2(W/ )qh2(dqdWdqdW/ )qh2(dqdW2qqh2dqdW2qdqdW 22222311222222222212311122111211212222122211 的轨道方程。的轨道方程。间，
38、因此是系统间，因此是系统个方程，它们都不含时个方程，它们都不含时），常数，（常数，（，）轨道方程）轨道方程（都可决定。都可决定。则轨道方程，运动方程则轨道方程，运动方程），），（，如果取如果取1s (1) 32iW PSQ132i PPh iiiiii1 .sqs,(1)(2)(2) tt),h,q,q(f:t ),h,q,q(fthWthS ),h,q,W(q-htS PSQ232i PPh io2221o12221222111ii1得得运运动动方方程程个个方方程程，即即可可共共个个对对联联立立起起来来与与式式式式即即，）运运动动方方程程（都都可可决决定定。则则轨轨道道方方程程，运运动动方方
39、程程），（，如如果果取取 。），（；，；，解解：选选广广义义坐坐标标：运运动动的的轨轨道道方方程程。真真空空中中雅雅可可毕毕方方程程求求抛抛射射体体在在例例：试试用用哈哈密密顿顿2222yx2y2x2y2x21yW)mgyE(m2xWEmgyyWxWm21yWpxWpEmgy)pp(m21HmgyU)pp(m21Tyqxq- 32222322y22y22x2xyx222cdya)mgyE(m2cxaWcdya)mgyE(m2Wa)mgyE(m2dydWcxaWadxdWWWW ayW)mgyE(m2xW 可可分分离离变变量量，设设）（抛抛物物线线方方程程故故：，。，初初始始条条件件： cosv
40、2/gxxtgy g/gy2sinvcosvxg/cossinv cg/cossinv cgm/cosvm)02/mv(m2cosmv02/mvEcosmvxmpacosvx0yx0t cgm/a)mgyE(m2ax dya)mgyE(m2a221xaWaS cdya)mgyE(m2cxaW22o222oo2o42o4222o22oo2oox2o4222222222232222 ）（运运动动方方程程故故：，。，初初始始条条件件： 2/gtcostvy g/gy2sinvtg/sinv cg/sinv cmg/cosvm)02/mv(m202/mvEcosmvxmpacosvx0yx0t cmg
41、/a)mgyE(m2t dya)mgyE(m2mtESaS cdya)mgyE(m2cxaEtS2o22oo5o522o22o12oox2o522221132222 caWapErGMmr1ddWdrdWm21HddWpdrdWpWWEtS)(ErGMm)rpp(m21HmrpmrLpmprrmrLprGMm)rr (m21LrGMmU)rr (m21T.G,M ,m ), r (222rrrr222r22rr222222（常常数数）为为循循环环坐坐标标，因因雅雅方方程程：故故哈哈，设设主主函函数数：总总能能量量。；，引引力力常常数数为为太太阳阳为为设设行行星星为为解解：采采用用极极坐坐标标
42、cmEa2mMGrrGMmasin rarGMm2mE2r/1daaS drrarGMm2mE2aEtS drrarGMm2mE2WErGMmmr2adrdWm21 2422221222222222r222r ， 2422minmin2212422222422minmin22124222212422minmin221minmEa2mMGrrGMmasinsinmEa2mMGrarGMmmEa2mMGrrGMmasin mEa2mMGrrGMmasincmEa2mMGrrGMmasin0,rr,0t:初初始始条条件件 GMm/Ea21e ,GMm/ap )cose1/(p cosGMm/Ea211GMm/acosmEa2mMGGMma )2/sin(mEa2mMGGMm/arrr2mEa2mMGrrGMmasin mEa2mMGrrGMmasinsinmEa2mMGGMmarmEa2mMGrrGMmasinsinmEa2mMGrarGMm222222242222242222min 2422minmin2212422minmin2212422222422minmin221242222 。时时，当当运运动动方方程程积积分分形形式式）( rarGMm2mE2mdrt-t rarGMm2mE2mdrtESt drrarGMm2mE2aEtS 222o222o222
