1、广东工业大学广东工业大学考试题型：考试题型：选择题（选择题（5题每题题每题4分）分）20分分填空题（填空题（5题每题题每题4分）分）20分分计算题（计算题（6题每题题每题10分）分）60分分广东工业大学广东工业大学知识点知识点广东工业大学广东工业大学1.事件的关系、运算、运算法则事件的关系、运算、运算法则1.加法定理加法定理2.对立事件概率公式对立事件概率公式3.条件概率条件概率4.事件的独立性事件的独立性5.全全概率贝叶斯公式概率贝叶斯公式 1.伯努利试验伯努利试验2.二项分布的分布律、期望、方差二项分布的分布律、期望、方差3.期望方期望方差的性质、计算差的性质、计算1.分布函数的定义分布函
2、数的定义2.一维连续型随机变量分布函数和密度函数一维连续型随机变量分布函数和密度函数的关系的关系3.密度函数的性质、求事件概率、求期望密度函数的性质、求事件概率、求期望 4.均匀分布的均匀分布的密度函数、求事件的概率密度函数、求事件的概率5.正态分布标准化、求事件概率正态分布标准化、求事件概率6.指指数分布密度函数数分布密度函数1.二维均匀分布的密度函数、求事件的概率二维均匀分布的密度函数、求事件的概率2.二维正态分二维正态分布各参数的意义布各参数的意义3二维离散型随机变量联合概率分布的性二维离散型随机变量联合概率分布的性质、边缘分布、独立性、期望方差协方差相关系数质、边缘分布、独立性、期望方
3、差协方差相关系数4.二二维连续型随机变量的边缘密度、独立性、随机变量函数维连续型随机变量的边缘密度、独立性、随机变量函数的密度函数（和的密度函数的密度函数（和的密度函数卷积）卷积）5.期望方差协方差期望方差协方差相关系数的定义、性质、计算相关系数的定义、性质、计算6.中心极限定理中心极限定理广东工业大学广东工业大学).()()()(ABPBPAPBAP )(1)(APAP )()()|(APABPABP P(AB)=P(A)P(B)，五、全概率公式五、全概率公式 nkkkBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式贝叶斯公式 niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(广东
4、工业大学广东工业大学n重贝努利试验中，事件重贝努利试验中，事件A出现的次数为随机变量出现的次数为随机变量，服，服从二项分布从二项分布 分布律为：分布律为：称结果只有两个的试验为一个伯努利试验。称结果只有两个的试验为一个伯努利试验。独立重复进行独立重复进行n次贝努利试验次贝努利试验,简称简称n重贝努利试验。重贝努利试验。( ,)B n p 1kn knp qpqk 其中P=k=期望期望E =np，方差，方差D =npq.广东工业大学广东工业大学kkkEx p一维离散型随机变量的期望( )f若，则()kkkEf xp)( 是常数是常数CCEC )( 是常数是常数aaEEa 22()DEE方差0 D
5、C DCD )( DCDC2 广东工业大学广东工业大学( )F xPx 的分布函数的分布函数xdxxfxF)()(分布函数与密度函数的关系分布函数与密度函数的关系( )d .Exp xx一维连续型随机变量的期望( )f若，则( ) ( )d .Ef x p xx均匀分布均匀分布 , ,事件的概率等于长度比事件的概率等于长度比( , )U a b 10,( ),axbf xba 概概率率密密度度： 其其它它(1) ( )0f x 1(2) ( )f x dx 广东工业大学广东工业大学正态分布正态分布 ,第一个参数是期望，第二个参数是方第一个参数是期望，第二个参数是方差。差。2( ,)N 0 1(
6、 , )N称为标准正态分布称为标准正态分布20 1( ,),( , )N N 若若可可得得称为正态分布的称为正态分布的标准化。标准化。正态分布的概率计算方法：正态分布的概率计算方法：1.转化为标准正态分布转化为标准正态分布2.负的转化成正的负的转化成正的查表计算。查表计算。).(1)(xx 000, ( ),.xexf xx 指数分布指数分布广东工业大学广东工业大学二维均匀分布，事件概率等于面积比二维均匀分布，事件概率等于面积比二维正态分布，前面两个是期望，接下去两个方差，二维正态分布，前面两个是期望，接下去两个方差，最后一个是相关系数。最后一个是相关系数。),(),(222121rN 的联合
7、密度函数为的联合密度函数为),( 其它其它0),(1),(DyxSyxfD广东工业大学广东工业大学二维离散型随机变量函数联合概率分布的性质二维离散型随机变量函数联合概率分布的性质(1)(2)0 ijp1 ijijp 随机变量随机变量 的边缘概率分布律为的边缘概率分布律为 1jijipxP ip离散型随机变量相互独立的充要条件离散型随机变量相互独立的充要条件jiijppp 求期望方差协方差相关系数求期望方差协方差相关系数广东工业大学广东工业大学二维连续型随机变量函数的性质二维连续型随机变量函数的性质1),( dxdyyxf dyyxfxf),()( dxyxfyf),()( 边缘密度函数边缘密度
8、函数连续型随机变量相互独立的充要条件连续型随机变量相互独立的充要条件)()(),(yfxfyxf ),(yxf设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 的联合密度函数为的联合密度函数为),( 求求 的密度函数的密度函数. ),( gZ 思路思路:先求分布函数先求分布函数 ,再求密度函数再求密度函数 .)(zFZ)(zfZ)(zZPzFZ ),(zgP zyxgdxdyyxf),(),(从而由分布函数与密度函数的关系得从而由分布函数与密度函数的关系得 dzzdFzfZZ)()( 由分布函数的定义由分布函数的定义,有有 （和的分布公式（卷积）（和的分布公式（卷积）广东工业大学广东工业大学 EEE
9、)( ),( Cov)( EEE DDCovr ),(),()( CovEEE ),(2)( CovDDD 若随机变量若随机变量 相互独立相互独立 ,则有则有 , EEE )( DDD )( 若若 是两两独立的随机变量，则有是两两独立的随机变量，则有n ,21)(21nD )()()(21nDDD Cov(,)Cov(, ) ,;aX bYabX Ya b为常数1212Cov(, )Cov(, )Cov(, ).XX YX YX Y广东工业大学广东工业大学一、相互独立一、相互独立不相关不相关但如果但如果 服从服从二维正态分布二维正态分布,),( 则则 相互独立与相互独立与 不相关等价不相关等价
10、 , ,若若 ),(211 N),(222 N且且 相互独立相互独立,则则 ,),(222121 N二、二、广东工业大学广东工业大学独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理 当当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量个具有期望和方差的独立同分布的随机变量 之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布. .剩下来的问题就是正态分布求事件的剩下来的问题就是正态分布求事件的概率。概率。广东工业大学广东工业大学P52 15P52 15P115 7,8,20P115 7,8,20P162 P162 2,3,7,13,14,15,17,19,22,27,2,3,7,13,1
11、4,15,17,19,22,27,29,33,36,37,38,3929,33,36,37,38,39P87 10P87 10广东工业大学广东工业大学1.样本样本2.样本均值的定义、期望、方样本均值的定义、期望、方差差3.样本方差的定义、期望样本方差的定义、期望4. ，t分布，分布，F分布的定义分布的定义5. ，t分布以分布以及标准正态分布的上侧分位点及标准正态分布的上侧分位点6.关于关于单个正态总体的抽样分布的单个正态总体的抽样分布的4个结果个结果2 分分布布2 分分布布1.矩估计矩估计 2.最大似然估计最大似然估计3.无偏性无偏性4.有效性有效性5.置信区间置信区间6.假设检验假设检验广东
12、工业大学广东工业大学几个常用的统计量几个常用的统计量 （1）样本均值：）样本均值： niiXnX11（2）样本方差：）样本方差： niiXXnS122)(11样本均方差（样本标准差）：样本均方差（样本标准差）： niiXXnS12)(11定理定理 设设 是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本, nXXX,21, EX则有则有 ,2 DX(1) nXDXE2, (2) 22ES样本样本 独立同分布独立同分布 广东工业大学广东工业大学2 分分布布222212nXXX nXXX,21设设 相互独立且均服从标准正态分布相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量则随机变量)(2n 的分布称为自由度为的
13、分布称为自由度为n的的 分布分布. .记为记为 。 2 )(2n xyOmYnXF/ ),(mnFF所服从的分布称为所服从的分布称为F分布。记为分布。记为设设 ，且，且X与与Y),(2nX )(2mY ),(mnF分布F相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量广东工业大学广东工业大学t分分布布设设 且且X,Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量)(),1 , 0(2nYNX nYXT 所服从的分布称为自由度为所服从的分布称为自由度为n的的t 分布分布(或称学生氏分布或称学生氏分布),记为记为)(ntT)(ntxyO广东工业大学广东工业大学上上侧侧分分位位点点给定给定 ，若数，若数 使得使得
14、 )10( x xXP则称则称 为此概率分布的为此概率分布的 上侧分位点上侧分位点。 x xyO)(2n 分布的上侧分位点分布的上侧分位点 2 广东工业大学广东工业大学xyO u 标准正态分布的上侧分位点标准正态分布的上侧分位点 )( uuPu 1 uuP u 1uu 1u（1） （2） 102 当当时时，112 当当时时，xyO)(nt t 分布的上侧分位点分布的上侧分位点 )()(1ntnt )(nt )(1nt （1） （2） 102 当当时时，112 当当时时，直接查表。直接查表。广东工业大学广东工业大学定理定理 设总体设总体 ， 是是X的一个样本，则的一个样本，则 ),(2 NXnX
15、XX,21)1 , 0(/NnX （2） （1） (1)/Xt nSn 广东工业大学广东工业大学nXXX,21)1 , 0(NX2S)1 , 0( NXn)(22nnS )1()1( ntSXn)1, 1()1(2221 nFXXnnii例例 设设为取自为取自的样本，样本均值为的样本，样本均值为，样本方差为，样本方差为（A A）（B B）（C C）（D D），则，则广东工业大学广东工业大学),(2 NXnXXX,21X2S1 nX11 nnSXXTn1 n例例 设设是取自总体是取自总体X的样本，的样本，为样本均值，为样本均值，为样本方差，为样本方差，是对是对 X的又一观测值，的又一观测值，服从
16、服从t分布，自由度为分布，自由度为试证明统计量试证明统计量1 n服从服从t分布，自由度为分布，自由度为921,XXXX)(61611XXY )(319872XXXY SYYZ)(221 例例 设设是来自正态总体是来自正态总体的简单随机样本，的简单随机样本，证明统计量证明统计量Z服从自由度为服从自由度为2 2的的t t分布。分布。22972)(21YXSii 广东工业大学广东工业大学矩估计的步骤矩估计的步骤: (1) 列出矩估计式列出矩估计式.求总体求总体 的期望的期望(;)F X 1( )aEXxf x dx (2) 解上述方程组解上述方程组.将未知参数将未知参数 表示为表示为 1a的函数的函
17、数 1()g a (3) 求出矩估计求出矩估计.即用样本均值即用样本均值 代替总体期望代替总体期望 得到得到 X1aEX 未知参数的矩估计为未知参数的矩估计为 ()g X 广东工业大学广东工业大学解题具体步骤：解题具体步骤： a.a.写出似然函数写出似然函数 或者或者1( )(; )niiLf x b.求对数似然函数求对数似然函数 ).(ln Lc.求导并令其导数等于求导并令其导数等于0ln ( )0L d.解上述方程。解上述方程。即为即为 的最大似然估计。的最大似然估计。 其唯一解其唯一解 最大似然估计法最大似然估计法1( )(; )niiLp x 广东工业大学广东工业大学, 3 , 2 ,
18、 1 , 3 , 0 , 3 , 1 , 3例例 （0202）设总体设总体X的概率分布为的概率分布为 其中其中 是未知参数，利用总体是未知参数，利用总体X的如下样本值的如下样本值 求求 的矩估计值和最大似然估计值。的矩估计值和最大似然估计值。XP01232 )1(2 2 21 )210( 例例 （9797） 设总体设总体X的概率密度函数为的概率密度函数为 其其它它010)1(),(xxxf nXXX,21其中其中 是未知参数。是未知参数。是取自是取自X的一个样本。的一个样本。1 分别用矩法估计和最大似然估计法求分别用矩法估计和最大似然估计法求 的估计量的估计量. 广东工业大学广东工业大学无偏性
19、无偏性 设设 是参数是参数 的估计量的估计量,若若 E则称则称 是是 的的无偏估计无偏估计. nXXX,21)2( n例例 设设是正态总体是正态总体 的一个样本。求的一个样本。求适当的常数适当的常数c，使得，使得 为为 的无偏估计。的无偏估计。),(2 N2111)( niiiXXcQ2 有效性有效性 21 DD 设设 与与 都是都是 的无偏估计的无偏估计,若对任意样本容量若对任意样本容量n,都有都有1 2 则称则称 较较 有效有效. 1 2 广东工业大学广东工业大学),(22nStXnStX ),(22nuXnuX 未知，求未知，求 的置信区间的置信区间 2 已知，求已知，求 的置信区间的置
20、信区间 2 假设总体假设总体X服从正态分布服从正态分布 nXXXN,),(212 是样本是样本.考虑下面几种区间估计考虑下面几种区间估计:置信区间与置信度置信区间与置信度广东工业大学广东工业大学 提出假设：提出假设： 找统计量：找统计量：求临界值：求临界值：求观察值：求观察值： 作出判断：作出判断： 00: H)1 , 0(/0NnXu 查表得查表得 2 u|2uuPnxu/01 则拒绝则拒绝 ;0H若若 ,|21 uu 则接受则接受 .0Hx)(xfO2 u2/ 接接受受域域2 u 2/ 已知方差，检验已知方差，检验2 00: H12|uu 若若，假设检验的基本步骤假设检验的基本步骤 广东工
21、业大学广东工业大学 提出假设：提出假设： 找统计量：找统计量：求临界值：求临界值：求观察值：求观察值： 作出判断：作出判断： 00: H)1(/0 ntnSXt 查表得查表得 2(1)t n 2| |(1)Pttn nSxt/01 则拒绝则拒绝 ;0H若若 ,|21 tt 则接受则接受 .0Hx)(xfO2 t2/ 接接受受域域2 t 2/ 未知方差，检验未知方差，检验2 00: H12|tt 若若，假设检验的基本步骤假设检验的基本步骤 广东工业大学广东工业大学P230 1,2,5,8,9,10,12,13,15广东工业大学广东工业大学需要用到的积分需要用到的积分11nnxx dxCnaxaxee dxCa广东工业大学广东工业大学精品课件！广东工业大学广东工业大学精品课件！广东工业大学广东工业大学l第1章 古典概型 几何概型l第2章 无l第3章 泊松分布 几何分布 超几何分布 负二项分布l第4章 切比雪夫不等式 l第5章 条件分布 商的分布 极值分布 大数定律l第6章 两个正态总体的相关定理l第7章 一致性 两个正态总体的置信区间假设检验带计算器带计算器考试时按指定座位就坐，考试时按指定座位就坐，否则以作弊论处否则以作弊论处
