1、9.4 9.4 相对稳定性和相对稳定性和NyquistNyquist稳定性判据稳定性判据 在在s s平面上，用每个根或每对根的相对调节时间来度量平面上，用每个根或每对根的相对调节时间来度量相对稳定性。相对稳定性。 本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。NyquistNyquist稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息，而且还稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息，而且还能够用于定义和估算系统的相对稳定性。能够用于定义和估算系统的相对稳定性。 NyquistNyquist稳定性判据是以极坐标图上的稳定性判据是以极坐标图上的(-1,0)(-1,0)点，
2、或者点，或者BodeBode图和对数幅图和对数幅- -相图上的相图上的 点为基础的。点为基础的。显然，显然， 的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相对稳定性的度量。对稳定性的度量。)180-dB,0 ()(sGH) 1)(1()(21jjjKjGH考虑考虑图图 9.18 该轨迹与轴的交点为该轨迹与轴的交点为2121Ku时，系统在时，系统在 轴上存在特征轴上存在特征1u)(2121K或或j根。随根。随K K值从该临界值下降，稳定性将随之增加，并且在值从该临界值下降，稳定性将随之增加，并且在临界增益临界增益 与增益与增益 之间的裕量就是之间的裕量就是相对稳
3、定性的度量。这种相对稳定性的度量称为增益裕量相对稳定性的度量。这种相对稳定性的度量称为增益裕量（gain margingain margin），），它定义为相角达到它定义为相角达到 （即（即 ）时）时的增益的增益 的倒数。增益裕量是的倒数。增益裕量是 的轨迹通过的轨迹通过 点之前系统能够增加多少倍增益的度量。点之前系统能够增加多少倍增益的度量。 2121/ )(K2KK 当当1800v)(jGH)(jGH1u1）通过幅值定义相对稳定性对于图对于图 9.189.18所示的增益所示的增益 ，增益裕量等于，增益裕量等于 时时 的倒数。由于当相角为的倒数。由于当相角为 时，有时，有 ，所以增益裕量为所
4、以增益裕量为 2KK 0v)(jGH18021/1dKjGH1)(1121212增益裕量可以用对数形式（分贝）定义为增益裕量可以用对数形式（分贝）定义为dBlog201log20dd增益裕量是当相位为增益裕量是当相位为 时，系统的时，系统的NyquistNyquist曲线与曲线与 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最大增益量。大增益量。 18001j相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳定系统之间的相角差来定义。当定系统之间的相角差来定义。当 2 2）通过相位定义相对稳定性）通过相位定义相对稳定性
5、于是，作为相对稳定性的一种度量于是，作为相对稳定性的一种度量相位裕量定义为相位裕量定义为 轨迹在单位幅值轨迹在单位幅值 点上通过点上通过 平面上的平面上的 点时所转过的相角量。这种相对稳定点时所转过的相角量。这种相对稳定性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量。性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量。 )(jGH1)(jGH)(jGH)0,1(该信息可以从图该信息可以从图9.189.18所示的所示的NyquistNyquist曲线确定。当增益曲线确定。当增益 时，系统变成不稳定之前可以增加一个相位角时，系统变成不稳定之前可以增加一个相位角 。而对于增益。而对于增益 ，相位
6、裕量等于，相位裕量等于 ，如图，如图9.189.18所示。所示。2KK 21K1相位裕量是当幅值为相位裕量是当幅值为1 1时，系统的时，系统的NyquistNyquist曲线与曲线与 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。 01j3) 3) 由由BodeBode图判断稳定性图判断稳定性考察开环频率特性函数考察开环频率特性函数 ) 12 . 0)(1(1)(jjjjGH4) 4) 由由对数幅对数幅- -相图相图图判断相对稳定性图判断相对稳定性) 12 . 0)(1(1)(1jjjjGH22) 1(1)(jjjGH第一个更稳定些。第一个更稳定些
7、。5) 5) 确定二阶系统的增益裕量，以及相位裕量与欠阻尼确定二阶系统的增益裕量，以及相位裕量与欠阻尼系统的阻尼比系统的阻尼比 的关系。的关系。 考虑图考虑图9.19.1所示的系统，其中开环传递函数为所示的系统，其中开环传递函数为 )2()(2nnsssGH该二阶系统的特征方程为该二阶系统的特征方程为 0222nnss21nnjs)2()(2nnjjjGH频率传递函数为频率传递函数为在频率在频率 处，频率响应的幅值等于处，频率响应的幅值等于1 1，于是有，于是有 c1)4(2/12222nccn0)(4)(422222ncnc22/14222) 14(nc)2) 14(12(tan)2) 14
8、(21tan(90)2(tan901802/122/1412/122/141ncpm于是，该系统的相位裕量为于是，该系统的相位裕量为 提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式，提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式，提供了频率响应和时间响应之间的关系。提供了频率响应和时间响应之间的关系。 pm01. 0，其中相位裕量的单位为度。，其中相位裕量的单位为度。 考察具有如下开环传递函数的系统考察具有如下开环传递函数的系统 ) 12 . 0)(1(1)(jjjjGH相位裕量为 4343. 001. 0pm%22.OP9.5 9.5 在频域中规定的时域性能判据在频域中规定的时域性能判据 )(1)()()()(jG
9、HjGjTjRjY1)(jH1)(jH：令系统的输出等于：令系统的输出等于H(s)H(s)的输出的输出 )(1)()()()(jGjGeMjTj则频域传递函数为则频域传递函数为jvujG)(1) 令令2/1222/122)1()(1)(1)(vuvujvujvujGjGM于是，闭环响应的幅值为于是，闭环响应的幅值为 22222211MMvMMu221MMu0v,圆心为圆心为, ,半径为的半径为的 圆圆)1/(2MM) 1)(1()(21jjjKjGH随随K K值增加，极坐标图的曲线接近值增加，极坐标图的曲线接近(-1,0)(-1,0)点点. .于是可以估计出闭环频率响应的幅值曲线，于是可以估计
10、出闭环频率响应的幅值曲线， 2) 2) 类似地，可以得到闭环相角为常数的圆。类似地，可以得到闭环相角为常数的圆。 uvuvjvujvujT1tantan)1/()()(11022NvuvutanN,常数 2221141215 . 0NNvu3) 3) NicholsNichols图图等等M M圆和等圆和等N N圆可以在极坐标平面用于分析和设计控制系圆可以在极坐标平面用于分析和设计控制系统。但是，由于绘制系统的统。但是，由于绘制系统的BodeBode图要比极坐标图更容易，图要比极坐标图更容易，所以希望将等所以希望将等M M圆和等圆和等N N圆绘制在对数幅圆绘制在对数幅- -相图上。相图上。N.B
11、.NicholsN.B.Nichols最早将等最早将等M M圆和等圆和等N N圆绘制在对数幅圆绘制在对数幅- -相位图相位图上，所以得到的图称为上，所以得到的图称为NicholsNichols图（图（NicholsNichols图）。在图）。在图图9.269.26的的NicholsNichols图上，等图上，等M M和等和等N N圆似乎变成了曲线，圆似乎变成了曲线，而对数幅而对数幅- -相图的坐标与相图的坐标与8.68.6节采用的一样。等节采用的一样。等M M线的单位线的单位为分贝，而等为分贝，而等N N线的单位为度。线的单位为度。图图9.269.26例例7 7 利用利用NicholsNich
12、ols图估计相对稳定性图估计相对稳定性) 12 . 0)(1(1)(jjjjG考察具有如下开环传递函数的反馈系统：考察具有如下开环传递函数的反馈系统： 在图在图9.279.27所示的所示的NicholsNichols图上，绘制了图上，绘制了 轨迹。轨迹。 )(jG图图9.279.27 由图判断：由图判断：最大幅值： dB5 . 28 . 0r72带宽： 谐振频率：闭环相角: 33. 1B闭环相角: 142NicholsNichols图可以用于设计控制系统，在图可以用于设计控制系统，在NicholsNichols图上，图上，通过改变的轨迹，便可得到希望的相位裕量和通过改变的轨迹，便可得到希望的相
13、位裕量和 。于是，通过调整系统的增益，可提供合适的相位裕量于是，通过调整系统的增益，可提供合适的相位裕量和和 。 pMpM9.6 9.6 系统带宽系统带宽 闭环控制系统的带宽是系统响应重现能力的极好度量。闭环控制系统的带宽是系统响应重现能力的极好度量。在在BodeBode图上，对于低频幅值为图上，对于低频幅值为 的系统，带宽是在幅的系统，带宽是在幅值下降至值下降至 时的频率值。阶跃响应的速度大致与时的频率值。阶跃响应的速度大致与 成正比，而调节时间与成正比，而调节时间与 成反比。于是，在系统的元成反比。于是，在系统的元件容许情况下，希望系统具有较大的带宽。件容许情况下，希望系统具有较大的带宽。
14、dB0dB3BB85. 119. 1/nBnsT44 )cos(1)( tBetyntnnrwTnrT60. 016. 2121npT21/1eMpt11)(1ssT151)(2ssT考虑考虑，这两个系统的频率响应如图这两个系统的频率响应如图9.29(9.29(a)a)所示，系统的阶跃响所示，系统的阶跃响应如图应如图9.29(9.29(b)b)所示，而斜坡响应如图所示，而斜坡响应如图9.29 (9.29 (c)c)所示。所示。具有较大带宽的系统能够提供较快的阶跃响应具有较大带宽的系统能够提供较快的阶跃响应和较高的斜坡响应重现能力。和较高的斜坡响应重现能力。 10010100)(23sssT90
15、030900)(24sssT考虑考虑，5 . 0两个系统阻尼比相同均为两个系统阻尼比相同均为 ，两个闭环系统的，两个闭环系统的频率响应如图频率响应如图9.30(9.30(a)a)所示。两系统的自然频率分别为所示。两系统的自然频率分别为1010和和3030。带宽分别为。带宽分别为1515和和4040。两者的超调量都为。两者的超调量都为 ，但系统但系统 的峰值时间为的峰值时间为 秒，而系统秒，而系统 的峰值时间为的峰值时间为 秒，如图秒，如图9.30(9.30(b)b)所示。系统所示。系统 的调节时间为的调节时间为0.370.37秒，而系统秒，而系统 的调节时间为的调节时间为 秒。因此，具秒。因此
16、，具有较大带宽的系统能够提供较快的响应。有较大带宽的系统能够提供较快的响应。%1512. 036. 04T3T4T3T9 . 09.7 9.7 时延系统的稳定性时延系统的稳定性 （略）9.8 9.8 频域中的频域中的PIDPID控制器控制器 PIDPID控制器的传递函数为控制器的传递函数为 sKsKKsGc321)(sssKssKKsKKKsGc) 1)(1() 1()(2212232通常，当有一个或二个极点通常，当有一个或二个极点( (或可以用一个二阶对象近似或可以用一个二阶对象近似) )时，时，PIDPID控制器对减少稳态误差和改善瞬态响应特别有用。控制器对减少稳态误差和改善瞬态响应特别有
17、用。 当当 和和 时，上式的时，上式的BodeBode图如图图如图9.379.37所示。所示。PIDPID控制器是一种具有可变增益的陷波型（或带阻型）控制器是一种具有可变增益的陷波型（或带阻型）校正器。校正器。 22K10jjKjGnnc)/()/2(1 )(22具有复零点的具有复零点的PIDPID控制器为控制器为 7 . 09 . 0其中其中9.9 9.9 设计实例：遥控侦察车设计实例：遥控侦察车 期望的速度期望的速度 由无线电传送给侦察车，扰动由无线电传送给侦察车，扰动 表示路表示路面的凹凸不平。面的凹凸不平。目标目标是实现良好的控制效果，即使系统是实现良好的控制效果，即使系统对阶跃输入命
18、令对阶跃输入命令 的稳态误差和超调量都很低。的稳态误差和超调量都很低。 )(sR)(sD)(sR1 1）考察系统对阶跃输入的稳态误差：）考察系统对阶跃输入的稳态误差： 2/11)(11lim)(1)(lim)(lim000KsGGsGGsRsssEecscssss20K，稳态误差为，稳态误差为10%2 2）开环传递函数为）开环传递函数为)4/2/1)(1 ()2/1 (10)(2sssssG表表9.4 9.4 该设计实例的频率响应数据该设计实例的频率响应数据01.21.62.02.846DB2018.417.816.010.52.7-5.2度0-6.5-86-108-142-161-170由由
19、NicholsNichols图可知，图可知， 为为 ，相位裕量为相位裕量为 , ,超调量为超调量为61%61%。 pMdB1215为了降低阶跃响应的超调量，可以减少增益来实现预期为了降低阶跃响应的超调量，可以减少增益来实现预期的超调量。若要求将超调量限制在的超调量。若要求将超调量限制在25%25%以下，则主导根的以下，则主导根的阻尼比选为阻尼比选为0.40.4， 。35. 1pM为了减少增益，可以在图为了减少增益，可以在图9.359.35所示的所示的NicholsNichols图上将频图上将频率响应曲线垂直向下移动。率响应曲线垂直向下移动。在在 处，正好与处，正好与 的闭环曲线相切。增益的减的
20、闭环曲线相切。增益的减少量（垂直下降量）等于少量（垂直下降量）等于1313dBdB或或4.54.5倍。于是倍。于是 。此时，阶跃输入下的稳态误差为。此时，阶跃输入下的稳态误差为8 . 21dB6 . 244. 45 . 4/20K31. 0)2/4 . 41 (1sse此时，超调量为此时，超调量为 。%32221nr12)212(| )(|rpGM将将 时的响应向下移至时的响应向下移至 ，便可得到，便可得到 时的频率响应曲线，超调量为时的频率响应曲线，超调量为 ，而稳态误，而稳态误差为差为 。 20KdB62log2010K%48%17作为适当的折衷，选取作为适当的折衷，选取K=10.K=10
21、. 由由K=10K=10时的时的NicholsNichols图可知，最大幅值为图可知，最大幅值为 和相和相位裕量为位裕量为 。于是，所估计主导根的阻尼比为。于是，所估计主导根的阻尼比为 ，超调量为超调量为 。实际响应性能如表。实际响应性能如表9.59.5所示。系统的所示。系统的带宽为带宽为 。于是预计的调节时间（于是预计的调节时间（2%2%基准）为基准）为 dB7pM2634. 0%305B3 . 3)4 . 1/)(34. 0(44BnsT85. 119. 1/nB秒秒实际的调节时间约为实际的调节时间约为5.45.4秒，如图秒，如图9.369.36所示。所示。 图图 9.36 9.36设设R(s)=0R(s)=0，并运用终值定理，可求出单位阶跃扰动并运用终值定理，可求出单位阶跃扰动的稳态响应为的稳态响应为 KssGGsGsycs2411)(1)(lim)(0于是单位扰动减少了于是单位扰动减少了 倍。对于倍。对于 ，有，有 或稳态扰动降低到扰动幅值的或稳态扰动降低到扰动幅值的 。因此，采用。因此，采用 得到的结果是比较合理的。得到的结果是比较合理的。 )24(K10K24/1)(y%410K
