1、1.4 相速度和群速度相速度和群速度 (Phase velocity and group velocity )1. 单色光波的速度单色光波的速度2. 复色波的速度复色波的速度在前面的讨论中，提到了光波速在前面的讨论中，提到了光波速 这个物理量，下这个物理量，下面讨论它的具体含义。面讨论它的具体含义。1. 单色光波的速度单色光波的速度式中，式中， 是随距离变化的相位项，相应于是随距离变化的相位项，相应于0cos( ) 69EEtr（ ）假设单色光波电场的表示式为假设单色光波电场的表示式为( ) r( )=tr常数的空间曲面为该单色光波的的空间曲面为该单色光波的等相位面等相位面，满足该式的，满足该
2、式的r 是这个相位状态在不同时刻的位置。是这个相位状态在不同时刻的位置。0d= dstr设设 r0 为为 dr 方向上的单位矢量，并写成方向上的单位矢量，并写成 dr r0 ds，则，则1. 单色光波的速度单色光波的速度ddt r0将上式两边对时间求导数，得将上式两边对时间求导数，得( )=dd0ddd0ddd0trrrtrttr常数ddtr0dr r0 ds0d= dstr0d= dstr( ) (70)r当当 r0 垂直于等相位面，即垂直于等相位面，即 时，上式值时，上式值最小，其值为最小，其值为0/r 该该 (r) 就是等相位面的传播速度，简称为就是等相位面的传播速度，简称为相速度相速度
3、。1. 单色光波的速度单色光波的速度0/r 由于等相位面的梯度平由于等相位面的梯度平行于行于 r0，因此因此 0。则则00cosrr( ) = rk r0对于波矢量为对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为的平面单色光波，其空间相位项为1. 单色光波的速度单色光波的速度rr (71)ck 所以，平面单色光波的相速度为所以，平面单色光波的相速度为因此因此 k( ) (70)rrr cn 应当注意，相速度是单色光波所特有的一种速度，应当注意，相速度是单色光波所特有的一种速度，由于它表示的由于它表示的不是光波能量的传播速度不是光波能量的传播速度，所以当，所以当 时，例如在色散介质的反常色散区
4、，时，例如在色散介质的反常色散区，就有相速度大于真空中光速度就有相速度大于真空中光速度 的情况，这并不违的情况，这并不违背相对论的结论。背相对论的结论。1rrn 1. 单色光波的速度单色光波的速度rr (71)ck 2. 复色波的速度复色波的速度0cos() (72)NllllEEtk z=101110222cos() +cos() EEtk zEtk z如前所述，实际上的光波都不是严格的单色光波，而如前所述，实际上的光波都不是严格的单色光波，而是是复色波复色波，它的光电场是所包含各个单色光波电场的，它的光电场是所包含各个单色光波电场的叠加，即叠加，即二色波的光电场为二色波的光电场为2. 复色
5、波的速度复色波的速度, )cos (73)EE z ttkz（）若若 且且 ，则，则0102EEE01212 、012121212, )=2cos 11=()=2211=()=221=()21=()2mmmmE z tEtk zkkkkkkk（）式中式中该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为该式表明：这个二色波是如图所示的、频率为 、振幅随时间和空间在振幅随时间和空间在 0 到到 2E0 之间缓慢变化的光波。之间缓慢变化的光波。这种复色波可以叫做这种复色波可以叫做波群或振幅调制波波群或振幅调制波。x2. 复色波的速度复色波的速度振动的合成.exe对于上述复色波，其传播速度包含两种含义：对于上
6、述复色波，其传播速度包含两种含义：2. 复色波的速度复色波的速度等相位面的传播速度，称为等相位面的传播速度，称为相速度；相速度；等振幅面的传播速度，称为等振幅面的传播速度，称为群速度群速度。形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速地向墙内推进，也就是说
7、电钻的总的向前推进的速度就是度就是“群速度群速度”。1)1)复色波的相速度复色波的相速度d= (74)dztk若令若令（73）式的复色波相位为常数式的复色波相位为常数( )( )，则某时刻等相位面的位置则某时刻等相位面的位置 z 对时间的变化率即为等对时间的变化率即为等相位的传播速度相位的传播速度复色波的相速度复色波的相速度，且，且tkz 常数, )cos (73)EE z ttkz（）d=dmgmztkk 2）复色波的群速度）复色波的群速度由复色波表示式（由复色波表示式（73）可见，它的振幅是时间和）可见，它的振幅是时间和空间的余弦函数，在任一时刻，满足空间的余弦函数，在任一时刻，满足 的的
8、 z 值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面值，代表了某等振幅面的位置，该等振幅面位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度位置对时间的变化率即为等振幅面的传播速度复色波的群速度复色波的群速度，且，且mmtk z 常数, )cos (73)EE z ttkz（）0, )=2cos mmE z tEtk z（）=d0dddmmmmmmtk zzktztk常数d=dmgmztkk121211=()=2211=()=22mmkkkkddmmztk 2）复色波的群速度）复色波的群速度d (75)dgk当当 很小时，可以写成很小时，可以写成由波数由波数 k / ，g 可表示为可表示为d()d + (76)
9、ddgkkkkd=dmgmztkk 2)2)复色波的群速度复色波的群速度由由 k=2 / ，有，有dk(2 / 2)d ，可将上式变为，可将上式变为d= (77)dgd()d + (76)ddgkkkkdk(2 / 2)d k=2 / 2)2)复色波的群速度复色波的群速度由由cn，有，有d (cn2)dn，上式还可表示为，上式还可表示为d=1+ (78)dgnn该式表明，在折射率该式表明，在折射率 n 随波长变化的色散介质中，随波长变化的色散介质中，复色波的复色波的相速度不等于群速度相速度不等于群速度。d= (77)dg 2)2)复色波的群速度复色波的群速度对于正常色散介质对于正常色散介质(d
10、nd0)，g；对于反常色散介质对于反常色散介质(dnd0)， g ；在无色散介质在无色散介质(dnd 0)中，复色波的相速度等中，复色波的相速度等于群速度，实际上，只有真空才属于这种情况。于群速度，实际上，只有真空才属于这种情况。/00.997 0.9980.999 1.0001.0011.002 1.0030.9751.0001.025n折射率随着波长折射率随着波长增加增加( (或光频率的或光频率的减少减少) )而减小的色而减小的色散叫散叫正常色散正常色散。应当指出：（应当指出：（1）复色波是由许多单色光波组成的，）复色波是由许多单色光波组成的，只有复色波的频谱宽度只有复色波的频谱宽度 很窄
11、，很窄，各个频率集中在各个频率集中在某一某一“中心中心”频率附近时频率附近时，才能构成（，才能构成（73）式所示）式所示的波，上述关于复色波速度的讨论才有意义。如果的波，上述关于复色波速度的讨论才有意义。如果 较大，得不到稳定的波群，则复色波群速度的较大，得不到稳定的波群，则复色波群速度的概念没有意义。概念没有意义。 2)2)复色波的群速度复色波的群速度, )cos (73)EE z ttkz（） 1 2(b)(b)（2）波群在介质中传播时，由于介质的色散效应，）波群在介质中传播时，由于介质的色散效应，使得不同单色光波的传播速度不同。因此，随着传使得不同单色光波的传播速度不同。因此，随着传播的
12、推移，波群发生播的推移，波群发生“弥散弥散”，严重时，其形状完，严重时，其形状完全与初始波群不同。由于不存在不变的波群，其群全与初始波群不同。由于不存在不变的波群，其群速度的概念也就没有意义。速度的概念也就没有意义。 2)2)复色波的群速度复色波的群速度只有在只有在色散很小色散很小的介质中传播时，群速度才可以视的介质中传播时，群速度才可以视为一个波群的传播速度。为一个波群的传播速度。（3）由于光波的能量正比于电场振幅的平方，而）由于光波的能量正比于电场振幅的平方，而群速度是波群等振幅点的传播速度，群速度是波群等振幅点的传播速度，所以在群速度所以在群速度有意义的情况下，它即是光波能量的传播速度。有意义的情况下，它即是光波能量的传播速度。 2)2)复色波的群速度复色波的群速度220IEE
