1、扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建扫描全能王 创建太原市太原市2022年高三年级模拟考试（一）年高三年级模拟考试（一） 数学（理数学（理科）科）试题试题参考答案参考答案及评分标准及评分标准 一、一、 选择题选择题 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A A D A C B C B D B B C 二、填空题二、填空题 13. 4 14. 2213yx = 15.12 16. 三、简答题三、简答题 17
2、. 解：解：（1）由23nnSa+=，得1123(2)nnSan+=， 两式相减得：120nnnaaa+=，即113nnaa=，.3 分 令1n =得11a =，故 na是首项为 1 公比为13的等比数列，113nna=；.4 分 （2）当1n =时，114ba=， 14b =，.5 分 当2n 时， 31212313 (21)nnnbbbbnaaaa+= +， 又13112123113(23)nnnbbbbnaaaa+= +， 两式相减，得113 (21)3(23)34nnnnnbnnna=， 所以4nbn=, 当1n =时14b =也适合，因此4nbn=. .8 分 （3）22( 1)16
3、( 1)nnnncbn= ， .9 分 设212nnndcc=+2216(2 )(21) 16(41)nnn=， 则212316 (21)nnTddddnn=+=+ . .12 分 18. 解：解：（1）甲、乙两个班级抽取的 4 人都能正确回答的概率2232439432CpC=（ ）. 4 分 （2）设甲班能正确回答题目的人数为 X，X 的取值分别为 1，2， P（X=1）= 132412CC=， P（X=2）=232412CC=，6 分 则 E（X）=11312222+ = ， D（X）=2231311(1)(2)22224+=, 8 分 乙班能正确回答题目的人数为 Y，Y的取值分别为 0，
4、1，2， YB（2，34） ，E（Y）=33242=， D（Y）=3132448=, .11 分 由 E（X）=E（Y） ，D（X）D（Y）知，由甲班代表学校参加大赛更好. .12 分 19.解解： （1）因为/AB平面 PCD，AB 平面OPD，平面OPD平面PCDPD=， 所以ABPD， . 2分 又6AOD=，所以23POD=，. 3分 又1ODOP=，所以3PD =. 5分 （2）由题意知OC 平面POD，而1sin2DOPSOD OPDOP=， 所以当ODOP时，三棱锥PCOD的体积最大. .6分 解法一解法一 易知,OC OD OP两两垂直， 以O为坐标原点，,OC OD OP方向
5、为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系Oxyz， 则(1,0,0)C，(0,0,1)D，(0,1,0)P，(1, 1,0)PC = ，(0,1, 1)DP = . 7分 设平面PDC的法向量为1( , , )x y z=n， 则110,0,PCDP=nn 取1y =，得平面DPC的一个法向量为1(1,1,1)=n. 9分 z y x 易知平面POD的一个法向量为2(1,0,0)=n， 10分 设二面角OPCD的平面角为，则12123cos3=n nnn， 由题图知，二面角OPDC的平面角为锐角， 所以二面角OPCD的余弦值为33. 12分 解法二解法二 如图所示，取PD的中点M，连
6、接,OM CM. 因为ODOP=，CDCP=，所以OMPD，CMPD， 即OMC为所求二面角的平面角. 在等腰RtOPD中可得22OM =，而1OC =，tan2OMC=，3cos3OMC=， 故二面角OPDC的余弦值为33. 20. 解：解： （1）设直线 AB 的方程为4xmy=+，它与抛物线的两个交点为 A()11,x y和 B()22,xy ， 联立直线与抛物线方程24,2,xmyypx=+= 消去 x 得：2280ypmyp=， 122yypm+= ， 128y yp= ， 2 分 OAOB，1OAOBkk= ，12120 x xy y+=即， 212122()04y yy yp+=
7、， 1680p=，2p=， .5 分 抛物线方程为24yx=. .6 分 （2）设点, ,A B C D的纵坐标依次为1234,y yyy ，设直线 AF 的方程为1xny=+， 联立方程21,4 ,xnyyx=+= 消去 x 得：2440yny=， 134y y= ， 8 分 同理244y y = ， 9 分 M 由（1）中可知：1216y y = ， 341y y= ，.10 分 121|sin|21sin2AFBFAFBSAFBFSCF DFCF DFCFD=1243y yy y=16=，即12SS为定值16. .12 分 21解解:（1）函数( )1xf xxex=的定义域是 R，(
8、)(1)1xfxxe+=，.1 分 令( )(1)1xg xxe=+， 1,1x ，则( )(2)0 xg xxe+=( )fx在1,1上单调递增又0 x =时，( )0fx=， 在)1,0上，( )0fx单调递增，3 分 又1( 1)fe= ，(1)2fe=，(0)1f= ， 函数( )fx在区间1,1上的最小值为1，最大值为2e 5 分 （2）解法一： 由( )ln2f xxm=+，得ln1xxexxm+ =，0 x ， 令( )ln1xg xxexx=+，则1(1)(1)( )1xxxxxxeg xexex+ =+=，6 分 令( )1,( )(1)0 xxm xxem xxe=+则，则
9、( )m x在(0,)+上单调递增， 7 分 且110,(1)1022emme= ， 存在01,12x，使得()00m x=，即001xex=，从而00ln xx= ， 当()00,xx时，( )0m x ，即( )0g x，即( )0g x，则( )g x单调递增 ()0min000000001( )ln112xg xg xx exxxxxx=+ =+ =， 9 分 又易知，当0 x+时，( )g x +；当x +时，( )g x +. 当2m 时，方程( )ln2f xxm=+有 2 个实根 .12 分 2222. .解：解：（1）因为P的极坐标为3(2 2,)4，所以32 2cos24x
10、= ，32 2sin24y=， 所以P的直角坐标为( 2,2)； .2 分 由2cos24 sin30+=，得2222cossin4 sin30+=， 所以22430 xyy+=， 即22(2)1yx=. .5 分 （2）将325xt= +，425yt=+代入22(2)1yx=，得 271250255tt+=， .7 分 12607tt+= ， .8 分 P坐标为( 2,2)，点M对应参数值为123027tt+= , 点P到线段AB中点M距离为307. .10 分 23.解：解： (1) 由( )1f x ，得 (1)(21)1,(1)(21)1,(1)(21)1,111,1,22xxxxxxxxx+ 或或 解得 1111,122xxx =,或或， .3 分 即11x ， .4 分 故满足不等式( )1f x 的最大整数1a = . .5 分 (2)由(1)知,1,()x y+, 又因为4xy+=，设1mx=，1ny=，因此,m nR+且2mn+=, 2211xyzxy=+22(1)(1)nmmn+=+22(3)(3)mnmn=+9966mnmn=+ 119() 10mn=+8， .9 分 当且仅当mn=即当且仅当xy=时等号成立，所以z的最小值为 8. .10 分 （注：其他正确解法相应付分注：其他正确解法相应付分）
