1、/692022年年3月月27日星期日日星期日3第四章 随机变量的数字特征 本章主要内容 1 数学期望数学期望 2 方方 差差 3 协方差与相关系数协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日4 在第二、三章我们讨论了随机变量的分布，这是在第二、三章我们讨论了随机变量的分布，这是关于随机变量的一种完整性描述但在实际问题中，关于随机变量的一种完整性描述但在实际问题中，要确定一个随机变量的分布往往是比较困难的另一要确定一个随机变量的分布往往是比较困难的另一方面，在某些实际问题中，未必一定需要去全面考察方面，在某些实际问题中，未必一定需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变
2、量的某些特随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数例如，气象分征，因而并不需要求出它的分布函数例如，气象分析中常常考察某一时段的雨量、湿度和日照等气象要析中常常考察某一时段的雨量、湿度和日照等气象要素的平均值和极端值以判定气象情况，而不必掌握每素的平均值和极端值以判定气象情况，而不必掌握每一个气象变量的分布函数在这些用来作为显示随机一个气象变量的分布函数在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中，最重要的就是随机变量的数变量分布特征的数字中，最重要的就是随机变量的数学期望、方差以及各阶矩本章主要讨论随机变量的学期望、方差以及各阶矩本章主要讨论随机变量的常用
3、数字特征：常用数字特征：数学期望、方差、相关系数数学期望、方差、相关系数和矩和矩 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日54.1 数学期望 一、数学期望的概念一、数学期望的概念 从分布律并不能直观地看出答案，这说明分布律虽然完整从分布律并不能直观地看出答案，这说明分布律虽然完整地描述了随机变量，但却不够地描述了随机变量，但却不够“集中集中”地反映出它的变化地反映出它的变化情况因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描情况因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量常是某种平均值述随机变量，这些量常是某种平均值 /692022年年3月月27日星期日日星
4、期日64.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日7定义定义1.1 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日84.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日94.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日104.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日114.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日12例例1-5 (一种验血新技术一种验血新技术)在一个很多人的团体中普查某在一个很多人的团体中普查某种疾病，为此要抽验种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行：个人的血，可以用两种方法
5、进行：(1)将每个人的血分别去验，这就需验将每个人的血分别去验，这就需验N次；次；(2)按按k个人一个人一组进行分组，把从组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这个混合血液呈阴性反应，就说明如果这个混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴个人的血都呈阴性反应，这样，这性反应，这样，这k个人的血就只需验一次若呈阳性，个人的血就只需验一次若呈阳性，则再对这则再对这k个人的血液分别进行化验这样这个人的血液分别进行化验这样这k个人的血个人的血总共要化验总共要化验k+1次假设每个人化验呈阳性的概率为次假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相
6、互独立的试说明当且这些人的试验反应是相互独立的试说明当p较小时，较小时，选取适当的选取适当的k，按第二种方法可以减少化验次数，并说明，按第二种方法可以减少化验次数，并说明k取什么值最适宜取什么值最适宜 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日134.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日144.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日154.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日164.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日174.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日184
7、.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日194.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日204.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日21二、二、 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日224.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日234.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日244.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日254.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日264.1 数学期望
8、/692022年年3月月27日星期日日星期日27例例1-12 假设市场上对某种产品每年的需求量为假设市场上对某种产品每年的需求量为X(吨吨)，它服从它服从2000， 4000上的均匀分布己知每出售上的均匀分布己知每出售1吨产品吨产品可赚可赚3万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费1万万元试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平元试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均收益最大？并求最大平均收益均收益最大？并求最大平均收益 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日284.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日
9、星期日29三、三、 数学期望的性质数学期望的性质 (1) 设设C是常数，则有是常数，则有E(C)=C (2) 设设X是随机变量，是随机变量，C是常数，则有是常数，则有E(CX)=CE(X) (3) 设设X，Y是随机变量，则有是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可推广到有限个随机变量之和的情况结合这一性质可推广到有限个随机变量之和的情况结合(2)和和(3)，我们有，我们有 对于任意的常数对于任意的常数a,b，随机变量，随机变量X,Y，则，则 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) (4) 设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有 E(XY)= E(X
10、) E(Y) 这一性质可推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况这一性质可推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日30我们来证明我们来证明(3)和和(4)我们仅就连续型情形给出证明，离散型我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证情形类似可证 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日31性质性质(4)得证得证 例例1-13 设随机变量设随机变量XB(n,p)，试利用性质求，试利用性质求E(X) 4.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日324.1 数学期望 /692022年年3月月27
11、日星期日日星期日33将随机变量分解为有限个简单随机变量之和，然后利用将随机变量分解为有限个简单随机变量之和，然后利用性质性质(3)来求来求E(X)，这种方法有着普遍的意义，这种方法有着普遍的意义 例例1-14 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客位旅客自机场开出，旅客有有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车以不停车以X表示停车的次数，求平均停车次数表示停车的次数，求平均停车次数E(X)(设设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立下车相互独立) 4
12、.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日344.1 数学期望 /692022年年3月月27日星期日日星期日354.1 数学期望 返回返回/692022年年3月月27日星期日日星期日364.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日37一、 方差的概念 4.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日384.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日394.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日404.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日414.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期
13、日424.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日43)(22/2/222dtetett22224.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日444.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日45二、 方差的性质 4.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日464.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日474.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日48)()(2)()(22CXECXECXEECXE)(2)(2)()(2222CXCEXECXECXE22)()(CXECXE)(2CXE4.2 方 差
14、 /692022年年3月月27日星期日日星期日494.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日504.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日51定义定义 4.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日524.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日534.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日54返回返回4.2 方 差 /692022年年3月月27日星期日日星期日554.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日56一、协方差及相关系数的定义一、协方差及相关系数的定义 定义定义3.1 设二
15、维随机变量设二维随机变量(X,Y)，如果，如果EX-E(X)Y-E(Y)存存在，则称在，则称EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量为随机变量X X与与Y Y的的协方差协方差记记为为Cov(X,Y)，即，即Cov(X,Y)= EX-E(X)Y-E(Y) 4.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日57)()()(*YXEYEYXEXE)()()()(YDYEYXDXEXE)()()()(YDXDYEYXEXEXY4.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日58二、协方差与相关系数的性质二、协方差与相关系数的性质 4.3 协方差与相关系数 /692
16、022年年3月月27日星期日日星期日594.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日604.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日614.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日624.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日63注意：注意：4.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日644.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日654.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日664.3 协方差与相关系数 /692022年年3月月27日星期日日星期日67三、矩三、矩 4.3 协方差与相关系数
