1、 第四讲第四讲 灰度直方图变灰度直方图变换换 Lecture 4 Gray-level Histogram Transformations图像灰度直方图(histogram)一、定义 灰度直方图反映的是一幅图像中各灰度级像素出现的频率。以灰度级为横坐标，纵坐标为灰度级的频率，绘制频率同灰度级的关系图就是灰度直方图。它是图像的一个重要特征，反映了图像灰度分布的情况。 下图是一幅图像的灰度直方图。 频率的计算式为 nnvii灰度图像的直方图(histogram)彩色图像的分波段直方图0132132105762567160635122675365032272416225627601232121231
2、231221v0=5/64v1=12/64v2=18/64v3=8/64v4=1/64v5=5/64v6=8/64v7=5/64ivi二、计算 该图像像元总数为8*8=64, i=0,7直方图的性质灰度直方图只能反映图像的灰度分布情况，而不能反映图像像素的位置,即丢失了像素的位置信息。一幅图像对应唯一的灰度直方图，反之不成立。不同的图像可对应相同的直方图。下图给出了一个不同的图像具有相同直方图的例子。 不同的图像具有相同直方图一幅图像分成多个区域，多个区域的直方图之和即为原图像的直方图。直方图的应用用于判断图像量化是否恰当 (a) 恰当量化 (b)未能有效利用 (c)超过了动态范围 图2.4.
3、4直方图用于判断量化是否恰当用于确定图像二值化的阈值 TyxfTyxfyxg),(1),(0),(具有二峰性的灰度图象当影像上目标的灰度值比其它部分灰度值大或者灰度区间已知时，可利用直方图统计图像中物体的面积。 A= 计算图像信息量H（熵） Tiivn102logLiiiPPH注：图像来自R.C.Gonzalez图像获取过程中经常出现以下情况：（a）成像时曝光不足，灰度级集中在低亮度范围内，使得整幅图像偏暗（b）成像时过曝光，灰度级集中在高亮度范围内，使得整幅图像偏亮 （c）低对比度，成像设备的非线性或图像记录设备动态范围太窄，灰度级集中在中央亮度范围内 (d) 高对比度，灰度级在整个动态范围
4、内均匀分布 (a)(b)(c)(d)绘制直方图使用函数绘制直方图使用函数imhist(f)横坐标表示灰度值，纵坐标表示各灰度值出现的次数或概率1.灰度范围 2.整幅图像的明暗 3. 对比度 05010015020025002004006008001000120014001600 直方图修整法包括直方图修整法包括直方图均衡化直方图均衡化(Histogram Equalization)及及直方图规定化直方图规定化(匹配化匹配化)(Histogram Specification (Matching)两类。两类。n 直方图均衡化直方图均衡化 (Histogram Equalization) 直方图均衡
5、化是将直方图均衡化是将原图像通过某种变换原图像通过某种变换，得到一幅灰度，得到一幅灰度直方图为均匀分布直方图为均匀分布的新图像的方法。的新图像的方法。 直方图均衡化 先讨论连续变化图像的均衡化问题，然后推广到离先讨论连续变化图像的均衡化问题，然后推广到离散的数字图像上。散的数字图像上。 设设r r和和s s分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正后的图像灰度。即修正后的图像灰度。即 在在0,10,1区间内的任一个区间内的任一个r r值，都可产生一个值，都可产生一个s s值，且值，且 1,0sr)(rTs T(r)T(r)作为变换函数，满足下列条件：作为变
6、换函数，满足下列条件：1.1. 在在0r10r1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变；内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白的次序不变；2.2. 在在0r10r1内，有内，有0T(r)10T(r)1，确保映射后的像素灰度在允许的范，确保映射后的像素灰度在允许的范围内。围内。 连续图像直方图均衡化连续图像直方图均衡化反变换关系为反变换关系为 T T-1-1(s)(s)对对s s同样满足上述两个条件。同样满足上述两个条件。 )(1sTr令令pr(r)和和ps(s)分别代表变换前后图像灰度级的概率密度函数，由基本概分别代表变换前后图像灰度级的概率密度函数，由基本概率理论得到一个基本结果，如果
7、率理论得到一个基本结果，如果pr(r)和和T(r)已知，且已知，且T-1(s)满足上述两个满足上述两个条件，那么变换变量条件，那么变换变量s的概率密度函数的概率密度函数ps(s)可由以下简单公式得到：可由以下简单公式得到：)()()()(1sTdsdrpdsdrrpsprrs因此，变换变量因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的概率密度函数和所选的概率密度函数由输入图像的概率密度函数和所选择的变换函数决定。择的变换函数决定。 在图像处理中一个尤为重要的变换函数如下所示：在图像处理中一个尤为重要的变换函数如下所示：是积分变量。上式两端对是积分变量。上式两端对r求导：求导：rrdprTs0)()
8、()()()(0rpdpdrddrrdTdrdsrrr从基本微积分学（莱布尼茨准则），我们知道关于上限的定从基本微积分学（莱布尼茨准则），我们知道关于上限的定积分的导数就是该上限的积分值。该结果代入公式积分的导数就是该上限的积分值。该结果代入公式 得到：得到：)()()()(1sTdsdrpdsdrrpsprrs1)(1)()()(rprpdsdrrpsprrrs变换后图像的概率密度函数是均匀的。变换后图像的概率密度函数是均匀的。上式表明，当变换上式表明，当变换函数为函数为r的累积直的累积直方图函数时，能达方图函数时，能达到直方图均衡化的到直方图均衡化的目的目的。例题：给定一幅图像，其灰度级分
9、布概率密度函数为：例题：给定一幅图像，其灰度级分布概率密度函数为：求使图像灰度级均匀化的变换函数求使图像灰度级均匀化的变换函数T(r) 。解：解： 1221221222200rrdrdsrpdsdrrpsprrddprTsrrsrrr其它, 010 , 22)(rrrpr%绘出灰度均匀化的变换函数以及变换前、后的概率密度函数的源程序（image34.m）：r=0:0.001:1; pr=-2*r+2;T=-r.2+2*r;ps=1;subplot(131)plot(r,pr)xlabel(r)ylabel(p_r(r)subplot(132)plot(r,T)xlabel(r)ylabel(T
10、(r)axis(-0.2 1.3 0 1.4)subplot(133)plot(T,ps,b-)hold onplot(0,0:0.001:1,b-)xlabel(s)ylabel(p_s(s)axis(-0.2 1.3 0 1.4)00.5100.20.40.60.811.21.41.61.82rpr(r)00.5100.20.40.60.811.2rT(r)00.5100.20.40.60.811.2sps(s)kjjkjjrkknnrprTs00)()( 上式表明，均衡后各像素的灰度值上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图可直接由原图像的直方图算出。像的直方图算出。 对于离散的数
11、字图像，用频率来代替概率对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函则变换函数数T(rk)的离散形式可表示为的离散形式可表示为: 离散图像直方图均衡化离散图像直方图均衡化例例 假定有一幅总像素为假定有一幅总像素为n=64n=646464的图像，灰度级数为的图像，灰度级数为8 8，各灰，各灰度级分布列于表中。对其均衡化计算过程如下：度级分布列于表中。对其均衡化计算过程如下：0123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122810.190.250.210.160.080.060.030.02kkrkn)(krrp1 计算各灰度级出现的概率计算各灰
12、度级出现的概率2 根据变换函数求新的灰度根据变换函数求新的灰度3 与灰度级拟和与灰度级拟和4 求新的灰度级出现的概率求新的灰度级出现的概率kjjkknnrTs0)(0123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122810.190.250.210.160.080.060.030.020.190.440.650.810.890.950.9811/73/75/76/76/71111/73/75/76/7179010238509854480.190.250.210.240.11kkrkn)(krrpksks ksskn)(ksrpk rk nk Pr(
13、rk) Tr(rk) 量化级 新灰度级sk 像素数 Ps(sk)0 0 790 0.19 0.19 01 1/7 1023 0.25 0.44 1/7=0.14 s0=1/7 790 0.192 2/7 850 0.21 0.65 2/7=0.293 3/7 656 0.16 0.81 3/7=0.43 s1=3/7 1023 0.254 4/7 329 0.08 0.89 4/7=0.575 5/7 245 0.06 0.95 5/7=0.71 s2=5/7 850 0.216 6/7 122 0.03 0.98 6/7=0.86 s3=6/7 985 0.247 1 81 0.02 1.0
14、0 1 s4=1 448 0.11本例题可编程实现方法一（image35.m）%本程序绘出直方图均匀化的变换函数%以及变化前后的直方图k=0:7;rk=k/7;nk=790 1023 850 656 329 245 122 81;n=sum(nk(:);Pr=nk/n;subplot(131)stem(rk,Pr)xlabel(rk)ylabel(P_r(r_k)title(均匀化前的直方图)Tr=cumsum(Pr,2); %沿列的方向求累积和subplot(132)stem(rk,Tr)xlabel(rk)ylabel(s_k=T(r_k)title(变换函数)ns=zeros(1,8);
15、for i=0:7 idx=find(Tr=(2*i-1)/14&Tr(2*i+1)/14); m0=nk(idx); ns(i+1)=sum(m0(:);endsums=sum(ns(:);Ps=ns/sums;subplot(133)stem(rk,Ps)xlabel(s_k)ylabel(P_s(s_k)title(均匀化后的直方图)00.5100.050.10.150.20.25rkPr(rk)均 匀 化 前 的 直 方 图00.5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91rksk=T(rk)变 换 函 数00.5100.050.10.150.20.25skPs(sk
16、)均 匀 化 后 的 直 方 图近似的、非理想的均衡结果近似的、非理想的均衡结果, ,虽然直方图不是很平坦灰度级有所减少，虽然直方图不是很平坦灰度级有所减少，但从分布来看比原直方图平坦多了而且动态范围也扩大了。但从分布来看比原直方图平坦多了而且动态范围也扩大了。结论：结论：经过直方图均匀化，含有像素多的几个灰度级间隔被拉大了，压经过直方图均匀化，含有像素多的几个灰度级间隔被拉大了，压缩的只是像素少的灰度级，实际视觉能够接收的信息量大大地增加了。缩的只是像素少的灰度级，实际视觉能够接收的信息量大大地增加了。 若在原图像一行上连续若在原图像一行上连续8 8个像素的灰度值分个像素的灰度值分别为：别为
17、：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7，则均衡后，他，则均衡后，他们的灰度值为多少？们的灰度值为多少？?原图像的直方图均衡后图像的直方图%histeq37.m%本程序产生冈萨雷斯数字图像处理（MATLAB版）% P83 FIGURE3.8及P84 FIGURE3.9f=imread(e:chenpcdatathrychpt3Fig3.15(a)1top.jpg);subplot(231),imshow(f);title(原图);subplot(234),imhist(f);title(直方图)ylim(auto)g=histeq(f,256);subplot(232)
18、,imshow(g)title(直方图均衡化后的图像)subplot(235),imhist(g)title(均衡化后的直方图)ylim(auto)hnorm=imhist(f)./length(f(:);cdf=cumsum(hnorm);x=linspace(0,1,256);subplot(233),plot(x,cdf)axis(0 1 0 1)set(gca,xtick,0:.2:1)set(gca,ytick,0:.2:1)xlabel(输入灰度级,fontsize,9)ylabel(输出灰度级,fontsize,9)%Specify text in the body of the
19、 graph:text(0.18,0.5,变换函数,fontsize,9)原 图010020001000200030004000直 方 图直 方 图 均 衡 化 后 的 图 像010020001000200030004000均 衡 化 后 的 直 方 图0 0.20.40.60.8 100.20.40.60.81输入灰度级输出灰度级变换函数直方图均衡化示例 0501001502002500200400600800100012001400160005010015020025002004006008001000120014001600n 直方图规定化（匹配化）直方图规定化（匹配化） 在某些情况下，
20、并不一定需要具有均匀直方图的图像，在某些情况下，并不一定需要具有均匀直方图的图像，有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够增强图像中某有时需要具有特定的直方图的图像，以便能够增强图像中某些灰度级。些灰度级。直方图规定化方法直方图规定化方法就是针对上述思想提出来的。就是针对上述思想提出来的。直方图规定化是使原图像灰度直方图变成规定形状的直方图直方图规定化是使原图像灰度直方图变成规定形状的直方图而对图像作修正的增强方法而对图像作修正的增强方法。 原图像的直方图 规定化直方图 对于直方图规定化，下面仍从灰度连续变化的概率密度函数出发对于直方图规定化，下面仍从灰度连续变化的概率密度函数出发进行推导，然
21、后推广出灰度离散的图像直方图规定化算法。进行推导，然后推广出灰度离散的图像直方图规定化算法。 连续图像直方图规定化连续图像直方图规定化 首先对原始图像进行直方图均衡化，即求变换函数，所希望的图首先对原始图像进行直方图均衡化，即求变换函数，所希望的图像，对它也进行均衡化处理，则二者均衡化的概率密度函数相同。像，对它也进行均衡化处理，则二者均衡化的概率密度函数相同。 rTGsGzdwwpzGsdwwprTszzrr1100其中，r：输入图像的灰度级 z：输出图像的灰度级 pr(r) ：输入图像的概率密度函数 pz(z) ：输出图像的概率密度函数这就是所求得的变换表达式根据上述思想，可总结出直方图规
22、定化增强处理的根据上述思想，可总结出直方图规定化增强处理的步骤如下：步骤如下：1对原始图像作直方图均衡化处理；对原始图像作直方图均衡化处理；2按照希望得到的图像的灰度概率密度函数按照希望得到的图像的灰度概率密度函数pz(z)（已给定），求得变换函数（已给定），求得变换函数G(z)；3用步骤用步骤1得到的灰度级得到的灰度级s作逆变换作逆变换z= G-1(s)。 离散图像直方图规定化离散图像直方图规定化 kkkkjjzkkkjkjjjrkkrTGsGzzpzGsnnrprTs11000rk：输入图像的灰度级 zk：输出图像的灰度级 pr(rk) ：输入图像的概率密度函数 pz(zk) ：输出图像的
23、概率密度函数利用直方图规定化方法进行图像增强的主要困难在于要构利用直方图规定化方法进行图像增强的主要困难在于要构成有意义的直方图。图像经直方图规定化，其增强效果要成有意义的直方图。图像经直方图规定化，其增强效果要有利于人的视觉判读或便于机器识别。有利于人的视觉判读或便于机器识别。原图像的直方图 规定化直方图 例题：采用与直方图均衡相同的原始图像数据（例题：采用与直方图均衡相同的原始图像数据（64646464像素像素且具有且具有8 8级灰度），其灰度级分布列于表中。给定的直方图的级灰度），其灰度级分布列于表中。给定的直方图的灰度分布列于表中。灰度分布列于表中。 对应的直方图如下：对应的直方图如下
24、：0123456701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122810.190.440.650.810.890.950.9811/73/75/76/7179010238509854480.190.250.210.240.110000.150.200.300.200.150000.150.350.650.8510001/73/75/76/71kkrknksksskn)(ksrp)(kzzpkvkv117/67/ 317/67/ 57/217/ 57/47/ 17/67/47/ 307763765275416430zrzrzrzrzrzrzrzr0123456
25、701/72/73/74/75/76/717901023850656329245122811/73/75/76/710.190.250.210.240.110000.150.200.300.200.150000.150.350.650.8510001/73/75/76/71kkrknks)(ksrp)(kzzpkvkv单映射方式单映射方式 rk nk Pr(rk) Tr(rk) zk Pz(zk) Tz(zk) rk zk Pz(zk)0 790 0.19 0.19 0 0 01 1023 0.25 0.44 1 0 02 850 0.21 0.65 2 0 03 656 0.16 0.81
26、3 0.2 0.2 0,1 3 0.444 329 0.08 0.89 4 0 0.25 245 0.06 0.95 5 0.6 0.8 2,3,4 5 0.456 122 0.03 0.98 6 0 0.87 81 0.02 1.00 7 0.2 1.0 5,6,7 7 0.11组映射方式组映射方式 rk nk Pr(rk) Tr(rk) zk Pz(zk) Tz(zk) rk zk Pz(zk)0 790 0.19 0.19 0 0 01 1023 0.25 0.44 1 0 02 850 0.21 0.65 2 0 03 656 0.16 0.81 3 0.2 0.2 0 3 0.194
27、 329 0.08 0.89 4 0 0.25 245 0.06 0.95 5 0.6 0.8 1,2,3 5 0.626 122 0.03 0.98 6 0 0.87 81 0.02 1.00 7 0.2 1.0 4,5,6,7 7 0.19 原图像的直方图 规定的直方图 规定化后图像的直方图? 若在原图像一行上连续若在原图像一行上连续8 8个像素的灰度值分别为：个像素的灰度值分别为：0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7，则规定化后，他们的灰度值为多少？，则规定化后，他们的灰度值为多少？ 直方图均衡化和直方图匹配间的比较直方图均衡化和直方图匹配间的比较注：图片选自R.C.冈萨雷斯图像的算术运算图像的算术运算图像减去法处理图像减去法处理Image Arithmetic OperationsImage Subtraction),(),(),(yxhyxfyxg图像的算术运算图像的算术运算图像平均处理图像平均处理 Image Arithmetic OperationsImage Averaging),(),(),(yxyxfyxg有噪声有噪声的图像的图像原始原始图像图像噪声噪声每个坐标上的噪声都不相关每个坐标上的噪声都不相关,且均值为且均值为0。kiiyxgKyxg1),(1),(K 越多越多 噪声项就越趋于零噪声项就越趋于零
