1、第八章 现代控制理论能控性、能观测性一、线性系统能控性和能观性的概念二、线性定常系统的输出能控性三、线性定常连续系统的能观性四、线性定常连续系统的能观性1.正确理解定常系统可控性与可观 性的基本概念与判据。2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。3.掌握对偶原理，规范分解方法。重点内容：能控、能观的含义和定义。定常系统的能控、能观的各种判据。线性变换的不变性。研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否反映状态变量 能观性.含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态 例1: 给定系统的状态空间描述
2、:解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 终点完全能控. 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测. xyuxxxx60215004212.1.222.11.625 4xyuxxuxx1x2x2x1x例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.Licucu+-uLLi1R3R2R4R(1)当3241RRRR状态可控，可观测(2)当3241RRRRu只能控制，不可控，不可观测0cu Licu一、线性系统能控性和能观性的概念含义：能控性：u(t) x(t) 状态方程能观性：y(t) x(t) 输出方程1.定义：设若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意任意状态
3、转移到任意任意终态，则该系统完全完全能控能控BuAxx. 0ftt)(0tx)(ftx说明：任意初态(状态空间中任一点),零终态能控能控零初态零初态任意终态任意终态xtx)(0)(ftx0)(0txxtxf)(能达2. 定理1xAx Bu设11nncB ABA BnrankSrank B ABA Bnc状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：S的秩为即：例：判断能控性uxx111112310020231.321.xxxx21.uuu解：rank =23,不能控不能控442211442211452312 2BAABBSccS 对于：行数列数的情况下求秩时： rank =rankcSnnTccSS3.
4、定理2：若，若为对角型，则状态完全能控的充要条件为：中没有任意一行的元素全为零BuAxx.ubbbbbbbbbxxnpnnppnnn21222211121121.00ppubububxx1212111111ppubububxx2222121222例：线性系统的状态方程为其中：试判断该系统的能控性buAxx.2100A21bbb解：如果rank =2, 则必须要求 AbbSc)( 1221222111bbbbbbAbbSccS0, 021bb4.定理3：设，若为约当型约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零BuAxx.例：设系统的状态方程为其
5、中：试判断系统的能控性buAxx.2101A21bbb解：而b1是任意值，且rank =2则该系统能控 AbbSc0 222122111bbbbbbAbbSccS5.当的特征值 , ，且 则可以经过 将A化为约当型. 如下: 重根）11(重根）22(重根）ll(nl21xPxnnlJJJA0021pnlBBBB2112iiiiiiiJJJJpiiiiiiBBBB21ikikrriiiikJ11112iiiiirrr且由 的最后一行组成的矩阵：),2, 1(iikkB121,2,iriririribbBilb对均为行线性无关则系统能控例：设，已知BuAxx.1211122110101A00101
6、0001100010001000B0010101Br21 0 0rB行线性无关不全为零能控6.线性变换后系统的能控性不变设令则：其中：BuAxx. 1BAABBSnCxPx uBxAx.BPBAPPA11, 1BABABSnCCnnnncSrankBAABBrankBAABBPrankBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPrankSrank )()( 1111111111111系统的能控性不变系统的能控性不变1P满秩矩阵7.定理4：设如果系统能控，则则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：buAxx. 1BAABBSnCxPX1ubxAx.其中：1PAPApbb 13211
7、00001000010naaaaA1000b且：1111nAPAPPP111 10 0bAAbbPn证明：(由 推得 )PAPA1 PAPAnnnPPPaaaaAPPP2113212110000010000103212PAPAP21PAP1212nnnPAPAPnnnPAPAP1111111nAPAPPP11110001nPbPAbbPbPAb 100011bAAbbPn10 0 11bAAbbPn111 100 0 bAAbbPn例：求能控标准型uxx110111.解：rank Sc=2 能控1101 AbbSC11011CS1111011 01P101111APPP10111P则11101
8、PAPA10Pbb二、线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设: 定义:在 上,任意解出u(t),输出能控输出能控BuAxx.DuCxypqnRuRyRx,0ftt0)()(0ftyty2.定理：系统输出完全能控的充要条件：qDBCACABCBrankn 1例：判断系统是否输出能控解：rankCB CABD=rank1 -2 0=1=q 输出能控rankSc=rankb Ab=12 状态不能控uxx213214.xy01三、线性定常连续系统的能观性 在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都
9、能直接获取,但输入变量总是可以获取和测量的. 能观性能观性能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量0tft设线性定常连续系统状态空间表式：1. 定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的y x( ) 能观y x( ) 能检0t,0ftt确定确定BuAxx.DuCxy2.定理定理1：系统状态完全能观的充要条件：nSrankSrankT00 )( 10TnTTTTCACACSTnTCACACS 10证明：设00)()0( )( )( )tA t tA ttx tex teBud（dBueCtxCetytttAttA)()()(00)(0)(0)(tu0
10、0t)0()()()()0()()0()()0()()0()()0()(1110111010 xCACACItaItaItaxCAtaCAxtaCxtaxAtaCxCetynqnqqnnmnmmAt这里：是一个单位阵 要使y(t) x(0)q qqIR确定nrankSrankST00 3.定理2:若A为对角型，则系统完全能控能观的充要条件是：输出阵C中没有没有任何一列的元素全为零例：系统状态方程为ubbxx2121.00 xccy21TTTCACS 0)(12210ccS01c02c)(21系统能控能观则要求即rank =20S4.定理3：若A为约当型，则系统完全能观的充要条件是：C阵中与每个
11、约当块的第一列第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零如：能观ubbbxx321211.000001xccccccy232221131211112100cc 132300cc 例：设系统的状态方程为：判断系统的能观性解：ubbxx2121.01xccy2121121110 cccccCACSTTT210cS 2 0Srank能观01c5.约当型判据： 设A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ， buAxx.duCxyudxCyubxAx.xpx 1122llnl21lJJJA0021.nqlCCCC2112iiiiiiiJJJJ iqiliiiCCCC21li, 2 , 1ikikr
12、riikJ1121ikrqikikikikCCCC221ik, 2 , 1且要使系统完全能观，则由的第一列组成的矩阵： 对 均列线性无关列线性无关。iiiiirrr21), 2 , 1(iikkCiiiiiCCCC11121li, 2 , 16.定理定理4: 设 如果系统能观，但不是能观标准型，则存在 ，将原系统化为能观标准型：buAxx.Cxy (单输入单输出系统)xpxTxCyubxAx.其中1210100010001000naaaaATTTTAPAPbPbCCP其中：12110001nCC APC AC A1111nPPA PAP7.线性变换后系统能观性不变 设 令buAxx.DuCxy
13、)( 1T0TTnTTCACACSxPx xCyubxAx.APPA1BPB1CPCDD)( 1T0TTnTTCACACS01111110 )( )( )( )()()()( )(SrankCACACrankCACACPrankCAPCAPCPrankCPAPPCPAPPCPrankSrankTTnTTTTTnTTTTTTnTTTTTTTTnTTTTP 满秩矩阵4.7 对偶原理由第前面：对偶原理：o TTTCoCCoAABBCCCxyBuAxxS,:.1),(DCBAzBwvCzAzSTTT,:.2),(TTTTDBCA 其中: 与 互为对偶. qpnnnRvyRwuRARzx, , , 1S
14、2S1:SBAABBSnc112:S1201()() ()() )() TTTTTTTTnTTcSBABABS11()TTTTnTOSCA CAC:2S:1S121()TTTTnTcOSCA CACS12 SS能控能观能控能观21 SS:1S11( )()G sC SIAB:2S112( )()() TTTTTTG sB SIACBSIAC)()( 12sGsGT验证能控性: 设 不能控,则一定存在零极点对消. 01b1xbASI1)(1122111321212210()1001()()()()()()()()1nnnnnnnnssbSIAbsbsbssbsssssssbbs验证能观性: 设 不能观,则 一定存在零极点对消.01C1)( AsIC121210)(nnsssCCAsIC1xnnnnnnCssCsssssssCsCs)()()()(0 )()(01223211221例:解:能控型: 5 . 25 . 15 . 2) 1)(5 . 2(5 . 2)(2sssssssGuxx105 . 15 . 210.xy15 . 215 . 215 . 20CACST1 0TSrank不能观能观型:uxx15 . 25 . 115 . 20.xy102.52.5,111CcSBABrankS不能控不能控不能观:uxx015 . 2001.1 0yx不能控不能观2x
