1、返回物流管理定量分析方法线性方程组第二章资源合理配置的线性规划法n2.4.3 线性方程组n1 线性方程组的矩阵表示n2 用初等行变换解线性方程组消元法n3 用MATLAB软件解线性方程组本节重点本节重点：用初等行变换解线性方程组 消元法物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组2.4.1 线性方程组的矩阵表示引引 入入我们以前学过的方程组：3203yxyx“二元一次”方程组x，y是“未知数未知数”，也称为“元元”。未知数的次数都是1的方程，就称为 “线性方程线性方程”。物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组1、n元元线性方程组为：线性方程组为： .,22
2、112121212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数；个未知量第个方程：第jijxjia,.个方程的常数项：第jbjix未知数元 这里有m个方程，n个未知数.物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组2、齐次线性方程组：、齐次线性方程组： . 0, 0, 0221112121211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa如果常数项mbbb,21不全为0，则称为：非齐次线性方程组非齐次线性方程组。即，常数项mbbb,21全为0的方程组物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组, 12
3、2j211111mnmjmnnjaaaaaaaaaA3、方程组的、方程组的系数矩阵系数矩阵为：为：, 21122j211111mmnmjmnnjbbbaaaaaaaaaA对 做初等行变换，同时也是对A做变换。Amn矩阵“增广矩阵增广矩阵”物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组为称列矩阵： 21nxxxX未知量矩阵未知量矩阵为称列矩阵： 21mbbbB常数项矩阵常数项矩阵物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组4、方程组、方程组(*)的的矩阵形式矩阵形式：mnmjmnnjaaaaaaaaa 122j211111nxxx21mbbb21系数矩阵系数矩阵A未
4、知量矩阵未知量矩阵X常数项矩阵常数项矩阵bBAX 简记为：返回物流管理定量分析方法线性方程组例例1:写出下列线性方程组的系数矩阵系数矩阵、增广矩阵增广矩阵和矩阵形式矩阵形式. 343, 22, 1321321321xxxxxxxxx解：解： 系数矩阵系数矩阵是431211111A返回物流管理定量分析方法线性方程组343122111111A增广矩阵增广矩阵方程组的矩阵形式矩阵形式是AXB，即431211111321xxx321返回物流管理定量分析方法线性方程组例例2:写出下列线性方程组的系数矩阵系数矩阵、增广矩阵增广矩阵和矩阵形式矩阵形式. 343 , 22 , 1 2323121xxxxxx解
5、：解： 系数矩阵系数矩阵是430201021A30 x20 x10 x返回物流管理定量分析方法线性方程组343022011011A增广矩阵增广矩阵方程组的矩阵形式矩阵形式是AXB，即321430201011321xxx由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。返回物流管理定量分析方法线性方程组例例3：已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组303122011011A解：解：“常数项”1 21 xx22 31 xx3 321 xx物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组5、方程组的、方程组的解解：. , ,2211nncxcxcx方程组的
6、解解是满足方程组满足方程组的未知量的一组取值：）也可记为：（nccc,21例如：052902025321321321xxxxxxxxx显然，000321xxx就是它的一组解。物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组显然： 是齐次线性方程组齐次线性方程组 ）（0 , 0 , 0注意：方程组的解可能有惟一解惟一解，也可能 有无穷多组无穷多组，也可能是无解无解。 . 0, 0, 0221112121211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的一组解。称为0解解，或平凡解平凡解。否则称为非零解非零解。物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线
7、性方程组2.4.2 用初等行变换解线性方程组消元法基本思想基本思想：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，将其化为行简化阶梯形矩阵；再写出线性方程组的解。物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组回忆回忆：“行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵”若阶梯形矩阵还满足下两个条件：(1)各个非非0行行的第一个不为0的元素(首非首非0元元) 都是都是1；(2)所有首非首非0元所在列元所在列的其余元素都是都是0.310001010000021如：000003021012101返回物流管理定量分析方法线性方程组例例4：解线性方程组：. 3529, 42, 225321321321xxxxxx
8、xxx解：解：352941122215A+(-2)+(-4)1312141126011第一步第一步，写出增广矩阵 ，并用初等 行变换变为阶梯矩阵阶梯矩阵；A物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组+(-2)+(-1)7110161306011(,)1613071106011+3540071106011第二步第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为 行简化阶梯行简化阶梯形矩阵形矩阵；阶梯形矩阵物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组451007110601141(-1)+451004230106011+4510042301041001行简化阶梯行简化阶梯形矩阵
9、形矩阵物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组所以方程组化简为：4500,42300,4100321xxx45,423,41321xxx即方程组的解为：第三步第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的一般解。物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组用初等行变换解线性方程组的步骤：第一步第一步，写出增广矩阵 ，并用初等 行变换变为阶梯矩阵阶梯矩阵；第二步第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为 行简化阶梯形矩阵行简化阶梯形矩阵；第三步第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的解。 A例3的解是惟一的，下面例4的解则是无穷多组。返回物流管理定
10、量分析方法线性方程组例例5：解线性方程组：. 6754, 34, 5 3, 05232132121321xxxxxxxxxxx解：解： 对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即6754341150310512A(,)6754341105125031物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组+(-2)+(-4)1477084401055050315141712110211021105031物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组+(-1)+(-1)0000000021105031 +(-3) 0000000021101301其中，首非零元对应的
11、未知量称为非自由非自由未知量未知量，除此之外的未知量称为自由未知量自由未知量行简化阶行简化阶梯形矩阵梯形矩阵出现“零行零行”物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组所以方程组化简为：. 2 , 13 3231xxxx2133231xxxx.3是自由未知量其中x将自由未知量移至等号的右边，非自由未知量留在等号的左边，这样表示的解，称为线性方程组的一般解一般解，即：因为 可以任意取值，所以原方程组有无穷多组解。3x返回物流管理定量分析方法线性方程组例6：练习2.4 题11 P74求方程组的解。0000001251001831203536121已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初
12、等行变换化为阶梯形矩阵：物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组解：解：对系数矩阵进行初等行变换，将其进一步化成行简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵，即+(-1)00000012510018312035361210000001251002620203451021+(-1)物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组0000001251002620203211001 21000000125100131010321100154,xx其中，是自由未知量物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组1251332543542541xxxxxxxxx写成方程组
13、的形式为：所以，方程组的解为：5435425412513132xxxxxxxxx54,xx其中，是自由未知量物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组解齐次线性方程组解齐次线性方程组r一般方法是：一般方法是： m(1) 写出齐次线性方程组的系数矩阵写出齐次线性方程组的系数矩阵A；m(2) 对对A施行初等行变换，使施行初等行变换，使A化为行简化化为行简化阶梯形矩阵；阶梯形矩阵； m(3) 在行简化阶梯形矩阵中，在行简化阶梯形矩阵中，当非零行行当非零行行数未知量个数数未知量个数时，齐次线性方程组只有时，齐次线性方程组只有零解零解x1x2xn0；当；当非零行行数非零行行数未知量个数
14、未知量个数时，齐次线性方程组有非零解，时，齐次线性方程组有非零解，可由行简化阶梯形矩阵写出一般解。可由行简化阶梯形矩阵写出一般解。 物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组例例7：求线性方程组：. 032, 0382, 03214321321xxxxxxxxxx解：解：的一般解。对系数矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即013238120111A+(-2)+(-2)031036300111物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组31031012100111+(-1)110012100111 (-1)110012100111+(-1)+2110
15、030101011+(-1)物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组110030104001所以方程组化简为：. 0, 03, 04433241xxxxxx.,3,4434241xxxxxx即：.4是自由未知量其中x物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组练习：形成性考核册P11 题6例例6：解齐次线性方程组：3440 143243214321xxxxxxxxxxx解：解：先写出增广矩阵，344100112311111A对其做初等行变换+(-3)344103441011111物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组+000003441
16、0111111000003441011111+(-1)000003441023301物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组这个矩阵对应的方程组为 :344233432431xxxxxx从而得到方程组的一般解为： 344233432431xxxxxx.,43是自由未知量其中xx物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组练习：形成性考核册P11 题7例例7：解齐次线性方程组：05830352023321321321xxxxxxxxx解：解：先写出系数矩阵，583352231A对其做初等行变换+(-2)+(-3)110110231物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组+(-1)110110231000110231阶梯形矩阵+3000110101将其还原为方程组：003231xxxx即：3231xxxx未知量为自由3x物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法线性方程组线性方程组2.4.3 用用MATLAB软件解线性方程组软件解线性方程组设线性方程组为：AX=B在Matlab软件中，用DA B来表示增广矩阵，对其做初等行变换的命令：)(Drref表示对矩阵D做初等行变换，并将其化为行简化阶梯形矩阵。
