1、线 性 代 数 综 合练 习 题（三）1感谢你的观看2019年5月19日一、填空题：000010000ababcdcd、 D=；解解：把行列式按第一列展开00000000abbDa cdc abdcd2感谢你的观看2019年5月19日第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，ababadcbcdcd2()adcb2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则*()R A；解解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶子式，故 为零矩阵，所以 0。*()R A*A*A3感谢你的观看2019年5月19日3、设向量组 的秩为2，则t= ; 3(1,3,
2、 ) t1(1, 2,3),2(1,1,1),解解： 对下面矩阵施行初等行变换1 1 11 111 112 1 3 011 0113 10230 05Attt 因为123, 的秩为2，所以A的秩也为2，故5t 4感谢你的观看2019年5月19日4、已知n 阶可逆阵A的任意行和等于2，则 的一个特征值为 ；212AA解解：因为A的任意行和为2，所以1112121222121111211nnnnnnaaaaaaaaa 即2为A的一个特征值，111Tx 为对应的特征向量，21(2)AAx212A xA x45xxx所以5为 的一个特征值 。 212AA5感谢你的观看2019年5月19日5、设A，B均
3、为n阶方阵，且2,4,AB 则*1020AB。解解：*22*1110022200nnAAA BBB11221332122 222nnn nnAB332n所以答案为6感谢你的观看2019年5月19日二、选择题 1. 设 线性相关 12, 23,线性无关,则正确的结论是线性无关123.,B 线性表示123.,C 可由答: 正确的结论为C.线性相关123.,A 线性表示12.,D 可由7感谢你的观看2019年5月19日2、设222123122322fxxxx xtx x为正定二次型，则 t 的取值范围解解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即2221011001tt
4、A ( )2a tt 2;(b)t2；(c)-2t2;(d)-2t2.解得-2tn时 ,必 有 AB =0；( )amnAB当时，必有0；mnAB(c)当时，必有0；mnAB(d)当时，必有=0.解解：因为AB为m阶方阵，当 时，有 mn0AB所以选(b).,nmR(AB) R(A)9感谢你的观看2019年5月19日4、A为n阶方阵，则 必为 TA A(a) 正交阵； (b) 对称阵; (c) 可逆阵； (d) 正定阵。解解：()TTTA AA A所以 为对称矩阵。 TAA10感谢你的观看2019年5月19日5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是(a) ACB=E; (b)
5、 CBA=E; (c) BAC=E; (d) BCA=E.解解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的逆矩阵为BC，因此有BCA=E，故选(d).11感谢你的观看2019年5月19日解解：因为A为正交矩阵，所以有1,TTAAA AE即1,TAA2TTTAAA AA AA211.AA 故选(d). 6、已知A为正交矩阵，则 为A(a) 1 ; (b) -1; (c) 0 ; (d) 1 或 1。12感谢你的观看2019年5月19日1. 设三阶矩阵22332,3AB23, , 其中 均为三维行向量.且18,2,AB求解解:222333222A B223312233三，计算下面各题：AB13感谢你的观看
6、2019年5月19日2、验证1(2,0,0);23(0,1, 1);(5,6,0)是 的一个基， 3R并将 用该基线性表示。(1,8,2)1231182 223AB 123, 112233kkk解解： 因为 是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵 A与单位矩阵E等价，而 由它们线行表示，就是求方程组 的解 ，因此对矩阵123()(,)BA 14感谢你的观看2019年5月19日205101680102B51221001680066100201020011施行初等行变换15感谢你的观看2019年5月19日12322 所以 线性无关，123,即为 的一个基，且 由 3
7、R123,线性表示为3、四元非齐次线性方程组AX=b,且 R(A)=2,已知123,是它的三个解向量，求其通解。其中122313232450,10061116感谢你的观看2019年5月19日解解：由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且 R(A)=2,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量，123,为AX=b的解，*1212121()23为AX=b的一个特解，17感谢你的观看2019年5月19日113212111 5 ,15 0 0TT 为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为*1122X (其中 为任意实数) 12, 18感谢你的观
8、看2019年5月19日4、设二阶方阵A满足11001PAP求An。解解：由已知得111010010 ( 1)nnAPPAPP19感谢你的观看2019年5月19日5、设向量组A：12(1,0,2,1),(1,2,0,1)34(2,1,3,0),(2,5,1,4)5(1, 1,3, 1),求：秩12345,及一个极大无关组(写出计算过程)。11221021512031311041A11221021510215100222解解：由 为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换，12345, 20感谢你的观看2019年5月19日11221021510000000111所以，秩 为3，12345, 112210
9、21510011100000123,为一个极大无关组。21感谢你的观看2019年5月19日四、设线性方程组123123412343423213224xxxxxxxxxxx 判断其相容性，若相容，求出其所有解。解解：对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换134023211131224B13402 0711170 10142 1022感谢你的观看2019年5月19日13402 071117011111013100480011111013110011 01111 01031001200012023感谢你的观看2019年5月19日可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为14243
10、41312xxxxxx取 为自由未知量，得方程组的所有解为4x12341312xcxcxcxc(其中 c 为任意实数)。24感谢你的观看2019年5月19日五、设方阵204060402A问：A是否可以对角化，若 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使 即A能对角化；1P AP 解特征方程 得A的 特征值， 0AE1236,2 25感谢你的观看2019年5月19日当 时，解方程组126(6 )0AE X即1234 04000004040 xxx 得基础解系的解向量为12010,101TT它们已经正交，只需单位化取1122110 1 0 ,
11、1 0 122TTpp26感谢你的观看2019年5月19日当 时，解方程组 32 (2 )0AE X即123404008004040 xxx得基础解系的解向量为3101T 单位化得331110122Tp以323,ppp为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵，易证1662P AP其中1122112201000P27感谢你的观看2019年5月19日六、设二次型222123232334fxxxx x用正交变换法将其化为标准形,并写出所用的正交变换。解解：二次型矩阵为200032023A解A的特征多项式2000320023AE28感谢你的观看2019年5月19日即(1)(2)(5)0解得A的特征值为12
12、31,2,5当 时，解方程组11123100002200220 xxx得基础解系1011T单位化得112011Tp 29感谢你的观看2019年5月19日当 时，解方程组221230000(2 )01200210 xAE Xxx 得基础解系221 0 0Tp当 时，解方程组351233000(5 )02200220 xAExx 得基础解系30 1 1T单位化得1320 1 1Tp 30感谢你的观看2019年5月19日由 为列作正交矩阵123,ppp1122112201000P 易验证1125P AP 所以二次型经正交变换X=PY 化为标准形22212325fyyy31感谢你的观看2019年5月19日所用的正交变换为1112221132201000yXPYyy若进一步地令 用正交变换把其化为标准形，并确定k为何值时，B为正定阵，则由2()BkEA2()BkEA1P AP 得1AP P所以221()()kEAP kEP有即有正交变换X=PY使1122()()P BPPkE A PkE32感谢你的观看2019年5月19日12222()(1)(2)(5)P BPkEkkk当 时，B为正定阵。1,2,5kkk 33感谢你的观看2019年5月19日完34感谢你的观看2019年5月19日
