1、5-1 5-1 刚体的基本运动刚体的基本运动一、刚体一、刚体在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因而可以瞬时传递力。而可以瞬时传递力。即：质元间保持不变的质点系，称即：质元间保持不变的质点系，称“不变质点不变质点系系” 。刚体是个理想化的模型。刚体是个理想化的模型。CA B Ft t + t 才才感受到力感受到力二、刚体的运动形式二、刚体的运动形式 * *刚体上所有质元都刚体上所有质元都沿平行路径运动沿平行路径运动, ,各各个时刻的相对位置都个时刻的相对位置都彼此固定。彼此固定。1.1.平动平动* *可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。可用质心
2、或任一点的运动来代表刚体的运动。* *平动是刚体的基本运动形式之一。平动是刚体的基本运动形式之一。ABCABCABC2.2.转动转动* *转动也是刚体的基本运动形转动也是刚体的基本运动形式之一，可分为式之一，可分为定轴转动定轴转动和和定点转动。定点转动。定轴转动：运动中各质元均定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。一条固定的直线（转轴）上。定点转动：运动中刚体上只定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。过该定点的某一瞬时轴线转动。3.3.一般运动一般运动可分解为两种刚
3、体的基本运动可分解为两种刚体的基本运动：随随基点基点O O（可任选）的可任选）的平动；平动；绕通过基点绕通过基点O O 的瞬时轴的的瞬时轴的定点转动。定点转动。1.1.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；三、定轴转动的刚体特点三、定轴转动的刚体特点2.2.各圆周轨道均垂直与转轴，称：转动平面；圆各圆周轨道均垂直与转轴，称：转动平面；圆心即为转心。心即为转心。3.3.各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。四、角速度矢量四、角速度矢量方向：方向：沿瞬时轴，与转向成沿瞬时轴，与转向成右螺旋关系。右螺旋关系。2.
4、2.线速度与角速度的关系：线速度与角速度的关系：1.1.角速度矢量角速度矢量 的规定：的规定：大小大小ddt转向转向 vrrP 基点基点O O瞬时轴瞬时轴刚体刚体vrr5-2 5-2 力矩力矩 转动定律转动定律一、一、力矩力矩MrFFM rOm r0 rO MFF1.1.力对定点力对定点O 的力矩的力矩2.2.力偶矩力偶矩0MrF sinr F其中：其中： 称称力臂力臂0rr sin或：或：MrF二、转动定律二、转动定律ozrivim对质元对质元iiiiidvFFmdt 外内ii iiiFFmamr外内对刚体（质点系）：对刚体（质点系）：2()iii iiiFrFrmr外内令：令：2zi ii
5、JmrzzzdMJJdt-刚体定轴转动的微分方程刚体定轴转动的微分方程三、转动惯量三、转动惯量1.1.刚体对刚体对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量2zi iiJmr若质量离散分布若质量离散分布: :若质量连续分布若质量连续分布: :2zJr dm y rix z yi xi mi 平行轴定理：平行轴定理： y rix z mi 2cJJmddC例例1 1：质量为：质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动惯的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：解：222mRdmRdmRIdm例题例题 求求: :长为长为L L、质量为质量为m的均匀细棒对图中不的均
6、匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标解：取如图坐标2222112LLCJxdxmL22013LAJxdxmLdmdx 例题：质量为例题：质量为m，半径为，半径为R，厚度为厚度为h，均匀圆均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取高度为解：取高度为h h，半径为，半径为r，宽为宽为dr的薄圆环；圆盘的质量体密度的薄圆环；圆盘的质量体密度为为2dmrhdr232dJr dmhr dr340122RJdJhr drhR2mR hRrdr212m R 求求: :内半径为内半径为R1 1，外半径为，外半
7、径为R2 2，厚度为，厚度为h h，质量，质量为为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量oo22212()mdmrdrRR21222212d()RRmJrr rRR22211()2m RR2R1Rr 求：质量为求：质量为m半径为半径为R的匀质薄球壳绕过中的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量心轴的转动惯量 sinR d解解: :在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径rRsin224mdmrRdR2Jr dm23202sinmRd 223mR 求：质量为求：质量为m半径为半径为R的匀质球体绕过球心的匀质球体绕过球心轴的转动惯量轴的转动惯量MR解解: :把球体看作无
8、数个同心薄球壳的组合把球体看作无数个同心薄球壳的组合 32443mdmr drR233mr drR223JdJr dm4302Rmr drR225mR* *刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律的应用：转动定律的应用：dMJJdt外基本方法和步骤：基本方法和步骤：3.3. 根据初始条件解方程，求未知量。根据初始条件解方程，求未知量。1.1.分析物体受力，确定外力矩；分析物体受力，确定外力矩；2.2.利用转动定律写出运动微分方程；利用转动定律写出运动微分方程；例例1.如图如图,细杆长细杆长l, 质量质量m , 静止在竖直位置，静止在竖直位置，求转到求转到 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速
9、度.MG =(mglsin)/2由转动定律由转动定律pNO =I=(ml2/3) =3gsin/(2l)=d/dt =(d/d)(d/dt) =d/dd=dd= 3gsin/(2l)d 00=3g(1cos)/l1/2=3gsin/(2l)d解解:细杆受力如图细杆受力如图, N 对转轴对转轴O的力矩为零的力矩为零.例题例题 一根轻绳跨过一个半径为一根轻绳跨过一个半径为r，质量为，质量为M的的定滑轮，绳的两端分别系有质量为定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1 1和和m2 2的物的物体体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮
10、转摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加速度和绳的张力。动的角加速度和绳的张力。m2 2m1 1Mm2 2m1 1Mm1 1g gT1 1am2 2g gT2 2aT2 2T1 1解：分别对物体和滑轮进行解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图受力分析，如图对对m2 2111m gTm a222Tm gm a对对定滑轮定滑轮对对m1 121212rTrTMr且有且有ar联立方程，可得联立方程，可得1212()()2mm gMmmr1212()2mm gaMmm121112(2)22Mm mmgTMmm122212(2)22Mm mmgTMmm刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律
11、MJ外滑轮刚体相关问题的求解步骤：滑轮刚体相关问题的求解步骤：4.4.求解联立方程。求解联立方程。1.1.分析物体受力，确定外力矩；分析物体受力，确定外力矩；2.2.列出转动定律和牛顿定律方程；列出转动定律和牛顿定律方程；3.3.列出线量和角量之间的关系式；列出线量和角量之间的关系式；例题例题 图示物体质量分别为图示物体质量分别为mA 和和mB ，圆柱形圆柱形滑轮质量为滑轮质量为mc ，半径为半径为R，不计桌面和轮轴摩不计桌面和轮轴摩擦力。求：两物体的加速度和绳的张力；擦力。求：两物体的加速度和绳的张力；物体物体B B从静止落下距离从静止落下距离y y时，其速率为多少时，其速率为多少？AmCm
12、BmBm g2TBmAm g1TNAm解：分别对物体和滑轮进解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图行受力分析，如图物体物体A1ATm a物体物体 B2BBm gTm a对对定滑轮定滑轮C22112RTRTMR又又aR2Tcm g1TCF联立方程，可得联立方程，可得12BABCmagmmm112ABABCm mTgmmm21()212ACBABCmmmTgmmm2212BABCm gyvaymmm习题：如图习题：如图,组合轮由半径各为组合轮由半径各为R1,R2,质量各质量各为为M1,M2,的二均匀圆盘同轴固结而成的二均匀圆盘同轴固结而成,可绕可绕水平固定轴自由转动水平固定轴自由转动.今在两盘上各
13、绕细绳今在两盘上各绕细绳, 绳两端绳两端各挂各挂质量质量m1 ,m2 二物体二物体.m1m2求重力使求重力使m2下落时轮的角加速度下落时轮的角加速度. m1, m2 及定滑轮切向受力如及定滑轮切向受力如图图, 以运动方向为坐标正向以运动方向为坐标正向. m2gT2=m2a2T1m1g=m1a1T2R2T1R1=J=a1/R1=a2/R2J=M1R12/2+M2R22/2解解:解得解得=2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R222(m2R2m1R1)gm1m2T1m1gT2m2gT2T13-5 3-5 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理一、一、刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动
14、能把刚体看作无限多质元构成的质点系。把刚体看作无限多质元构成的质点系。2221122kiii iEmvmr212kEJ二、力矩的功二、力矩的功 设刚体定轴转动中，刚体设刚体定轴转动中，刚体质元质元i在切向力在切向力 的作用下，的作用下，绕轴转过绕轴转过 dFiiiiiidAF drF dsF rd即即iidAM d对整个刚体：对整个刚体：2211()iiAAM dMd odrFz21iiiAdAM d三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：刚体定轴转动的动能定理：* *合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功等于该刚体转动动能
15、的增量。体转动动能的增量。221122211122AMdJ dJJ ddAMdJdJ ddt 22211122JJ22211122Amvmv例题例题 图示物体质量分别为图示物体质量分别为mA 和和mB ，圆柱形圆柱形滑轮质量为滑轮质量为mc ，半径为半径为R，不计桌面和轮轴摩不计桌面和轮轴摩擦力。求：两物体的加速度和绳的张力；擦力。求：两物体的加速度和绳的张力；物体物体B B从静止落下距离从静止落下距离y y时，其速率为多少时，其速率为多少？AmCmBm2212BABCm gyvaymmm联立解运动微分方程，可得联立解运动微分方程，可得a aAmCmBm222111222ABm vm vJmg
16、h解解: :根据机械能守恒，可得根据机械能守恒，可得21,2v= RJmR其中：212BABCm gyvmmm可直接求出可直接求出1.1.质点质点m对惯性系中的固对惯性系中的固定点定点O 的角动量为：的角动量为：一、一、角动量角动量（动量矩）（动量矩）5-4 5-4 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律 LmO pr ()Lrprmv Lrpsinrmvsin大小大小：方向：方向：rp v ，（ ）决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）LRv mO * *质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向 圆平面圆平面不变。不变。 *
17、*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同，同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同，其角动量也会不同。其角动量也会不同。0omLrmv0Llmv方向变化方向变化o moLrmvsinoLlmv方向竖直向上，不变方向竖直向上，不变Ol vO 锥摆锥摆mLRmv2.2.刚体对固定转动的角动量：刚体对固定转动的角动量：对质元对质元i对刚体（质点系）对刚体（质点系）()iiiiiiLrprmv()iiiiiiLLrmv22()i ii iiiLmrmr pro转动平面转动平面zJ二、质点角动量定理和角动量守恒定律二、质点角动量定理和角动量守恒定律Lrp上式两边对时间求导：上式两边对时间求导：()dL
18、drpdtdtdrdpprdtdt rF1.1.质点角动量定理质点角动量定理: :dLMdt微分形式：微分形式：dLMdt或：或：2121ttM dtLL21ttMdt其中：其中： 称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用力矩对时间的积累作用积分形式：积分形式：gm例题例题 锥摆的角动量锥摆的角动量0 Trom）（mglgmrom sin Trgmrmomo 0 ）（gmrTrmomo对对O O点点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O O 点点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。Ol vO 锥摆锥摆mT例题例题 如图所示，小球如图所示，
19、小球m沿半径为沿半径为R的圆环轨道由的圆环轨道由A静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点B（与与A夹角为夹角为 ）时对环心的角动量和角速度。）时对环心的角动量和角速度。OABRmgTv解：小球受力如图，对环心解：小球受力如图，对环心O OOABRcosMRmgdLMdt由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosdLRmgdt其中其中 和和 的方向相同。的方向相同。MLcosdLdRmgdddt ：两边乘两边乘2LmR对圆周运动2cosLRmgddLdLmR 则：200cosLLRmgddLmR 积分：232sinm gR可得：L=22 sinLgmRR 0 0
20、dLMdt若，则L 即：常矢量2.2.质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。在高速低速范围均适用。 0M 0F FO过 点：有心力例：（行星运动的开普勒第二定律）例：（行星运动的开普勒第二定律）在太阳系中在太阳系中任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内扫过任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内扫过的面积相等，即掠面速度不变。的面积相等，即掠面速度不变。rLv S mLmv rsin解：天体受万有引力作用，解
21、：天体受万有引力作用，对力心角动量守恒。对力心角动量守恒。0012ttrv tsindSSlimlimdttt 常量常量三、刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律三、刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律iidLdLdtdt（） ）（内内外外iiiMM iidLdt1.1.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理iidLMdt对质点对质点i整个刚体整个刚体刚体刚体vi, , 定轴定轴zmiriFi0)( ijijiiiifrMM内内内内 dLMdt外iiiiiFrMM 外外外外由于：由于：-刚体的角动量定理刚体的角动量定理微分形式：微分形式：zzMJ 外积分形式积分形式：21212211t
22、tM dtLLJ JzzdLMdt0zzML当：时，常矢量2211J J * *守恒定律中涉及守恒定律中涉及的外力矩、转动惯的外力矩、转动惯量和角动量都是对量和角动量都是对同一转轴同一转轴而言的。而言的。例题例题 一长为一长为l的轻质杆端部固结一小球的轻质杆端部固结一小球m1 1, ,另另一小球一小球m2 2以水平速度以水平速度v0 0碰杆中部并与杆粘合。碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度求：碰撞后杆的角速度。lm1Ov0m2 碰撞时重力和轴的作用力都通过碰撞时重力和轴的作用力都通过O，对对O力矩为零，故角动量守恒。则力矩为零，故角动量守恒。则2 012222lllm vlm lm021
23、224vmmml解：选解：选m1 1（含杆）含杆）+ + m2 2为系统为系统解得：解得：lm1Ov0m2 ABAB A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：度分别为： 。已知已知A A圆盘半径圆盘半径RA=0.2=0.2m, , 质量质量mA=2=2kg, , B圆盘的半圆盘的半径径R RB=0.1=0.1m, , 质量质量mB=4=4kg。试求两圆盘对心衔试求两圆盘对心衔接后的角速度接后的角速度1150,200ABrad srad s例题例题解：以两圆盘为系统，系统角动量守恒解：以两圆盘为系统，系统角动量守恒2222AAABBBAABBm Rm Rm R
24、m R212AAAJm R其中：212BBBJm R()AABBABJJJJABAB1100rad sMmRr例题例题. 半径半径R, 质量质量M的均匀水的均匀水平转台可绕中心轴自由平转台可绕中心轴自由转动转动,开始时静止开始时静止.今有质量今有质量m的玩具汽车静止开始在转的玩具汽车静止开始在转台上作半径台上作半径r(rR)的圆运动的圆运动, 求汽车相对转台走一周时求汽车相对转台走一周时,转台转过的角度转台转过的角度. . 小车与转盘受重力与轴的支撑力小车与转盘受重力与轴的支撑力 都平都平 行转轴行转轴,力矩力矩 在轴方向上无在轴方向上无 分量分量,故小车与转盘系统对转轴角动量守故小车与转盘系
25、统对转轴角动量守恒恒. 用角标用角标0,1,2分别表示地分别表示地, 转盘和小车转盘和小车,设设u=v21, 有有解解: :20=21+10mv20r+J10=0mr2(21+10)+(1/2)MR210=0MmRr例题例题. 半径半径R, 质量质量M的均匀水的均匀水平转台可绕中心轴自由平转台可绕中心轴自由转动转动,开始时静止开始时静止.今有质量今有质量m的玩具汽车静止开始在转的玩具汽车静止开始在转台上作半径台上作半径r(rR)的圆运动的圆运动, 求汽车相对转台走一周时求汽车相对转台走一周时,转台转过的角度转台转过的角度. .解解: :mr2(21+10)+(1/2)MR210=0 mr221
26、+(mr2+MR2/2)10=0 mru+(mr2+MR2/2)10=010= mru/(mr2+MR2/2)= mru/(mr2+MR2/2)dtt0MmRr例题例题. 半径半径R, 质量质量M的均匀水的均匀水平转台可绕中心轴自由平转台可绕中心轴自由转动转动,开始时静止开始时静止.今有质量今有质量m的玩具汽车静止开始在转的玩具汽车静止开始在转台上作半径台上作半径r(rR)的圆运动的圆运动, 求汽车相对转台走一周时求汽车相对转台走一周时,转台转过的角度转台转过的角度. .解解: := mru/(mr2+MR2/2)dtt0= mr/(mr2+MR2/2)= mr/(mr2+MR2/2)2r=
27、2/1+MR2/(2mr2) 负号表示转盘转过的角度与负号表示转盘转过的角度与小车运动方向相反小车运动方向相反t0udt 杂技演员杂技演员M、N质量均为质量均为m; ;均匀的细跷板长均匀的细跷板长为为l，质量为质量为m, ,支撑于中点支撑于中点O, ,若演员若演员M从高从高h自自由下落与板作完全非弹性碰撞，求演员由下落与板作完全非弹性碰撞，求演员N可上升可上升的最大高度。的最大高度。例题例题c2lhNM解：演员解：演员M、N和跷板为系统，转轴通过和跷板为系统，转轴通过O点，演点，演员员M与跷板碰撞过程中系统角动量守恒。与跷板碰撞过程中系统角动量守恒。碰撞前碰撞前2Mvgh12MlLmvc2lh
28、NM碰撞后碰撞后222llLJmumu2lu由角动量守恒由角动量守恒: :2122MlmvJml解得解得62(6 )mghmm l故演员故演员N达到高度达到高度22326umhhgmm 2112Jml其中其中例题例题 长为长为l，质量为质量为M的棒可绕点的棒可绕点O自由转动，一自由转动，一质量质量m, ,速度为速度为v子弹水平射入距离子弹水平射入距离O点为点为a处，使棒处，使棒最大偏转为最大偏转为 ，求子弹的速度大小。，求子弹的速度大小。mMavo o解：取子弹、棒作为系统，在子弹射入棒的过解：取子弹、棒作为系统，在子弹射入棒的过程中系统的角动量守恒。程中系统的角动量守恒。mMavo o2213amvMlma子弹射入后，棒与子弹一起运动到最大偏角子弹射入后，棒与子弹一起运动到最大偏角 ，该过程系统机械能守恒。该过程系统机械能守恒。2221 11 cos1 cos2 32lMlmamgaMg22123236gvMlmaMlmama
