1、介介 绍绍 振动与波动是密切联系的物理现象。振动振动与波动是密切联系的物理现象。振动是产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。是产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范过去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴，实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电畴，实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介磁学、光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传播形成机械波，电磁振动在空间的传质中的传播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁波。虽然机械振动和机械波与电磁播形成电磁波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波在本质上有所不同，但
2、它们的变振动和电磁波在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和化规律是类似的。因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律，但这些规律的意义绝不局机械波的基本规律，但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光学、量子力学乃至整个限于力学，它是研究光学、量子力学乃至整个物理学的基础。物理学的基础。重点重点 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程 简谐振动的周期和频率简谐振动的周期和频率 简谐振动的速度、加速度及相位简谐振动的速度、加速度及相位 旋转矢量法旋转矢量法 简谐振动的能量简谐振动的能量一、简谐振动一、简谐振动1. 1. 简谐振动的定义简谐振动的定义物体在与其平衡位置的位
3、移成物体在与其平衡位置的位移成反比的线性回复力作用下所作反比的线性回复力作用下所作的等幅振动称的等幅振动称简谐振动简谐振动。典型。典型的简谐振动是弹簧振子的运动。的简谐振动是弹簧振子的运动。在弹簧振子中，振动的物体受在弹簧振子中，振动的物体受到弹性力的作用，弹性力服从到弹性力的作用，弹性力服从胡克定律。胡克定律。kxF k k为弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数最简单、最基本的振动是最简单、最基本的振动是简谐运动简谐运动，任意复杂的振动可分，任意复杂的振动可分解为若干个简谐振动的合成。解为若干个简谐振动的合成。mFX X0 0 x xk任一物理量在某一值附近往复变化称为任一物理量在某一值附近往复变
4、化称为振动振动。物体围绕固定位置所作的往复运动称物体围绕固定位置所作的往复运动称机械振动机械振动。一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等都属此类。动等都属此类。kl0 xmoAA动画动画1 1：垂直振动的弹簧振子垂直振动的弹簧振子动画动画2 2：简谐振动中力与位移的正比关系简谐振动中力与位移的正比关系0dd222xtxmk 2.2.简谐振动的数学模型简谐振动的数学模型maF mkxtxa22ddkxF角频率（角频率（angular angular frequencyfrequency）周期周期xa2简谐振动的运简谐振动的运动学特
5、征动学特征(1)(1)模型的解模型的解位移与时间的关系位移与时间的关系)cos( tAx做简谐振动的物体，其位移是时间的余弦函数，做简谐振动的物体，其位移是时间的余弦函数，也可以说，位移是时间的余弦函数的运动为简也可以说，位移是时间的余弦函数的运动为简谐振动。谐振动。讨论讨论A A， 是积分常数，是积分常数，A A为振幅，为振幅，为初相位为初相位21T)(cos)cos(TtAtA2T振幅（振幅（amplitude) amplitude) A A: : 振动物体离开平衡位置的最大振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。位移（或角位移）的绝对值。周期周期(period)(period
6、)T T: :物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。频率（频率（frequency)frequency) : :单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。22T角频率角频率(angular frequency)(angular frequency) : :相位相位(phase) (phase) 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态t : : 初相位（初相位（initial phase initial phase ）)cos( tAx讨论讨论sin()cos()2mdxvAtvtdt )cos()cos(2 tatAdtdvam(2).(2).振动物体的速度和加速
7、度振动物体的速度和加速度AvmAam2tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooTT( (3)3)位移、速度和加速位移、速度和加速度的函数曲线度的函数曲线)0( )2cos(tmvv)cos(taam讨论讨论) cos()(tAtx)cos(2tAa)sin(tAv t tx xO OA A-A-A= = 2 2 (4)(4)相位相位)cos( tAx是振动物体是振动物体t t 时刻的相位时刻的相位)(t相位的意义相位的意义: : 相位确定了振动的状态相位确定了振动的状态. .相位每改变相位每改变 2 2 振动重复一次振动重复一次讨论讨论( (5)5)振幅和初相位的确定振幅和
8、初相位的确定如果我们知道以下初始条件如果我们知道以下初始条件: : sin ,cos00AvAx0002020arctan,xvxvxA讨论讨论)cos( tAx( (6) 6) 振动的能量振动的能量221kAEEEpk 简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线kEpExEBCAApExO振动系统地总能量保持不变振动系统地总能量保持不变讨论讨论sin()vAt )cos( tAx（7 7）谐振动表示的）谐振动表示的旋转矢量法旋转矢量法矢量矢量A A 以匀角以匀角速度绕原点速度绕原点O O旋转时，旋转时，A A 在在x x轴上的投影轴上的投影的变化规律与的变化规律与简谐振动相同简谐振动相同. .因此因此
9、, ,可以用可以用旋转矢量来表旋转矢量来表示简谐振动。示简谐振动。 xoAcos0Ax 当当 时时0t0 x讨论讨论)cos( tAx旋转矢量的端点在旋转矢量的端点在x x轴上的投影点的运动为简谐运动轴上的投影点的运动为简谐运动. .xoAtt t)cos(tAx时时)cos(tAx旋转矢量的端点在旋转矢量的端点在x x轴上的投影点的运动为简谐运动轴上的投影点的运动为简谐运动动画：动画：位移、位移、速度、加速度速度、加速度的旋转矢量法的旋转矢量法动画：动画：不同相不同相位的简谐振动位的简谐振动例例 一个物体做简谐振动，振幅为一个物体做简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为，振动周期为4s。开始
10、。开始 时物体在时物体在 处向负方向运动，试写出该物体的振动处向负方向运动，试写出该物体的振动 方程，并求出方程，并求出t=1s时物体的位移、速度和加速度。时物体的位移、速度和加速度。mx12. 000.12 0.24-0.12-0.24 mx0v解解： 由题意可知，振幅由题意可知，振幅mA24. 0角频率角频率sradT/2422, , 时,时,12. 000 xt带入简谐振动方程带入简谐振动方程cos24. 012. 0解得解得321cos , ,3sin00 ，故只能取，故只能取 为负值，根据为负值，根据因为因为Avv该物体的振动方程为该物体的振动方程为 mtx32cos24. 0 mx
11、0A330v思考题思考题8-7 8-7 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？如何变化？8-3 8-3 下列表述是否正确，为什么？（下列表述是否正确，为什么？（1 1）若物体受到一）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然做振动，但个总是指向平衡位置的合力，则物体必然做振动，但不一定是简谐振动；（不一定是简谐振动；（2 2）简谐振动过程是能量守恒的）简谐振动过程是能量守恒的过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。过程，因此，凡是能量守恒
12、的过程就是简谐振动。3 3 简谐振动的合成简谐振动的合成)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx结论：结论：合振动仍是简谐振动合振动仍是简谐振动同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.1.若两分振动同相若两分振动同相, , 2 2 1 1= = 2 2k k ( (k k=0,1,2,=0,1
13、,2,) )2.2.若两分振动反相若两分振动反相, , 即即 2 2 1 1= = (2(2k k+1)+1) ( (k k=0,1,2,=0,1,2,) )则则 A A= =A A1 1+ +A A2 2 , , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A A=|=|A A1 1- -A A2 2|, |, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱)cos(212212221AAAAA讨论讨论) cos(tAx2x旋转矢量法处理谐振动的合成旋转矢量法处理谐振动的合成11 A2 A2A1x21xxxxO1221xxx) cos(tA)cos(212212221AAAAA22112211coscossins
14、intanAAAA动画：动画：同频率同方向谐振动的合成同频率同方向谐振动的合成作作 业业1 1，5 5，7 7，1515，1616，1919复习复习21T)(cos)cos(TtAtA2T振幅（振幅（amplitude) amplitude) A A: : 振动物体离开平衡位置的最大振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。位移（或角位移）的绝对值。周期周期(period)(period)T T: :物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。频率（频率（frequency)frequency) : :单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。22T角频率角频率(ang
15、ular frequency)(angular frequency) : :相位相位(phase) (phase) 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态t : : 初相位（初相位（initial phase initial phase ）)cos( tAx1. 1. 简谐振动的数学模型简谐振动的数学模型sin()cos()2mdxvAtvtdt )cos()cos(2 tatAdtdvam2 2. .振动物体的速度和加速度振动物体的速度和加速度AvmAam2旋转矢量的端点在旋转矢量的端点在x x轴上的投影点的运动为简谐运动轴上的投影点的运动为简谐运动. .xoAtt t)cos(t
16、Ax时时1.1.若两分振动同相若两分振动同相, , 2 2 1 1= = 2 2k k ( (k k=0,1,2,=0,1,2,) )2.2.若两分振动反相若两分振动反相, , 即即 2 2 1 1= = (2(2k k+1)+1) ( (k k=0,1,2,=0,1,2,) )则则 A A= =A A1 1+ +A A2 2 , , 两分振动相互加强两分振动相互加强则则A A=|=|A A1 1- -A A2 2|, |, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱)cos(212212221AAAAA) cos(tAx同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.1.波动的产生波动的产
17、生 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播形成机械波传播形成机械波一、波动的基本概念（一、波动的基本概念（Basic concept Basic concept ）（1 1）机械波）机械波波源：波源：作机械振动的物体作机械振动的物体弹性介质：弹性介质：承担传播振动的物质承担传播振动的物质（2 2）电磁波）电磁波变化的电场和磁变化的电场和磁场在空间的传播场在空间的传播形成电磁波形成电磁波视频：视频：水波的波源水波的波源uEHxo2 2. . 波动的分类波动的分类 横波和纵波横波和纵波介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波称横波。介质质点的振动方向
18、与波传播方向相互垂直的波称横波。如柔绳上传播的波。如柔绳上传播的波。（1 1）横波：）横波：1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718101112131415161718 0t4Tt 2Tt Tt43Tt Tt45横横 波波动画：动画：横波横波介质质点的介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波称纵波。振动方向和波传播方向相互平行的波称纵波。如空气中传播的声波。如空气中传播的声波。（2 2）纵波）纵波4Tt 2TtTt43Tt Tt45Tt230t 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 910111213
19、1415161718101112131415161718纵纵 波波动画：动画：纵波纵波基本知识基本知识t ty yy yux x波动曲线波动曲线xt振动曲线振动曲线动画：波的形成动画：波的形成波动中各质点并不随波前进；波动中各质点并不随波前进；各个质点的相位依次落后各个质点的相位依次落后, ,波动是相位的传播；波动是相位的传播；波动曲线与振动曲线不同。波动曲线与振动曲线不同。波速是相位的传播速度；波速是相位的传播速度；3 3. . 波的定性表示波的定性表示波面和波线波面和波线（1 1）波面）波面（wave surface ):wave surface ):振动相位相同的点联结成的面。振动相位相
20、同的点联结成的面。（2 2）波线）波线（wave rayswave rays ):):沿波的传播方向所作的有向线段。沿波的传播方向所作的有向线段。（3 3）波前）波前( (wave frontwave front）：）：波动传播到的最前面的波面。波动传播到的最前面的波面。球面波球面波柱面波柱面波波面波面波线波线波面波面波线波线x xy yz z平面波平面波视频视频1 1：球面波的波面球面波的波面视频视频2 2：柱面波的波面柱面波的波面波在各向同性介质中传播时，波线和波面垂直。波在各向同性介质中传播时，波线和波面垂直。球面波传播到离点波源很远处时，在空间的某一小球面波传播到离点波源很远处时，在空
21、间的某一小区域内各相邻的球面波可以近似地看作是相互平行区域内各相邻的球面波可以近似地看作是相互平行的平面，因此可以认为是平面波。的平面，因此可以认为是平面波。平面波平面波球面波球面波波线波线波面波面波前波前波线波线波前波前4.4.描述波动的特征量描述波动的特征量同一波线上相邻两个相位差为同一波线上相邻两个相位差为 2 2 的质的质点点之间的距离之间的距离；即；即波源作一次完全振动波源作一次完全振动时波前进的距离。时波前进的距离。:）（波长波长波前进一个波长所需的时间。波前进一个波长所需的时间。:）（周期周期T单位时间内波前进距离中完整波的数目。单位时间内波前进距离中完整波的数目。: )( 频率
22、频率振动状态在媒质中的传播速度。振动状态在媒质中的传播速度。:）（u波波速速T1Tu基本关系：基本关系：动画：动画：不同介质中的波长不同介质中的波长(1) (1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同波源振动的周期和频率相同 。(2) (2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。说明说明思考题思考题8-10 8-10 当波从一种介质透入另一介质时，波长、频率、当波从一种介质透入另
23、一介质时，波长、频率、波速、振幅各量中，哪些量会改变？哪些量不会改变？波速、振幅各量中，哪些量会改变？哪些量不会改变？二、波的定量描述二、波的定量描述简谐波（简谐波（harmonic wave ）介质中各质点作同频率简谐振动的波动称简谐波。介质中各质点作同频率简谐振动的波动称简谐波。平面简谐波平面简谐波简谐波是一种最简单、最基本简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。是研究更复杂波的基础。主要讨论在无吸收（即不吸收主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同所传播的振动能量）、各向同性、均匀无限大媒质中传播的性、均匀无限大媒质
24、中传播的平面简谐波。平面简谐波。1.1.简谐波的波函数简谐波的波函数),(txfy )cos(0tAyo一般波函数一般波函数: :简谐振动简谐振动: :)cos(tAyuxt P P 点在点在t t 时刻的位移是时刻的位移是O O 点在点在 时刻的位移时刻的位移)(cos),(0uxtAtxyPy yx xx xuP PO O )(cos),(0uxtAtxy简谐波的简谐波的波函数波函数振源振动：振源振动：动画：动画：波函数的导出波函数的导出讨论讨论)(2cos),(0 xutAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xTtAtxy（1 1）波函数的其它形式）波函数的其它
25、形式（2 2）若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数）若波沿轴负向传播时，同样可得到波函数: :)(cos),(0uxtAtxy)(2cos),(0 xutAtxy)(2cos),(0 xtAtxy)(2cos),(0 xTtAtxy其其 它它 形形 式式（3 3）波函数的物理意义）波函数的物理意义t t1 1时刻的波形时刻的波形O Oy yx xuxx 1t t1 1+ +t t时刻的波形时刻的波形x x1 1 x x 给定，给定，y = yy = y( (t t) )是是x x 处振动方程处振动方程 t t 给定，给定，y = yy = y( (x x) )表示表示 t t 时刻的波形图时刻
26、的波形图x x，t t 都变化，给出了前进中的行波波形都变化，给出了前进中的行波波形动画：动画：行进中的波行进中的波例题：一个平面简谐波的振幅例题：一个平面简谐波的振幅A=0.10mA=0.10m，周期，周期T=0.50sT=0.50s，波长，波长=10m=10m，若，若t=0t=0是位于坐标原点的质点的位移为是位于坐标原点的质点的位移为y y0 0=+0.05m=+0.05m，且向，且向平衡位置运动。（平衡位置运动。（1 1）写出该波的波动方程；（）写出该波的波动方程；（2 2）求出波线上相）求出波线上相距距2.5m2.5m的两点的相位差。的两点的相位差。解：（解：（1 1）取过坐标原点的波
27、线为）取过坐标原点的波线为x x轴，设波沿轴，设波沿x x轴正向传播，将轴正向传播，将各已知量带入简谐波波动方程的标准形势可得各已知量带入简谐波波动方程的标准形势可得01050. 02cos10. 0 xty将初始条件将初始条件t=0t=0、x=0 x=0时时y y0 0=+0.05m=+0.05m带入上式，可得带入上式，可得2110. 005. 0cos0由此可知由此可知30由于在初始时刻，坐标原点的质点位移为正值，且向平衡位置运由于在初始时刻，坐标原点的质点位移为正值，且向平衡位置运动，所以初始速度动，所以初始速度 ，即，即 00v0sin00Av则要求则要求0sin0因此，应取因此，应取
28、 。3031050. 02cos10. 0 xty（2 2）设一点位于）设一点位于x x处，令一点位于（处，令一点位于（x+2.5x+2.5）m m处，两点的相位差为处，两点的相位差为2105 . 225 . 21022xxx mx0A330v于是，波动方程为于是，波动方程为总结总结1.1.简谐振动方程简谐振动方程)cos(tAy2.2.间谐波波动方程间谐波波动方程)(cos),(uxtAtxy)(2cos),(xutAtxy)(2cos),(xtAtxy)(2cos),(xTtAtxy波函数的其它形式波函数的其它形式2Tu基本关系：基本关系：21T精品课件精品课件！精品课件精品课件！3 3. . 波的定性表示波的定性表示波面和波线波面和波线（1 1）波面）波面（wave surface ):wave surface ):振动相位相同的点联结成的面。振动相位相同的点联结成的面。（2 2）波线）波线（wave rayswave rays ):):沿波的传播方向所作的有向线段。沿波的传播方向所作的有向线段。（3 3）波前）波前 ( (wave frontwave front）：）：波动传播到的最前面的波面。波动传播到的最前面的波面。平面波平面波球面波球面波波线波线波面波面波前波前波线波线波前波前
