1、教学目的教学目的掌握线性映射、线性变换的定义掌握线性映射、线性变换的定义熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质；熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质；掌握矩阵可对角化的条件掌握矩阵可对角化的条件理解酉空间的概念；理解酉空间的概念；熟悉酉空间与实内积空间的异同。熟悉酉空间与实内积空间的异同。第二章第二章 线性映射与线性变换线性映射与线性变换(Linear mapping and Linear Transformation)线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的动态的”或
2、者或者“直观的直观的”视角。视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲关系，因此通俗地讲“变换即矩阵变换即矩阵”。这同时也意味著这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。2 2维空间的线性变换维空间的线性变换3 3维空间的线性变换维空间的线性变换2.1 线性映射及其矩阵表示线性映射及其矩阵表示定义定义1 设设V1，V2是数域是数域P的两个线性空间，的两个线性空间，A A 是是V1到到V2的一个映射，如果对的一个映射，如果对V1中任意两个向量中任意两个向量 , 和任意数和任意
3、数k P ，都有，都有 A A( + )= A A ( )+ A A ( ) A A (k )=k A A ( )则称则称A A是是V1到到V2的的线性映射或线性算子线性映射或线性算子。若若V1=V2=V，则称则称A A是是V上的上的线性变换。线性变换。线性映射与变换的举例线性映射与变换的举例由数由数k决定的决定的数乘变换：数乘变换： 事实上，事实上， , ,VmP (),KkkkKK .K mkmmkmK单位变换单位变换( (恒等变换恒等变换) )：零变换：零变换：I I :VV:I I ( )= , VO O :VV:O O ( )=0 , VK:VV:K( )= k , V线性映射与变换
4、的举例线性映射与变换的举例线性空间线性空间P x n的微分运算的微分运算是线性变换是线性变换. .I I (f(x)=f(x)，f(x) P x n线性空间线性空间C a，b 的积分运算的积分运算是线性变换是线性变换. .作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲都是线性变换都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，当然，非线性映射也是大量存在的，I I (A)=detA，A P n n不是不是线性映射。线性映射。定理定理1 设设A A 是线性空间是线性空间V1到V2的线性映射线性映射，则则 (1) A A (0)=0, (2) A
5、A (- )=-A A ( ) (3)若 1, 2 m 是V1的一组向量，k1, k2,km P,有A A (k1 1+ k2 2 +km m)=k1A A ( 1)+ k2A A ( 2)+km A A ( m) (4)若若 1, 2 m 是V1的一组线性相关向量，则A A ( 1),A A ( 2), , A A ( m)在在V2中线性相关，当且仅当A A是一一映射时， V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。线性映射的性质线性映射的性质定理定理2 设设A A ,BB 是线性空间是线性空间V1到到V2的两个的两个线性映射线性映射，若若 1， 2， n是是V1的一组基，并且的一组基，并且
6、A A ( ( i)=)=B B ( ( i)()(i=1,2n),),则则A = BA = B.注：注：定理定理2说明线性映射由基像组唯一确定说明线性映射由基像组唯一确定2. 线性映射的运算线性映射的运算(1)设设 A,B 都是都是V1到到V2的线性映射的线性映射,A,B的的和和A+B为为: (A+B)( )= A( )+B( )，任意的，任意的 V1。 (2)设设 A是是V1到到V2的线性映射的线性映射,B 是是V2到到V3的线性映射的线性映射定义定义A,B的的乘法乘法BA为为:(BA)( )= B(A( )，任意的，任意的 V1.(3)设设 A是是V1到到V2的线性映射的线性映射, k
7、P，定义定义k与与A的的数量乘积数量乘积kA为为:(kA) ( )=kA( )，任意的任意的 V1线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。法适合结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到到V2的的所有线性所有线性映射组成的集合构成数域映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记上的线性空间，记为为L( (V1,V2) )。3. 线性映射的矩阵表示线性映射的矩阵表示 是是 的基的基, , 是是 的基的基. . 设设 是线性映射，是线性映射，12,n 21:VVT1Vm ,212V 记记:
8、 : 则存在则存在唯一唯一的的 使得使得: : )(,),(),(,(2121nnTTTT ,nmPA 称矩阵称矩阵A为线性映射为线性映射T在基在基 与基与基 下的下的矩阵矩阵m ,21n ,21ATmn),(),(2121 矩阵和线性映射互相唯一确定；矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间在给定基的情况下，线性空间V1到到V2的线性映射的线性映射L与与m n矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。L( (V1,V2) )与与Pm n同构。同构。注：注：11221212 , ( ) ,nmnmaaaaxT xaa 定理定理
9、7 设设T为为V1到到V2的线性映射，的线性映射， ,1Vx 则则: :1122 mnaaaa A aa ,21n 称为线性映射在基称为线性映射在基 与基与基下的下的坐标变换公式坐标变换公式12,m 例1 设设V1=Rxn，V2=Rxn-1，取线性映射取线性映射T：V1V2 T( f (x)=f (x) , f (x) R x n，求求T 在在Rxn的一组基的一组基1,x,xn-1与与Rxn-1的基的基1,x,xn-2下的下的矩阵矩阵DD( 1)=0= 0 1+0 2+ +0 n-1D( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-1D( 3)=2x= 0 1+2 2+ +0 n-1 D( n)=(n
10、-1)xn-2= 0 1+2 2+ +(n-1) n-1 解解 在在R x n中取基中取基 1=1， 2=x, n=xn-1 ,在在Rxn-1中取基中取基 1=1， 2=x, n-1=xn-2，则，则D( 1, 2 , n)=( 1, 2 n-1)nnnn )1(10000020000020000010即即于是D在基1，x, xn-1与与1，x, xn-2下的矩阵为D=nnnn )1(10000020000020000010nn)1(010000010000010另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2x, n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x, xn-1与1，2x, (n-1)xn-2下
11、的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同定理定理8 8 设设A是是n维线性空间维线性空间V1到到m维线性空间维线性空间V2的线性映射，的线性映射， 1, 2, , n和和 是是V1的两组基的两组基, ,由由 1, 2, , n 到到 的过渡矩阵是的过渡矩阵是Q ， 和和是是V2的两组基。由的两组基。由 到到 的过渡矩阵是的过渡矩阵是P， A在基在基 与基与基 下的矩阵为下的矩阵为A，而在，而在基基 与基与基 下的矩阵为下的矩阵为B B，则，则n ,21n ,21m ,21m ,21m ,21m ,2112,n m ,21n ,21m ,21B=P-1AQ，（称称A与与B相抵）相抵）定
12、义定义1 V是数域是数域P上的线性空间，对上的线性空间，对V 中的任意两个向量中的任意两个向量 ， 和任意和任意k P，映射，映射T T ：VV 满足满足 (i) ( (T T( + )T T( )+ T T( ) (ii) ( ():):k T T( )= T T(k ) 称称T T 为为V上的线性变换上的线性变换，T T( )为为 在变换在变换T T下的像，下的像， 称为称为原像。原像。 2.3 线性变换线性变换例1 对每个x=( 1, 2, 3) R3,定义变换 T T (x)=( 1, 2,0)则变换T T 是线性空间R3上的线性变换（称为投影变换）定理定理1 设设T T 是线性空间是
13、线性空间V上上的线性变换线性变换，则则 (1) T T(0)=0, (2) T T (- )=- T T ( ) (3)若 1, 2 m 是V的一组向量，k1, k2,km P,有T T (k1 1+ k2 2 +km m)=k1T T( 1)+ k2T T( 2)+kmT T ( m) (4)若 1, 2 m 是V的一组线性相关向量，则T T( 1), T T ( 2), , T T ( m)也线性相关，当且仅当T T 是一一映射时， V中线性无关向量组的像也线性无关。线性线性变换变换的基本性质的基本性质 L (V,V )表示表示线性空间线性空间V 上的所有线性变换的集合，对任意的上的所有线
14、性变换的集合，对任意的T,T1,T2L(V,V ), , V, ,定义定义则可以验证，则可以验证，T1+ +T2, ,kT, T1T2都是线性变换，因此都是线性变换，因此L (V,V ) 是数是数域域P上的线性空间。上的线性空间。注：注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念. .2112()( )( )( );TTTT ()( )( );kTTk （1）线性变换的和：）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法：）线性变换的乘法：T1T2( )=T1(T2( )线性变换的运算线性变换的运算特殊的变换：特殊的变换
15、：(1)对任意的对任意的kP，定义数乘变换定义数乘变换K(x)=kx，(2)恒等变换：恒等变换：I(x)=x，(3)零变换：零变换：O(x)=0(4)逆变换：设逆变换：设A A 是线性空间是线性空间V上的线性变换，上的线性变换，如果存在如果存在V的变换的变换BB，使得，使得AB AB =BA BA =I，称称A A可逆，可逆，B B 为为A A 的逆变换的逆变换.(5)线性变换的幂：线性变换的幂：A0=I，Am=Am-1A=AAA指数法则：指数法则：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn线性变换的矩阵线性变换的矩阵用矩阵表示即为用矩阵表示即为 ATTTTnnn),()(),(),(),(212
16、121 设设 1, 2, n为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组基，的一组基， T为V上的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT 22112222112212211111)()()(其中其中 111212122212,nnnnnnA 矩阵矩阵A称为称为线性变换线性变换T在在基下的矩阵基下的矩阵. . 12,n 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵
17、皆为数乘矩阵； A的第的第i 列是列是 在基在基 下的坐标，下的坐标，它是唯一的它是唯一的. . 故故T在取定一组基下的矩阵是唯一的在取定一组基下的矩阵是唯一的. . 12,n )(iT 注：注：线性变换运算与矩阵运算线性变换运算与矩阵运算定理定理1 设设 为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组的一组12,n 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，基，在这组基下，V的每一个线性变换都与的每一个线性变换都与 中中n nP 线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；
18、 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵于逆矩阵. .L(V,V)与与Pn n同构；同构；例2 设线性空间设线性空间 的线性变换为的线性变换为 求在自然基底下的矩阵求在自然基底下的矩阵. . 123, 解：解： 3()(0,0,1)(0,0,0) 1()(1,0,0)(1,0,1) 2()(0,1,0)(0,1,1) 1231231 0 0(,)(,) 0 1 01 1 0 1231212(,)(,)x xxx xxx 3R ( )=定理定理2 2 设设T是是n维
19、线性空间维线性空间V的线性变换，的线性变换， 和和 是是V的两组基的两组基, ,由由 到到 的过的过渡矩阵是渡矩阵是P ，T在基在基 与基与基 下的矩阵下的矩阵分别为分别为A和和B，则，则12,n n ,2112,n n ,2112,n n ,21B=P-1AP，（称称A与与B相似）相似）在两组基下所对应的矩阵在两组基下所对应的矩阵.如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换 线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示设B=P -1AP(1)rank(A)=rank(B);(
20、2)detA=detB;(3)A与B的特征值相同和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充:相似矩阵的性质123()( 5,0,3)()(0, 1,6),()( 5, 1,9) 例例3 在线性空间 中，线性变换定义如下：3R 123( 1,0,2),(0,1,1)(3, 1,0) 其其中中（1 1）求）求 在标准基在标准基 下的矩阵下的矩阵. .123, （2 2）求在下的矩阵）求在下的矩阵.123, 解：(1)由已知，有P),(012110301),(),(321321321 123123(,)(,)A 设 在标准基 下的矩阵为A，即123, 即： 为过渡矩阵，又1231
21、235 05(,)(,)011 ,369 012110301P所以 ( 1, 2, 3)= ( 1, 2, 3 )P)= ( 1, 2, 3 )P= ( 1, 2, 3 )AP因而， 963110505AP)24182725420205(719631105051 PA11 035 050 110112 10369B 23 51 011 10 设设 在在 1, 2, 3下的矩阵为下的矩阵为B，则，则B=P-1AP（2）求求 在在 1, 2, 3下的矩阵下的矩阵. . 定义定义1 设设T是数域是数域P上的线性空间上的线性空间V 的一个线性变换，如的一个线性变换，如果对于数域果对于数域P中任一元素中
22、任一元素 ，V中都存在一个非零向量中都存在一个非零向量 ，使得使得 T( )= 那么称那么称 为为T的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 T的属于特征值的属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。 2.4 特征值和特征向量特征值和特征向量由此可得：由此可得： 是线性变换是线性变换T的特征值，则的特征值，则 是对应矩阵是对应矩阵A的特征值的特征值. 是是 线性变换线性变换T的属于的属于 的特征向量，则的特征向量，则 是矩阵是矩阵A的属的属于于 的特征向量的特征向量. 设设V是数域是数域P上的上的n 维线性空间，维线性空间，V中取定一组基中取定一组基 1 , 2 ， n.设线性变换设线性变换
23、T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 A，向量，向量 在这组基下的坐在这组基下的坐标是标是x,那么我们有那么我们有 T( )=Ax= x 因此，只要将矩阵因此，只要将矩阵A的全部特征值求出来，它们就是的全部特征值求出来，它们就是线性变换线性变换T的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 A的属于的属于 的全的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是线性部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是线性变换变换T的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。 例例1 设设V是数域是数域P上的上的3维线性空间，维线性空间，T是是V上的一个线性变上的一个线性变换，换， 在在 V的一个自
24、然基下的矩阵是的一个自然基下的矩阵是求线性变换求线性变换T的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解：解： 的特征多项式为的特征多项式为222214241A A所以所以 的特征值是的特征值是3（二重）与（二重）与-6。 对于特征值对于特征值 3，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系： 1=-2 1 0T, 2=2 0 1T,A(3)0IA X2222214241(3) (6)IA于是于是 T属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 k1 1+ k2 2,k1,k2 P这里这里 为数域为数域 P中不全为零的数对。中不全为零的数对。12,k k 对于特征
25、值对于特征值-6 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系： 3=1 2 -2T( 6)0IA X于是于是T的属于的属于-6的全部特征向量的全部特征向量 k 3,k P这里这里k为数域为数域P中任意非零数。中任意非零数。 矩阵的特征值与特征向量的性质：矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） n 阶矩阵阶矩阵A的属于特征值的属于特征值 0的全部特征向量再添上零向的全部特征向量再添上零向量，可以组成量，可以组成V的一个子空间，称之为矩阵的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值的属于特征值 0特特征子空间征子空间，记为，记为V 0 ，不难看出，不难看出 V 0 正是特征方
26、程组正是特征方程组 ( 0I-A)X=0的解空间。的解空间。显然，显然，V 0的维数是属于的维数是属于 0的线性无关特征向量的最大数目，称的线性无关特征向量的最大数目，称dim(V 0 )为特征值为特征值 0的的几何重数几何重数.（2） V 0属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 （3） 设设 1, 2, r, 是是A的的r个互不同的特征值，个互不同的特征值， i 的几何重的几何重数为数为qi, ， i1, i2, iqi, 是对应于是对应于 i的的qi 个线性无关的特征向个线性无关的特征向量，则所有这些特征向量量，则所有这些特征向量 11, 12, 1
27、q1, 21, 22, 2q2, r1, r2, rqr,仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。由代数基本定理知，由代数基本定理知，n阶矩阵阶矩阵A在复数域内恰有在复数域内恰有n个特征值个特征值 1, 2, n，其中，其中 i作为特征方程的根的重数，称为作为特征方程的根的重数，称为 i的的代数代数重数重数,记为记为m i (A)，矩阵，矩阵A的特征值的全体称为的特征值的全体称为A的谱，最大特的谱，最大特征值的模称为征值的模称为A的的谱半径谱半径，记为，记为 (A).（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。 (5) A是是 n阶矩阵，其特征值
28、为阶矩阵，其特征值为 1, 2, n，则，则 |),(AAtriinini 11定义定义1 数域数域 P上的上的n维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换T 称为称为可可以对角化以对角化的，如果的，如果V中存在一组基，使得中存在一组基，使得T在这个基底下的矩在这个基底下的矩阵为对角矩阵。阵为对角矩阵。定义定义2 如果如果n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对是可对角化的。角化的。(单位矩阵只和自己相似单位矩阵只和自己相似) 2.5 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形定理定理1 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的可对角化的充要条件充要条件是是A有有n个线性无关的
29、个线性无关的特征向量；特征向量；定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互异的特征值，则个互异的特征值，则A是可对角化的。是可对角化的。（注：不是充要条件）（注：不是充要条件）定理定理3 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的可对角化的充要条件充要条件每一个特征值的代数每一个特征值的代数重数等于其几何重数。重数等于其几何重数。 例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？ 解：解： 先求出先求出A的特征值的特征值311201112A23112111212()()IA 于是于是A的特征值为的特征值为 （二重）（二重）由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征是单的特征值，它一定对应一个
30、线性无关的特征向量。下面我们考虑向量。下面我们考虑121,211222111111221001110000IA 于是于是 从而不相似对角矩阵。从而不相似对角矩阵。22-21rank,（）IAqn例例2 设设V是数域是数域P上的上的3维线性空间，维线性空间，T是是V上的一个线性变上的一个线性变换，换， 在在 V的一个基的一个基 1, 2, 3 下的矩阵是下的矩阵是判断线性变换判断线性变换T是否可对角化。是否可对角化。222214241A 解：解： 根据上一节例根据上一节例1的讨论可知的讨论可知 T有有3个线性无关的特征向个线性无关的特征向量量:1122132,2 312322由基由基 到基到基
31、的过渡矩阵是的过渡矩阵是于是有于是有123, 123, 221102012P1P APB300030006B因此，因此，T可以对角化，可以对角化，T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是定义定义1 1 设设T是数域是数域P的线性空间的线性空间V上的线性变换上的线性变换 , ,W是是V的子的子空间。如果对任意向量空间。如果对任意向量 都有都有 ，则，则称称W是是T的的不变子空间。不变子空间。W ( )TW 2.6 线性变换的不变子空间线性变换的不变子空间*（Invariant subspace）定义定义2 设设T 是数域是数域 P上的线性空间上的线性空间V上的线性变换上的线性变换 。令。令R(T)
32、=Im(T)=T(a)|a VKer(T )=N(T)=a V|T( a)=0称称R(T)是线性变换是线性变换T的的值域值域，而，而Ker(T)是线性变换的是线性变换的核核。R(T)的维数称为的维数称为T的的秩秩，Ker(T)的维数称为的维数称为T的零度的零度。线性变换的值域与核线性变换的值域与核定理定理1 设设T是数域是数域 P上的线性空间上的线性空间V上的线性变换上的线性变换 。令。令T 在在V的一组基的一组基 1, 2, n下的矩阵表示为下的矩阵表示为A，则，则（1）R(T)和和Ker(T )都是都是V的子空间；的子空间；（2）R(T)=span(T( 1),T( 2),T( n) （3
33、）rank(T)=dim(R(T)=rank(A) （4）dim(R(T )+dim(Ker(T )=n证明证明（1）显然）显然R(T )是是V的非空子集，对任意的非空子集，对任意T( ),T( ) R(T )，k P 有有 T( )+T( )=T( + ) R(T ) kT( )=T(k ) R(T )所以所以R(T )是是V的子空间的子空间 又又T(0)=0,所以所以Ker(T )是是V的非空子集的非空子集,对任意对任意 , Ker(T )，k P T( + )=T( )+T( )=0 Ker(T ) T(k )=kT( )=0 Ker(T )所以所以Ker(T )是是V的子空间的子空间
34、例例1 设线性变换设线性变换 T在在4维线性空间维线性空间V的基的基 1, 2, 3, 4 下的矩阵为下的矩阵为1021121312552212 1234,A （2）求）求Im(T )的一组基的一组基;（1）求）求Ker(T ) 的一组基的一组基;解（1）对任意）对任意1 144( )xxKer T有有0=T( )=T (x1 3+x4 4)1144()()x Tx T14( (), ()TTx 14(,)xA 因此因此AX=0,对对A做初等变换做初等变换102110211021121302340234125502340000221202340000 1234,A 解得其基础解系解得其基础解系
35、12( 4, 3,2,0) ,( 1, 2,0,1)TT 则则 的基为的基为( )Ker T112341123(,)432, 212342124(,)2. （2）由于）由于31241232,22从而从而这说明这说明Im(T)=span(T 1, T 2,T 3,T 4)= span(T 1,T 2)3143(,)T 4122TTT14121233(,)(2)222TT例例2 线性空间线性空间 和零子空间和零子空间 都是都是 上的线性变换上的线性变换 的的（平凡）不变子空间（平凡）不变子空间。 VTV 例3 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T的值域的值域Im(T)和核和核Ker(T)
36、都都是是V的不变子空间。的不变子空间。 例4 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T的对应于某个特征值的对应于某个特征值 的的所有特征向量加上零向量所有特征向量加上零向量 组成的集合组成的集合|( ),Vx T xx xV 也是也是 的子空间，称为的子空间，称为 的的特征子空间特征子空间(eigenspace) 。进一。进一步，步， 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。V TTV定理定理2 线性变换线性变换T的不变子空间的的不变子空间的交与和交与和仍然是仍然是T的不的不变子空间。变子空间。定理定理3 设线性空间设线性空间V的子空间的子空间W=span 1, 2, m，则则W是线性变换是
37、线性变换T的不变子空间的充要条件是的不变子空间的充要条件是T( i) W(i=1,2,m)定理定理4 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T有非平凡的不变子空间的有非平凡的不变子空间的充要条件充要条件是是T在在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如形如111222AAOA有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？形式呢？定理定理5 线性空间线性空间V上的线性变换上的线性变换T在在V的一组基下的矩阵表示为的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵块对角矩阵的的是是V可以分解为可以分解为T的若干个
38、的若干个非平凡不变子非平凡不变子空间空间的直和。的直和。不变子空间是特征值的根子空间不变子空间是特征值的根子空间定理定理6维线性空间维线性空间 上的线性变换上的线性变换 在在 的某个基下的矩阵的某个基下的矩阵表示为对角矩阵表示为对角矩阵 的的是是 可以分解为可以分解为 的的 个一维特征子空间的直和个一维特征子空间的直和 V= V 1 V 2 V n这里这里 为为T的两两不同的特征值。的两两不同的特征值。12,ndiag 12,n 线性变换线性变换T的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。与线性空间分解为若干个不
39、变子空间的直和是相当的。定义：定义：设设A 为一个为一个n 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足 AAH=AHA=I则称则称A是是酉矩阵，酉矩阵，一般记为一般记为A Un n。 设设A为一个为一个n 阶实矩阵，如果其满足阶实矩阵，如果其满足 AAT=ATA=I则称则称A 是是正交矩阵正交矩阵,一般记为一般记为A En n。 2.7 酉变换与酉（正交）矩阵酉变换与酉（正交）矩阵Unitary transformation and Unitary matrix（Orthogonal matrix）例例122022(1)10022022是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵 c
40、ossinsincos)2(是一个酉矩阵是一个酉矩阵 cos0sin010sin0cos)3(ii酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 A,B是酉矩阵，那么是酉矩阵，那么设设 ，那么，那么1(1)(2)det( )1(3),Hn nn nAAUAAB BAU,n nA BE1(1)(2)det( )1(3),Tn nn nAAEAAB BAE 定理定理1： 设设 ，A是一个酉矩阵的充分必要条件为是一个酉矩阵的充分必要条件为A 的的 n个列（或行）向量组是标准正交向量组。个列（或行）向量组是标准正交向量组。n nAC定义定义2 设设T是是n为酉（欧氏）空间为酉（欧氏）空间V的线性
41、变换，如果对任意的线性变换，如果对任意的的 ， V都有都有则称则称T是是V的的酉（正交）变换。酉（正交）变换。正交变换保持正交变换保持V中的中的内积不变，内积不变，根据定义，显然正交变换也根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角向量的长度、距离及向量间的夹角等几何等几何属性不变。属性不变。()() .TT ,酉（正交）变换定理定理2设设 是欧氏空间是欧氏空间 上的一个线性变换，则下列命题是等上的一个线性变换，则下列命题是等价的：价的：（1 1） T是正交变换；是正交变换；（2 2） T保持向量的长度不变，即保持向量的长度不变，即 |T T |= =|
42、|; ;（3 3） 若若 是是V的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则 也是也是V的标准正交基；的标准正交基；（4 4） T在在V的任意一组标准正交基下的矩阵表示的任意一组标准正交基下的矩阵表示 A为正交矩阵。为正交矩阵。TV12,n, ,12(,(nTTT),),)证明：证明： 若线性变换保持长度不变，即若线性变换保持长度不变，即(2)(1).展开上式展开上式同样有同样有( (), ()(,)TT 根据定义显然成立。根据定义显然成立。(1).(2),(|),(|),(|),(| 2222TTTTTT左式左式=(T , T )+2(T( ), T( )+(T , T )=( , )+2(T(
43、 ),T( )+( , )右式右式=( , )+2( , )+( , )化简得化简得(T( ), T( )=( , ) #因此因此则则1111,nnnnxxyy11(,)( ,)nnTTx yx y 1111( )()(),( )()(),nnnnTx Tx TTyTy T 对任意对任意 ，令，令(3)(1).,V 显然成立。显然成立。(1).(3)11( (), ()(,) ,nnTTA 设设 在在 下的矩阵为下的矩阵为 ，即，即A(3)(4).T1,n由于由于 也是标准正交基，所以也是标准正交基，所以 A 是两组标准是两组标准正交基间的过渡矩阵，因此正交基间的过渡矩阵，因此 A是正交矩阵。
44、是正交矩阵。1(),()nTT1111( ( ), ()(,)ijininjn jnTTaaaa 设设 是正交矩阵，则是正交矩阵，则(4)(3).A11ijnin ja aa a 1,0,ijij 所以所以 也是标准正交基。也是标准正交基。1(),()nTT 注 鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。重要。Householder变换（即反射变换）和变换（即反射变换）和Givens变换变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。用主要是在数值算法中构造正交基
45、。 补充：两种基本的图形变换补充：两种基本的图形变换例例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间将线性空间 中的所有向中的所有向量均绕原点顺时针旋转角量均绕原点顺时针旋转角 ，这时，这时 与与之间的关系为之间的关系为 2R12(,) 12(,) 2121cossinsincos 例例2（反射变换或（反射变换或Householder变换）将变换）将 中任一向量中任一向量x 关于关于横横轴做反射得向量轴做反射得向量y。这时像。这时像(x2,y2) 与原像与原像 (x1,y1)之间的关系之间的关系为为2R11221001yxyx 从几何上看，图形经过从几何上看，图形经过旋转变换旋转变换或或反射变换
46、反射变换后只是位置改后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。全等的，即这两种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：一般形式的一般形式的Givens矩阵为矩阵为：11cossin11sincos11 ( , )G i j 第第j列列第第i i列列对应的变换称为对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换：变换，或初等旋转变换：在在n维欧式空维欧式空间中取一组标准正交基间中取一组标准正交基e1,e2
47、en，沿平面，沿平面 ei, ,ej旋转。旋转。第第i i行行第第j j行行定理定理 对任意非零向量对任意非零向量 Rn，存在有限个，存在有限个Givens变换的乘积变换的乘积 T，使得使得 其中其中 为标准单位向量为标准单位向量。即即通过有限次通过有限次Givens变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。1neR 21|Te Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维向量，通维向量，通过有限次过有限次Givens变换，可将其后任意变换，可将其后任意r 个分量变为零，特别地，个分量变为零，特别地，r=n-1时，得时，得x
48、y2e21e 如图，显然有正交分解如图，显然有正交分解 1122( ,)( ,)xx e ex e e,222222( ,)2( ,)yxxx e exex e 因此向量因此向量 关于关于“与与e2 轴正交的直线轴正交的直线e1”对称的镜像向量的对称的镜像向量的表达式为表达式为xHouseHolder变换变换2222(2)2TTIxxexeee类似地，可定义将向量类似地，可定义将向量 变换为关于变换为关于“与单位向量与单位向量 正交的正交的 维子空间维子空间”对称的向量对称的向量 的镜像变换。的镜像变换。nxR nyR 1n 定义定义3设设 为单位向量，称矩阵为单位向量，称矩阵 H( ( )=
49、)=I-2 H为为Householder 矩阵（初等反射矩阵），矩阵（初等反射矩阵），对应的变换对应的变换 称为称为Householder 变换（初等反射变换）变换（初等反射变换）nR (2)HHInR (1)det(H( ( )=-1)=-1(2) H( )H= = H( ( )= )= H( ( ) )-1Householder 矩阵矩阵H( ( ) )的性质的性质(3)对任意非零向量对任意非零向量 Rn，存在，存在Householder 矩阵矩阵H ，使得使得 H( ( ) ) = = e1 1, ,其中其中 为标准单位向量为标准单位向量；对于对于 =(a1,a2an) 0,相应地取相应
50、地取 =(=( - - e1 1)/| - - e1 1 |1neR ,0,0,1arg11aeaai解解 由性质由性质(3)，取取 =| |=3, w=( - e1)/| - e1|,所以得所以得 1222122212)(HwwIwH例例 设设 =(1,2,2)T,求求Householder矩阵矩阵H( ),使得使得H( ) =| |e1,其中，其中，e1=(1,0,0)T几点说明几点说明Householder变换能将任何非零向量变成与给定单位向量变换能将任何非零向量变成与给定单位向量同方向的向量；同方向的向量；Householder矩阵在矩阵的矩阵在矩阵的QR分解中有重要应用；分解中有重要
