1、适用范围适用范围;,)1(极坐标计算极坐标计算可考虑用可考虑用圆环或扇形区域时圆环或扇形区域时为圆域为圆域通常通常简单简单程表示比较程表示比较的边界曲线用极坐标方的边界曲线用极坐标方积分区域积分区域DD.,)2(22标计算标计算式时可以考虑使用极坐式时可以考虑使用极坐的因的因通常当被积函数中含有通常当被积函数中含有并易于积分并易于积分函数表达式可以简化函数表达式可以简化被积函数使用极坐标后被积函数使用极坐标后yx 其中其中 0 r 0).解解：D D 如图如图, ,由于由于D D关于关于x x轴，轴，y y 轴都对称，轴都对称，0 xyx2+y2 = a2aD1Dr = a),(),(),(2
2、2yxfyxfeyxfyx且即即f f ( (x x, , y y) )也关于也关于x x轴，轴，y y轴对称轴对称. .故故122224DyxDyxdxdtedxdye20,0:1arD且0202122rdreddxdyerDyxararerde002)(4)(21222)1 (42ae从而，原式从而，原式)1 (2ae注：注：本题若用直角函标计算，会遇到本题若用直角函标计算，会遇到,2dxex而这个积分是而这个积分是“积不出积不出”的。的。.,dde22222ayxaDyxDyx 的圆域的圆域为为半径半径是中心在原点是中心在原点其中其中计算计算解解 aDyxyx020deddde222 )
3、.e1(2a .20,0: aD例例1.1.方法二方法二0 xyx2+y2 = a2aD1Dr = a.de,102 xx计算计算结果结果利用例利用例方法一)(24220020000002022222222概率积分概率积分故故则则设设 dxeIededdxdyedyedxeIdxeIxyxyxx例例20 xyD.de,102 xx计算计算结果结果利用例利用例21 DSD 显然显然例例2 2方方法法二二| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 1D2DSS1D2DRR2, 0e22 yx因为因为 Syxyxdde22.dde
4、222 Dyxyx 122dde Dyxyx所以所以 RyRxyx00dede22;)de(202 Rxx R00ded22 );e1(42R );e1(422R SyxyxIdde22又因为又因为 122dde1DyxyxI 222dde 2DyxyxI同理同理,41 I,42 I),(4 nI所以根据夹逼准则所以根据夹逼准则, 21III 因为因为);e1(4)de()e1(4 222220RRxRx 所以所以 , 时时当当 R.4)de( 202 xx即即.03, 03,4,2:,dd)(222222所围成的平面区域所围成的平面区域计算计算 xyyxyyxyyxDyxyxD边界曲线的极坐
5、标方程边界曲线的极坐标方程 sin2222 yyx sin4422 yyx603 yx303 xy Dyxyxdd)(22解解 sin4sin2236dd).32(15 例例3 3.10 ,11),(,dd),(2 xxyxyxDyxyxfD其中其中积分积分化为极坐标形式的二次化为极坐标形式的二次将将解解, 1 圆的方程为圆的方程为,cossin1 直线方程为直线方程为 Dyxyxfdd),(所以所以.d)sin,cos(d1cossin120 f ,sin,cos yx因为因为1 yx122 yx例例4 4. 41:,dd)sin(222222 yxDyxyxyxD求求解解 1dd)sin(
6、4dd)sin(22222222DDyxyxyxyxyxyx dsind42120 1D. 4 积分区域关于坐标轴对称积分区域关于坐标轴对称, ,被积函数关于坐标被积函数关于坐标轴对称轴对称. .例例5 5.4)()2()(2)()1(:,dd22222222xyyxyxyxDyxxyID 双纽线所围成双纽线所围成由下列由下列其中积分区域其中积分区域计算计算,2cos2)1(2 双纽线的极坐标方程为双纽线的极坐标方程为.见图见图其所围区域其所围区域 D,是奇函数是奇函数关于关于而被积函数而被积函数轴对称轴对称关于关于由于积分区域由于积分区域yxyxD. 0dd Dyxxy故故xyO例例6 6解
7、解,2sin2)2(2 双纽线的极坐标方程为双纽线的极坐标方程为.见图见图其所围区域其所围区域 D,关于原点对称关于原点对称由于积分区域由于积分区域D满足满足而被积函数而被积函数xyyxf ),(,dd21 DyxxyI故故xyO.1轴上方的部分轴上方的部分的关于的关于为为其中其中xDD)(),(yxyxf ),(yxfxy dcossind22sin20202 I 203d)2(sin tttdsin21203 ttdsin221203 .3232221 内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 :若积分区域为若积分区域为)()(,),
8、(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(
9、),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r在变换在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式机动 目录 上页 下
10、页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设设, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后交换积分顺序后, x , y互换互换oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 交换积分顺序交换积分顺序ararccoscosar oxa)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 积分域如图积分域如图rra
11、r0dararccosararccosId),(rf机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分应注意的问题计算二重积分应注意的问题 1 1、由被积函数和积分区域、由被积函数和积分区域D D适当地适当地选取坐标系选取坐标系， 当当D D是圆域，环域（或其一部分）或是圆域，环域（或其一部分）或被积函数为型时采用极坐标系下计被积函数为型时采用极坐标系下计算，否则采用直角坐标。算，否则采用直角坐标。适当地选取坐标系适当地选取坐标系，适当地选取积分次序适当地选取积分次序， 2 2、由积分区域、由积分区域D D的形状特点的形状特点适当地适当地选取积分次序选取积分次序， 极坐标系下一般先对极坐标系下一般先对r r后对后对积分，积分， 直角坐标系下一般由直角坐标系下一般由X X还是还是Y Y型区域型区域决定。决定。精品课件精品课件！精品课件精品课件！准确地确定积分限准确地确定积分限：3.外层积分的上下限一定是常数，外层积分的上下限一定是常数， 内层积分的上下限一般是外层积分内层积分的上下限一般是外层积分变量的函数，变量的函数， 无论内层还是外层，上限都大于下无论内层还是外层，上限都大于下限。限。
