1、2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知R是实数集，集合AxZ|x|3，Bx|2x2x30，则A（RB）（）A1，0B1，0，1C0，1，2D1，0，1，22（5分）已知复数z（a2i）（1+3i）（aR）的实部与虚部的和为12，则|z5|（）A3B4C5D63（5分）已知向量a=（1，-7），|b|3，ab=36，则a与b的夹角为（）A6B4C3D234（5分）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的
2、石板数依次为a1，a2，a3，a9，设数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，且a218，a4+a690，则S8（）A189B252C324D4055（5分）已知M为抛物线C：x22py（p0）上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p（）A3B4C5D66（5分）已知tan2，则cos3-coscos(+2)=（）A25B34C23D127（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A18B36C54D1088（5分）某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图根据双层饼图，下
3、列说法正确的是（）A2020年第四季度的销售额为380万元B2020年上半年的总销售额为500万元C2020年2月份的销售额为60万元D2020年12个月的月销售额的众数为60万元9（5分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（）A12B14C16D1810（5分）在四边形ABCD中（如图1所示），ABAD，ABD45，BCBDCD2，将四边形ABCD沿对角线B
4、D折成四面体ABCD（如图2所示），使得ABC90，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A9B8C7D611（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A双曲线C的离心率为3B若PF1PF2，且SPF1F2=3，则a2C以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D若点F2到C的一条渐近线的距离为3，则C的实轴长为412（5分）已知iN*，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，1，2，4，2i，2i1，2，1，的前
5、n项和为Sn，若Sn2022，则n的最小值为（）A81B90C100D2021二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13（5分）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）ln（ax）若f（e2）2，则a 14（5分）若x，y满足约束条件y-13x+y-503x-2y+10，则zx+y的最大值为 15（5分）函数f(x)=-x2+1x的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为 16（5分）函数f（x）2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，其中f(0)=f(59)，f(-29)=0，若对于任意的x1-9，6)，x2(6，3)，f（x1）cos2x2sin3x1恒成立，则实数的取值
6、范围为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，已知acosC+ccosA=3，a=2b（1）求a；（2）若S=312(a2+c2-b2)，求A18（12分）某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会
7、援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：女生男生合计环境保护8040120社会援助404080合计12080200（1）能否有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？（2）以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为X，求X的分布列和期望附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+dP（K2k0）0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.82819（12分）如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段
8、PC的中点CBA30，AB2PA（1）证明：平面ABD平面PBC（2）若G为AD的中点，求二面角PBCG的余弦值20（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点为A，右顶点为B，AOB的面积为22，原点O到直线AB的距离为63（1）求椭圆C的方程；（2）过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若DEMN=0，求FPQ面积的最大值21（12分）已知函数f（x）lnx+2，g（x）=1ae2x-ln2a（a0）（1）设函数h（x）f（x+1）x2，求h（x）的最大值；（2）证明：f（x）g（x）（二）选考题：共10分。选修4-4：坐标系与参数方程（
9、10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=4-32t，y=2+12t（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4sin10（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（4，2），求|PA|+|PB|2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知R是实数集，集合AxZ|x|3，Bx|2x2x30，则A（RB）（）A1，0B1，0，1C0，1，2D1
10、，0，1，2【解答】解：R是实数集，集合AxZ|x|3xZ|3x32，1，0，1，2，Bx|2x2x30x|x1或x32，RBx|1x32，A（RB）1，0，1故选：B2（5分）已知复数z（a2i）（1+3i）（aR）的实部与虚部的和为12，则|z5|（）A3B4C5D6【解答】解：z（a2i）（1+3i）a+3ai2i6i2a+6+（3a2）i，所以复数z的实部与虚部分别为a+6，3a2，则a+6+3a212，得a2，|z5|3+4i|=32+42=5，故选：C3（5分）已知向量a=（1，-7），|b|3，ab=36，则a与b的夹角为（）A6B4C3D23【解答】解：因为a=（1，-7），|
11、a|=1+7=22，又因为|b|3，ab=36，所以cosa，b=ab|a|b|=36223=32，a，b0，所以a，b=6故选：A4（5分）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，a9，设数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，且a218，a4+a690，则S8（）A189B252C324D405【解答】解：因为数列an为等差数列，a218，a4+a62a590，所以a545，所以d=a5-a25-2=45-183=9，a19，则S88a1+28d89+289324故选：C5（5分）已知M为抛物线C：
12、x22py（p0）上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p（）A3B4C5D6【解答】解：设M的纵坐标为y0，由抛物线的方程可得准线方程为：y=-p2，由题意可得y0+p2=7y0=5，两式相减可得p2=2，即p4，故选：B6（5分）已知tan2，则cos3-coscos(+2)=（）A25B34C23D12【解答】解：cos3-coscos(+2)=cos3-cos-sin=1-cos2tan=1tansin2sin2+cos2 =1tantan2tan2+1=1244+1=25，故选：A7（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A18B36C54D108【解
13、答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为底面腰长为32的等腰直角三角形，高为6的三棱柱体；如图所示：故V=1232326=54故选：C8（5分）某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图根据双层饼图，下列说法正确的是（）A2020年第四季度的销售额为380万元B2020年上半年的总销售额为500万元C2020年2月份的销售额为60万元D2020年12个月的月销售额的众数为60万元【解答】解：设全年总销售额为x万元，则x（5%+5%+6%）160，故x1000，选项A：第四季度销售额为
14、100028%280（万元），故A错误选项B：上半年销售额度为160+260420（万元），故B错误选项C：2月份的销售额为10005%50（万元），故C错误选项D：由图易知销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60（万元），故D正确故选：D9（5分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（）A12B14C16D18【解答】解：若安排丙丁中的一
15、名志愿者到首钢滑雪大跳台，其余3人到另外两个场馆，则有C21C32A2212种，若安排丙丁两名志愿者到首钢滑雪大跳台，甲乙人到另外两个场馆，则有A222种，故有12+214种故选：B10（5分）在四边形ABCD中（如图1所示），ABAD，ABD45，BCBDCD2，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD（如图2所示），使得ABC90，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A9B8C7D6【解答】解：ABAD，ABD45，ABAD，BAD90，又BCBDCD2，则AB2+AD24，ABAD=2，可知ABCADC，则ABCADC90，取AC的中点O，连接BO，DO，则BODO=12AC，所以
16、点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径为R=12AC=12AB2+BC2=12(2)2+22=62，所以四面体ABCD外接球的表面积s4R4（62）6，故选：D11（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，左，右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A双曲线C的离心率为3B若PF1PF2，且SPF1F2=3，则a2C以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切D若点F2到C的一条渐近线的距离为3，则C的实轴长为4【解答】解：对于A，设P（x，y），则y2b2（x2a2-1），
17、因为A1（a，0），A2（a，0），直线PA1与PA2的斜率率之积等于3，所以kPA1kPA2=yx+ayx-a=y2x2-a2=b2a2=3，得e=1+b2a2=2，故A错误；对于B：因为e2，所以c2a，而P为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得|PF2|PF1|2a，又PF1PF2，且SPF1F2=3，则|PF2|PF1|6，由|PF2|2+|PF12|（2c）2，可得（|PF2|PF1|）2+2|PF2|PF1|4c2，即4a2+1216a2，解得a1，故B错误；对于C：设PF1 的中点为O1，O为坐标原点，则OO1为PF1F2的中位线，所以|OO1|=12|PF2|=12（|PF
18、1|+2a）=12|PF1|+a，则以线段PF1为直径的圆，圆心为O1，半径r1=12|PF1|，以线段PF2为直径的圆，圆心为O，半径r2a，所以|OO1|=12|PF1|+ar1+r2，故两个圆外切，故C正确；对于D：因为点F2到C的一条渐近线的距离为3，所以b=3，又由前面的推理可知ba=3，所以a1，故C的实轴长为2a2，故D错误故选：C12（5分）已知iN*，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，1，2，4，2i，2i1，2，1，的前n项和为Sn，若Sn2022，则n的最小值为（）A81B90C100D2021【解答】解：观察数列，第1项为1，第24项为
19、1，2，1，第59项为1，2，4，2，1，则第（ k1）2+1k2 项为1，2，4，2k1，4，2，1，kN+，则第 （k1）2+1k2 项，这2k1项之和为2（1+2+4+2k2）+2k1其中k1项等比数列求和1+2+4+2k-2=1(1-2k-1)1-2=2k-1-1，则2（1+2+4+2k2）+2k12（2k11）+2k132k12所以从第1项加到第k2项之和Sk2=(320-2)+(321-2)+(322-2)+(32k-1-2)=3(20+21+22+2k-1)-2k=31(1-2k)2-1-2k=32k-3-2k，要使 Sk22022，则32k32k2022，kN+，因为当k9时，
20、S81=329-3-29=15152020；当k10时，S100=3210-3-210=30492022，则所求最小n必在第81项和第100项之间，而第82项第 100 项为1，2，4，29，4，2，1，这里前面10项和，即 1+2+2921011023，而S81+10231515+102325382022，这里前9项和，即1+2+28291511，而S81+5111515+51120242022，这里前面8项和，即1+2+27281255，而S81+2551515+25517702022，若Sn2022，则最小n是第81项后面第9项，即第90项，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，
21、满分20分。13（5分）已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）ln（ax）若f（e2）2，则a1【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数，且f（e2）2，则f（e2）f（e2）2，又由当x0时，f（x）ln（ax），则有f（e2）ln（ae2）2，解可得a1，故答案为：114（5分）若x，y满足约束条件y-13x+y-503x-2y+10，则zx+y的最大值为 3【解答】解：x，y满足约束条件y-13x+y-503x-2y+10，则x，y满足的可行域如图所示：联立方程3x+y-5=03x-2y+1=0，解得A（1，2），由图可得zx+y在点A处取得最大值，即z1+23，故答案为：315（5分
22、）函数f(x)=-x2+1x的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为 3【解答】解：由f(x)=-x2+1x，得f(x)=-2x-1x2，f（1）2113即函数f(x)=-x2+1x的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为3故答案为：316（5分）函数f（x）2sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，其中f(0)=f(59)，f(-29)=0，若对于任意的x1-9，6)，x2(6，3)，f（x1）cos2x2sin3x1恒成立，则实数的取值范围为 （，-12【解答】解：因为f(0)=f(59)，所以yf（x）的图象关于直线x=518对称，又f(-29)=0，由图知3T4=518+29=2，
23、所以T=23，从而3，由3（-29）+0，得=23，所以f（x）2sin（3x+23），f（x1）cos2x2sin3x1，可化为3cos3x1cos2x2+，当x1-9，6)，x2(6，3)时，3cos3x1（0，3，cos2x2+（-12，+12），所以+120，解得-12，即（，-12故答案为：（，-12三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，已知acosC+ccosA=3
24、，a=2b（1）求a；（2）若S=312(a2+c2-b2)，求A【解答】解：（1）因为acosC+ccosA=3，由余弦定理得，aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc=3，因为a=2b整理得，b=3，a=2b=6，（2）若S=312(a2+c2-b2)=3122accosB=3accosB6，所以12acsinB=36accosB，所以tanB=33，由B为三角形内角得，B=6，由正弦定理得，ab=sinAsinB=2，所以sinA=22，因为A为三角形内角且AB，所以A=4或3418（12分）某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公
25、益活动现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：女生男生合计环境保护8040120社会援助404080合计12080200（1）能否有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？（2）以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为X，求X的分布列和期望附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中na+b+c+dP（K2k0）0.0250.0100.005
26、0.001k05.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）由表中的数据可得K2=200(8040-4040)212080120805.5566.635，故没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；（2）女生共有120人，参加环境保护的人数为80人，则女生参与率为80120=23，由已知可得X可取0，1，2，3，4，所以P（X0）C 40(1-23)4=181，P（X1）C 4123(1-23)3=881，P（X2）C 42(23)2(1-23)2=2481，P（X3）C 43(23)3(1-23)1=3281，P（X4）C 44(23)4=1681，所
27、以X的分布列如下：X01234P 181 881 2481 32811681 因为X服从二项分布，即XB（4，23），所以X的数学期望为E（X）423=8319（12分）如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点CBA30，AB2PA（1）证明：平面ABD平面PBC（2）若G为AD的中点，求二面角PBCG的余弦值【解答】（1）证明：因为PA圆O所在的平面，所以PABC，因为C为圆周上一点，AB是圆O的直径，所以BCAC，因为PAACA，所以BC平面PAC，因为AD平面PAC，所以BCAD，因为CBA30，所以AB2AC，又因为AB2PA，所以ACAP，因为D
28、为PC中点，所以ADPC，又因为PCBCC，所以AD平面PBC，因为AD平面ABD，所以平面ABD平面PBC（2）解：不妨设OAa，则PAACa，PDDCAD=22a，所以DG=24a，由（1）知BC平面PAC，所以PCBC，GCBC，所以GCP是二面角PBCG的平面角，tanGCP=GDDC=2a42a2=12，二面角PBCG的余弦值为11+(12)2=25520（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的上顶点为A，右顶点为B，AOB的面积为22，原点O到直线AB的距离为63（1）求椭圆C的方程；（2）过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若D
29、EMN=0，求FPQ面积的最大值【解答】解：（1）易知A（0，b），B（a，0）因为AOB的面积为22，所以SAOB=12ab=22又直线AB的方程为xa+yb=1，即bx+ayab0，点O到直线AB的距离为63，所以aba2+b2=63联立方程组ab=2aba2+b2=63，解得a=2，b1，所以椭圆C的方程为x22+y2=1（2）由题意知直线DE，MN的斜率均存在，设DE的斜率为k，D（x1，y1），E（x2，y2），由（1）知F（1，0），则直线DE的方程为yk（x+1）联立方程组消去y，得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，由韦达定理可得x1+x2=-4k21+2k2因为P（xP
30、，yP）为DE的中点，所以xP=-2k21+2k2，yP=k(xP+1)=k1+2k2，即P(-2k21+2k2，k1+2k2)，所以|PF|=(-2k21+2k2+1)2+(k1+2k2)2=1+k21+2k2因为直线MN的斜率为-1k，用-1k代替k得Q(-2k2+2，-kk2+2)，所以|QF|=|k|1+k2k2+2，所以SFPQ=12|PF|FQ|=121+k21+2k2|k|1+k2k2+2=12k2+1k2+22(k2+1k2)+5设t=k2+1k2+2(t2)，则SFPQ=12t2t2+1=1212t+1t(t2)，当且仅当t=22时取等号设f(t)=2t+1t(t2)，由对勾
31、函数的性质知f（t）在区间2，+）上单调递增，所以当t2时，f（t）最小，即SFPQ最大，此时k2+1k2+2=2，解得k21，所以FPQ面积的最大值为1214+12=1921（12分）已知函数f（x）lnx+2，g（x）=1ae2x-ln2a（a0）（1）设函数h（x）f（x+1）x2，求h（x）的最大值；（2）证明：f（x）g（x）【解答】解：（1）h（x）ln（x+1）+2x2ln（x+1）x（x1），h（x）=1x+1-1=-xx+1（x1），当x（1，0）时，h（x）0，h（x）单调递增；当x（0，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）的最大值为h（0）0证明：（2）g（x）
32、f（x）=1ae2x-ln2a-lnx2=1a（e2xaln2a-alnx2a），a0，原不等式等价于（x）e2xaln2a-alnx2a0，则（x）2e2x-ax=2xe2x-ax，令m（x）=2e2x-ax，则m（x）4e2x+ax20，（x）在（0，+）上单调递增，令t（x）2xe2xa，则t（0）a0，t（a）2ae2aaa（2e2a1）0，存在唯一x0（0，a），使得t（x0）=2x0e2x0-a=0，即（x0）=2e2x0-ax0=0，当0xx0时，（x）0，（x）单调递减；当xx0时，（x）0，（x）单调递增，要证（x）0，即要证（x0）0，于是原问题转化为证明不等式组2e2x0
33、-ax0=0(x0)=e2x0-aln2a-alnx0-2a0，由2e2x0-ax0=0得e2x0=a2x0，两边同时取常用对数得lnx0=lna2-2x0，代入（x0）=e2x0-aln2a-alnx0-2a可得，（x0）=a2x0+2ax02a，（x0）=a2x0+2ax02a2a2x02ax0-2a0，当且仅当a2x0=2ax0即x0=12，ae时，等号成立，（x）0，即g（x）f（x）（二）选考题：共10分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=4-32t，y=2+12t（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为22cos4sin10（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（4，2），求|PA|+|PB|【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为22cos4sin10，根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为直角坐标方程为x2+y22x4y10，整理得（x1）2+（y2）26；（2）把直线直线l的参数方程为x=4-32t，y=2+12t（t为参数），代入x2+y22x4y10，得到t2-33t+3=0；故|PA|+|PB|=|t1+t2|=33
