1、2022年四川省眉山市、广安市、遂宁市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Mx|x26x+50，Nx|12x3，则MN等于（）Ax|12x1Bx|1x3Cx|1x5Dx|12x52（5分）i为虚数单位，若3+bi1+i是实数，则实数b的值为（）A3B32C-32D33（5分）某高中学校学生人数和近视情况分别如图和图所示，为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A32B45C64
2、D904（5分）下列函数中为奇函数且在（0，+）单调递增的是（）Ayx21By3xx2Cyx+sinxDyx+cosx5（5分）在（2x-1x）5的展开式中，x的系数为（）A32B40C80D806（5分）执行如图所示的程序框图，输出S（）A19B24C26D337（5分）若（0，2），sin2cos2，则cos2的值为（）A-35B-12C0D358（5分）已知A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点和右焦点，P是椭圆上一点，直线AP与直线l：x=a2c相交于点Q，且AFQ是顶角为120的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A13B12C23D349（5分）当某种药物的浓度大于
3、100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L（安全水平）从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减，若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg20.301，lg30.477，lg861.935）A4小时B6小时C8小时D12小时10（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段BC1上的一个动点，有下列三个结论：A1P面ACD；B1DA1P；面A1PB面B1CD其中所有正确结论的序号是（）ABCD11（5分）已知F是抛
4、物线C：y22px（p0）的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线准线l1交于点M，若PM=2FP，则|FQ|FP|=（）A13B34C43D312（5分）已知函数f（x）=xelnx，x1x3-3x+4，x1，若函数yf（x）2+1与y（4a2）f（x）的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（）A98，4924）B（1，4924）C（1，98D98，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知实数x，y满足约束条件x-y-202x+y0x+10，则z2xy的最小值为 14（5分）早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”
5、，如图，在ABC中，BC3，AC4，AB5，点D是CB延长线上任意一点，则ACAD的值为 15（5分）定义运算“”：absinasinb，设函数f（x）（2x）（6）+（2x+2）（3），给出下列四个结论：是f（x）的最小正周期；f（x）在0，有2个零点；f（x）在0，6上是单调递增函数；f（x）的图象可以由ysin2x的图象向右平移6个单位长度得到其中所有正确结论的序号是 16（5分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB2PA，三棱锥PABC体积的最大值为83，则当PBC的面积最大时，线段AC的长度为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，
6、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每试题考生都必须作答。第2、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或入户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下22列联表所示：入户登记自主填报合计户主45岁以上200户主45岁及以下240640合计1000（1）将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽
7、样的方法抽取了6户若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为，求的分布列和数学期望附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+d18（12分）如图，已知OA10，点B是以O为圆心，5为半径的半圆上一动点（1）当AOB120时，求线段AB的值；（2）若ABC为正三角形，求四边形OACB面积的最大值19（12分）设nN*，有以下三个条件：an是2与Sn的等差中项；a12，Sn+1a1（Sn+1）
8、；an为正项等比数列，S26，S314在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答若数列an的前n项和为Sn，且_（1）求数列an的通项公式；（2）若anbn是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列bn的前n项和Tn20（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，且APPDCD2AB23，APDADC60作PHAD交AD于点H，连结AC，BD交于点F（1）设G是线段PH上的点，试探究：当G在什么位置时，有GF平面PAB；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值21（12分）已知函数f（x）axlnx+x2（1）讨论f（x）的零点个
9、数；（2）若0a1，求证：f（x）exsinx+1（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为（02），将射线l绕极点逆时针旋转4后得到射线l1设l与曲线C相交于点A，l1与曲线C交于点B（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若2|OA|2+|OB|2=5|OA|OB|，求的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x4|+|x+1|（1）解不等式f（
10、x）7x；（2）设f（x）的最小值为M，正实数a，b，c满足a+bM，求证：a2+1a+b2b+132022年四川省眉山市、广安市、遂宁市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Mx|x26x+50，Nx|12x3，则MN等于（）Ax|12x1Bx|1x3Cx|1x5Dx|12x5【解答】解：集合Mx|x26x+50x|（x1）（x5）0x|1x5，Nx|12x3，MNx|1x3故选：B2（5分）i为虚数单位，若3+bi1+i是实数，则实数b的值为（）A3B32C-32D3【
11、解答】解：3+bi1+i=(3+bi)(1-i)(1+i)(1-i)=3+b+(b-3)i2为实数，b30，解得b3故选：A3（5分）某高中学校学生人数和近视情况分别如图和图所示，为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A32B45C64D90【解答】解：高一的近视学生人数为：180010%180，高二的近视学生人数为：160020%320，高三的近视学生人数为：150030%450，设抽取的高三学生人数为a，则36180=a450，解得a90故选：D4（5分）下列函数中为奇函数且
12、在（0，+）单调递增的是（）Ayx21By3xx2Cyx+sinxDyx+cosx【解答】解：yx21为偶函数，故A错误；y3xx2不为偶函数，故B错误；yx+sinx为奇函数，又y1+cosx0，可得yx+sinx为递增函数，故C正确；yx+cosx不是奇函数，故D错误故选：C5（5分）在（2x-1x）5的展开式中，x的系数为（）A32B40C80D80【解答】解：（2x-1x）5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r=(-1)r25-rC5rx5-3r2令5-3r2=1，得r1x的系数为-24C51=-80故选：C6（5分）执行如图所示的程序框图，输出S（）A19B24
13、C26D33【解答】解：模拟程序的运行，可得程序运行第1次，S1+2；第2次，S1+2+2+12；第3次，S1+2+2+12+3+（l）；.第7次，S1+2+2+12+3+（1）+4+2+5+12+6+（1）+7+233此时i7，输出，则s33故选：D7（5分）若（0，2），sin2cos2，则cos2的值为（）A-35B-12C0D35【解答】解：因为（0，2），所以sin0，cos0，因为sin2cos2，可得2sincoscos2，所以2sincos，即tan=12，所以cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-141+14=35故选：D8（5分）已知
14、A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点和右焦点，P是椭圆上一点，直线AP与直线l：x=a2c相交于点Q，且AFQ是顶角为120的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A13B12C23D34【解答】解：如图，设直线l与x轴的交点为H，由AFQ是顶角为120的等腰三角形，知|FQ|FA|a+c，QFH60，于是，在RtFQH中，|FH|=12|FQ|，而|FH|=a2c-c=b2c，故b2c=a+c2，又由a2b2+c2得3c2+ac2a20，即3e2+e20，解得e=23故选：C9（5分）当某种药物的浓度大于100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg
15、/L（安全水平）从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减，若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）（参考数据：lg20.301，lg30.477，lg861.935）A4小时B6小时C8小时D12小时【解答】解：设n小时后药物浓度为y600（10.14）n1，若n小时后药物浓度小于100mg/L，则需再服药，由题意可得，600（10.14）n1100，即0.86n-116，所以（n1）lg0.86lg6，即n1-lg6lg0.86=-lg2+lg3lg86-lg100=-0.
16、301+0.4771.935-2=0.7780.06511.969，故n12.969，所以在首次服药后13个小时再次服药最合适，则服用药物的间隔时间12小时最合适故选：D10（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段BC1上的一个动点，有下列三个结论：A1P面ACD；B1DA1P；面A1PB面B1CD其中所有正确结论的序号是（）ABCD【解答】解：对于，在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1B，AD1，D1C，AC，A1C1，则A1BCD1，A1B平面ACD1，D1C平面ACD1，A1B平面ACD1，ACA1C1，A1C1平面ACD1，AC平面ACD1，A1C1平面AC
17、D1，A1BA1C1A1，平面ACD1平面A1C1B，A1P平面A1B1C，A1P面ACD，故正确；对于，连接BD，B1C，DB1，A1C1，AB1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1平面A1B1C1D1，则BB1A1C1，B1D1A1C1，且BB1B1D1B1，A1C1平面BB1D1D，DB1平面BB1D1D，DB1A1C1，BC1B1C，CD平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，则CDBC1，B1CCDC，BC1平面CDB1，DB1平面CDB1，B1DBC1，BC1A1C1C1，B1D平面A1BC1，A1P平面A1BC1，B1DA1P，故正确；对于，由知B1D平面A1BC1，D
18、B1平面CDB1，平面A1BC1平面B1CD，面A1PB面B1CD，故正确故选：A11（5分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线准线l1交于点M，若PM=2FP，则|FQ|FP|=（）A13B34C43D3【解答】解：如图，过点P作准线的垂线交于点H，则|PF|PH|m（m0），过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|QF|，PM=2FP，|PM|2m，根据PHMQEM，可得=12，2|EQ|QM|EQ|+3m|EQ|3m，即|FQ|3m，|FQ|FP|=3mm=3故选：D12（5分）已知函数f（x）=xelnx，x1x3-3x+4，
19、x1，若函数yf（x）2+1与y（4a2）f（x）的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（）A98，4924）B（1，4924）C（1，98D98，+）【解答】解：当x1时，f（x）=xelnx，f（x）=lnx-1eln2x，若1xe时，f（x）0，xe时，f（x）0，当xe时，f（x）min1，则当x1时，f（x）f（e）1，当x1时，f（x）x33x+4，f（x）3x23，x1时有极大值f（1）6，f（1）2，大致图象如图所示，函数yf（x）2+1与y（4a2）f（x）的图象恰有5个不同公共点，即函数f（x）2+1（4a2）f（x）0有5个不同的根，令tf（x），即t2（4a2）
20、t+10（*），（1）在区间（，1）和2，6）上各有一个实数根，令函数（t）t2（4a2）t+1，则(1)=1+2-4a+10(2)=4+2(2-4a)+10(6)=36+6(2-4a)+10，解得98a4924，（2）方程（*）在（1，2）和（6，+）各有一根时，则(1)=1+2-4a+10(2)=4+2(2-4a)+10(6)=36+6(2-4a)+10，即a1a98a4924，无解（3）方程（*）的一个根为6时，可得a=4924，验证另一根为16，不满足，（4）方程（*）的一个根为1时，可得a1，可知不满足综上所述：实数a的取值范围是98，4924），故选：A二、填空题：本题共4小题，每
21、小题5分，共20分。13（5分）已知实数x，y满足约束条件x-y-202x+y0x+10，则z2xy的最小值为 4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z2xy得y2xz，x+1=02x+y=0，解得A（1，2），平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A（1，2）时，直线的纵截距最大，此时z最小，此时z224，故答案为：414（5分）早在公元前1100年，我国数学家商高就已经知道“勾三股四弦五”，如图，在ABC中，BC3，AC4，AB5，点D是CB延长线上任意一点，则ACAD的值为 16【解答】解：因为ACAD=|AC|AD|cosDAC|AC|216故答案为：1615（5分
22、）定义运算“”：absinasinb，设函数f（x）（2x）（6）+（2x+2）（3），给出下列四个结论：是f（x）的最小正周期；f（x）在0，有2个零点；f（x）在0，6上是单调递增函数；f（x）的图象可以由ysin2x的图象向右平移6个单位长度得到其中所有正确结论的序号是 【解答】解：由已知可得f（x）sin2xsin6+sin（2x+2）sin3=12sin2x+32cos2x=sin（2x+3)，：函数是最小正周期为T=22=，故正确，：令2x+3=k，kZ，则x=k2-6，kZ，令k1，则x=3，令x2，则x=56，故函数在0，上有两个零点，故正确，：当x0，6时，2x+33，23，
23、根据正弦函数的单调性可得函数在0，6上不单调，故错误，：ysin2x的图象向右平移6个单位长度得到函数ysin2（x-6）sin（2x-3）f（x），故错误，故答案为：16（5分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB2PA，三棱锥PABC体积的最大值为83，则当PBC的面积最大时，线段AC的长度为 6【解答】解：设PAa，则AB2a，OCa，PA平面ACB，VP-ABC=13SABCAP=23SABC，当ABC的面积最大时，三棱锥PABC的体积最大，由圆的性质得OCAB时，ABC的面积最大，此时三棱锥PABC的体积的最大值为83，13122aaa
24、=83，解得a2，由AB是圆O的直径知ACB90，BCPC，BC2+PC2PB2PA2+AB24+1620，SPBC=12BCPC14（BC2+PC2）5，当且仅当BCPC=10时，等号成立，此时AC=PC2-PA2=6故答案为：6三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每试题考生都必须作答。第2、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或入户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下
25、）分布如下22列联表所示：入户登记自主填报合计户主45岁以上200户主45岁及以下240640合计1000（1）将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为，求的分布列和数学期望附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b
26、+c+d【解答】解：（1）22列联表如下： 入户登记 自主填报 合计 户主45岁以上 160 200 360 户主45岁及以下 240 400 640 合计 400 6001000K2=1000(16040-240200)24006003606404.633.841，有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系（2）这6户户主45岁以上2户，45岁及以下4户，则所有可能取值为1，2，3，故P（1）=C41C22C63=15，P（2）=C42C21C63=35，P（3）=C43C63=15，故的分布列为： 1 2 3 P 15 3515 故E（）=115+235+315=218（12分）如图
27、，已知OA10，点B是以O为圆心，5为半径的半圆上一动点（1）当AOB120时，求线段AB的值；（2）若ABC为正三角形，求四边形OACB面积的最大值【解答】解：（1）在AOB 中，由余弦定理得：AB2OA2+OB22OAOBcosAOB=102+52-2105cos120=100+25-100(-12)=175，所以AB57；（2）设AOB，所以AB2OA2+OB22OAOBcos125100cos，则S四边形OACBSOAB+SABC=12OAOBsin+34AB2=12105sin+34（125100cos）25sin253cos+12534=50（12sin-32cos）+12534=
28、50sin（-3）+12534，所以当=56时，四边形OACB的面积取得最大值为50+1253419（12分）设nN*，有以下三个条件：an是2与Sn的等差中项；a12，Sn+1a1（Sn+1）；an为正项等比数列，S26，S314在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答若数列an的前n项和为Sn，且_（1）求数列an的通项公式；（2）若anbn是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：选条件时，由于an是2与Sn的等差中项；所以2an2+Sn，当n1时，解得a12；当n2时，2an12+Sn1，得：2an2an1an，整理得an2an1，所以数列an
29、是以2为首项，2为公比的等比数列；所以an=22n-1=2n（首项符合通项），所以an=2n；选条件时，由于a12，Sn+1a1（Sn+1）；所以：Sn+12Sn+2，当n2时，Sn2Sn1+2，得：an+12an，所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列；故an=22n-1=2n（首项符合通项），所以an=2n；选条件时，由于an为正项等比数列，S26，S314所以a1+a1q=6a1+a1q+a1q2=14，解得a1=2q=2，整理得an=22n-1=2n（首项符合通项），所以an=2n；（2）若anbn是以1为首项，1为公差的等差数列，所以anbn1+（n1）n，所以bn=n2n，故
30、Tn=12+222+323+.+n2n，12Tn=122+223+324+.+n2n+1，得：12Tn=12+122+.+12n-n2n+1=12(1-12n)1-12-n2n+1；整理得Tn=2-n+22n20（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，且APPDCD2AB23，APDADC60作PHAD交AD于点H，连结AC，BD交于点F（1）设G是线段PH上的点，试探究：当G在什么位置时，有GF平面PAB；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值【解答】解：（1）四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC
31、，APPDCD2AB23，APDADC60，作PHAD交AD于点H，连结AC，BD交于点F，APADCDAC23，PHCH=12-3=3，连接PH，CH，则PHAD，CHAD，侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，PH平面ABCD，以H为坐标原点，HD为x轴，HC为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，3），A（-3，0，0），B（-332，32，0），C（0，3，0），由AF=13AC，得F（-233，1，0），设平面PAB的法向量n=（x，y，z），PA=（-3，0，3），PB=（-332，32，3），则nPA=x-3z=0nPB=-332x+32y-3z=0，取
32、x=3，得n=（3，1，1），设GHh时，GF平面PAB，则G（0，0，h），FG=（233，1，h），FGn=21h0，解得h1，当HG1，即HG=13PH时，有GF平面PAB（2）平面PAD的法向量HC=（0，3，0），PB=（-332，32，3），PC=（0，3，3），设平面PBC的法向量m=（a，b，c），则mPB=-332a+32b-3c=0mpC=3b-3c=0，取b1，得m=（-33，1，1），设平面PAD与平面PBC所成二面角为，则|cos|HCm|=3337=217，平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值为sin=1-37=27721（12分）已知函数f（x）axlnx+x
33、2（1）讨论f（x）的零点个数；（2）若0a1，求证：f（x）exsinx+1【解答】解：（1）由题意f（x）x（alnx+x），（其中x0），只需考虑函数g（x）alnx+x在（0，+）的零点个数，当a0时，函数g（x）x在（0，+）内没有零点，当a0时，函数g（x）在（0，+）单调递增，取 x=e-10a 时，g(e-10a)=alne-10a+e-10a=-10+e-10a0，x1时，f（x）1，此时g（x）在（0，+）存在唯一个零点 x0，且x0（0，1），当a0时，g(x)=x+ax，则0xa时，g（x）0；xa时，g（x）0，所以g（x）在（0，a） 上单调递减，在（a，+）上单调
34、递增，则 xa 是函数 g（x）在（0，+） 上唯一的极小值点，且g（x）极小值aln（a）a，取x=e10a时，g(e10a)=alne10a+10a=10+e10a0，取 xea 时，f（ea）alnea+eaa2+ea0，因此：若g（x）极小值0，即ea0 时，g（x） 没有零点，若g（x）极小值0，即 ae时，g（x） 有唯一个零点，若g（x）极值0，即 ae 时，g（x） 有且仅有两个零点，综上所述，ae时，f（x） 有两个零点，a0或 ae时，g（x） 有唯一个零点，ea0时，g（x） 没有零点；（2）不等式 f（x）exsinx+1 即为axlnx+x2exsinx+1（其中x0
35、 ），先证x0时，sinxx，令h（x）xsinx，则 h（x）1cosx0，则h（x）单调递增，所以h（x）h（0）0，则xsinx，所以exx+1exsinx+1，故只需证明axlnx+x2exsinx+1即可即证明 alnxx+1ex-x+1x2(其中x0），令u(x)=alnxx+1，v(x)=ex-x+1x2，只需证明u（x）maxv（x）min即可，又u(x)=a-alnxx2则 0xe 时，u（x）0，xe 时，u（x）0，所以 u（x）在 （0，e）上单调递增，在（e，+） 上单调递减，则 xe时，u（x） 取得极大值，且 u（x） 极大值=u(e)=ae+1，也即为最大值，由
36、v(x)=ex-x+1x2，得v(x)=(ex2-1)x2-2x(ex-x+1)x4=(x-2)(ex+1)x3，则 0x2时，v（x）0；x2 时，v（x）0所以 v（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+） 上单调递增，则x2时，v（x） 取得极小值，且v（x） 极小值=v(2)=e2-14，也即为最小值，由于v(2)-u(e)=e2-14-ea-1e2-14-1e-10，即有u（x）maxv（x）min，则alnxx+1ex-x+1x2，所以0a1 时，不等式 f（x）exx+1成立，则不等式 f（x）exsinx+1也成立（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如
37、果多做，则按所做的第一题记分。选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为（02），将射线l绕极点逆时针旋转4后得到射线l1设l与曲线C相交于点A，l1与曲线C交于点B（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若2|OA|2+|OB|2=5|OA|OB|，求的值【解答】解（1）由曲线C的参数方程x=2cosy=sin 消去得其普通方程为x24+y2=1将xcos，ysin代入上述方程得2-cos24+2sin2=1，即2（1+3sin2）4所以曲线C的极坐标方程为
38、2（1+3sin2）4（2）设A(1，)，B(2，+4)，由（1）可知，12=41+3sin2，22=41+3sin2(+4)，而2|OA|2+OB|2=5|OA|OB|，即4（|OA|2+|OB|2）5|OA|2|OB|2，即1|OA|2+1|OB|2=54，于是112+122=54即 1+3sin24+1+3sin2(+4)4=54，变形可得 sin2+sin2(+4)=1，所以1-cos22+1-cos2(+4)2=1即1-cos22+1+sin22=1，sin2=cos2，则tan21又02，则02，所以2=4，即=8选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x4|+|x
39、+1|（1）解不等式f（x）7x；（2）设f（x）的最小值为M，正实数a，b，c满足a+bM，求证：a2+1a+b2b+13【解答】（1）解：当x1时，f（x）2x+4x13x+37x，得2x1；当1x2时，f（x）2x+4+x+1x+57x，得1x2；当x2时，f（x）2x4+x+13x37x，得2x52；综上，原不等式解集为x|-2x52（2）证明：由（1）知：x1时，f（x）3x+36；1x2时，f（x）x+53；x2时，f（x）3x33f（x）的最小值为M3，则a+b3a2+1a+b2b+1=a2+1a+(b+1)2-2(b+1)+1b+1=a+1a+b+1+1b+1-2=1a+1b+1+2 =14a+(b+1)(1a+1b+1)+2 =14(2+b+1a+ab+1)+2 14(2+2b+1aab+1)+2 3，当且仅当b+1a=ab+1a+b=3，即a2，b1时等号成立，a2+1a+b2b+13
