1、2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A0，1，2，Bx|2x2，xZ，则AB（）A0，1B1，0，1C1，0，1，2D2，1，0，1，22（5分）已知复数z满足2zi1+3i，则z的虚部为（）A32B12C-12D-323（5分）已知命题p：xN*，lgx0，q：xR，cosx1，则下列命题是真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）D（pq）4（5分）某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则
2、应抽取博士生的人数为（）A20B25C40D505（5分）设函数f(x)=2x+x3的零点为x0，则x0（）A（4，2）B（2，1）C（1，2）D（2，4）6（5分）设an和bn都是等差数列，前n项和分别为Sn和Tn，若a1+a7+a136，b1+b3+b9+b1112，则S13T11=（）A2633B23C1322D13117（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为坐标原点，若|AF|，|FO|，|OB|成等比数列，则C的离心率为（）A55B104C3-12D5-128（5分）已知函数f(x)=lg(2x+1+a)是奇函数，则使得0f（x）1
3、的x的取值范围是（）A(-，-911)B(0，911)C(-911，0)D(-911，0)(911，1)9（5分）花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A2-1B2-2C3-22D6-4210（5分）已知函数f(x)=-x3+a2x2+bx(a，b0)的一个极值点为1，则a2b2的最大值为（）A49B94C1681D811611（5分）已知数列an的前n项和Sn=(-1)nan
4、+12n(nN*)，则S100（）A-12100B0C12100D1210112（5分）如图，在正四面体ABCD中，E是棱AC的中点，F在棱BD上，且BD4FD，则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为（）A33B22C12D13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量a=(x，-1)，b=(0，5)，若a(a+2b)，则x 14（5分）写出一个离心率与双曲线C：x2-y23=1的离心率互为倒数的椭圆的标准方程 15（5分）已知(4，2)，且4cos-tan(2-)=3，则 16（5分）已知三棱锥PABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA=32，PBPC5，则该三
5、棱锥的外接球的表面积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某校举办歌唱比赛，AG七名评委对甲、乙两名选手打分如表所示：评委ABCDEFG选手甲91949692939795选手乙929590969491a（1）若甲和乙所得的平均分相等，求a的值；（2）在（1）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；（3）若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a的值（直接写出结果，不必说明理由）18（12分）在锐角ABC中，B60，AB3，A
6、C=7（1）求ABC的面积；（2）延长边BC到D，使得BD4BC，求sinADB19（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，PAAD4，BAD120，平行四边形ABCD的面积为43，设E是侧棱PC上一动点（1）求证：CDAE；（2）当E是棱PC的中点时，求点C到平面ABE的距离20（12分）已知函数f（x）exk（lnx+1），kR（1）若x=12是f（x）的极值点，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）证明：当k（0，e）时，f（x）021（12分）已知抛物线：x22py（p0）的焦点F与双曲线2y22x21的一个焦点重合（1）求抛物线的方
7、程；（2）过点F作斜率不为0的直线l交抛物线于A，C两点，过A，C作l的垂线分别与y轴交于B，D，求四边形ABCD面积的最小值（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x=-ty=2-t（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O的极坐标方程为282（cos+sin）（1）求直线l的普通方程和圆O的直角坐标方程；（2）当2，时，求直线l与圆O的公共点的极坐标选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|3x6|+2|x+1|m（mR）（1）当m2时，
8、解不等式f（x）12；（2）若关于x的不等式f（x）+|x+1|0无解，求m的取值范围2022年河南省焦作市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A0，1，2，Bx|2x2，xZ，则AB（）A0，1B1，0，1C1，0，1，2D2，1，0，1，2【解答】解：A0，1，2，B1，0，1，AB1，0，1，2故选：C2（5分）已知复数z满足2zi1+3i，则z的虚部为（）A32B12C-12D-32【解答】解：2zi1+3i，z=1+3i2i=(1+3i)i2i2=32-12i，z
9、的虚部为-12故选：C3（5分）已知命题p：xN*，lgx0，q：xR，cosx1，则下列命题是真命题的是（）ApqB（p）qCp（q）D（pq）【解答】解：由lgx0，得0x1，故命题p：xN*，lgx0是假命题，则p是真命题，由cosx1，得xR，故命题q：xR，cosx1是真命题，则pq是真命题，故选：B4（5分）某大学工程学院共有本科生1200人、硕士生400人、博士生200人，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，则应抽取博士生的人数为（）A20B25C40D50【解答】解：要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为180的样本，抽取博士生的人数1802001200+400+2
10、00=20，故选：A5（5分）设函数f(x)=2x+x3的零点为x0，则x0（）A（4，2）B（2，1）C（1，2）D（2，4）【解答】解：因为f(x)=2x+x3，xR且在R上连续，又因为y2x与y=x3在R上均为增函数，所以f(x)=2x+x3在R上为增函数，又因为f（0）10，f（1）=12-13=160，f（2）=14-23=-5120，所以f(x)=2x+x3的零点在区间（2，1）内，故选：B6（5分）设an和bn都是等差数列，前n项和分别为Sn和Tn，若a1+a7+a136，b1+b3+b9+b1112，则S13T11=（）A2633B23C1322D1311【解答】解：由等差数列
11、的性质可得a1+a7+a133a76，a72，b1+b3+b9+b112b6+2b64b612，b63，由等差数列的前n项和公式可得S13=13(a1+a13)2=132a72=13226，T11=11(b1+b11)2=112b62=11333，S13T11=2633，故选：A7（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为坐标原点，若|AF|，|FO|，|OB|成等比数列，则C的离心率为（）A55B104C3-12D5-12【解答】解：由题意知，|AF|ac，|FO|c，|OB|a，因为|AF|，|FO|，|OB|成等比数列，所以c2（ac）aa
12、2ac，即c2a2+ac0，所以（ca）21+ca=0，即e21+e0，解得e=-152（舍负），所以e=5-12故选：D8（5分）已知函数f(x)=lg(2x+1+a)是奇函数，则使得0f（x）1的x的取值范围是（）A(-，-911)B(0，911)C(-911，0)D(-911，0)(911，1)【解答】解：因为函数f(x)=lg(2x+1+a)是奇函数，所以f（0）lg（2+a）0，即2+a1，解得a1，所以f（x）lg（2x+1-1），因为0f（x）1，所以0lg（2x+1-1）1，即12x+1-110，可化为2x+1-202x+1-110，等价于2x(x+1)0(11x+9)(x+1
13、)0解得-911x0故选：C9（5分）花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A2-1B2-2C3-22D6-42【解答】解：设大圆的半径为R，则等腰直角三角形的边长分别为2R，2R，2R，设等腰直角三角形的内切圆的半径为r，则12（2R+2R+2R）r=122R2R，解得r（2-1）R，则阴影部分的面积为2r22（2-1）R22（322 ）R2，大圆的面积为R2，则该点取自阴影
14、部分的概率为P=2(3-22)R2R2=642，故选：D10（5分）已知函数f(x)=-x3+a2x2+bx(a，b0)的一个极值点为1，则a2b2的最大值为（）A49B94C1681D8116【解答】解：由f(x)=-x3+a2x2+bx，则f（x）3x2+ax+b，由题意可知，f（1）0，即a+b3，a0，b0，所以a2b2(a+b2)4=8116，当且仅当a=b=32时取等号，所以a2b2的最大值8116，故选：D11（5分）已知数列an的前n项和Sn=(-1)nan+12n(nN*)，则S100（）A-12100B0C12100D12101【解答】解：当n1时，a1=S1=-a1+12
15、，所以a1=14；当n2时，Sn=(-1)n(Sn-Sn-1)+12n；当n2k（kN+）时，S2k=S2k-S2k-1+122k，即S2k-1=122k，当n2k1（kN+）时，S2k-1=-S2k-1+S2k-2+122k-1，故S2k-2=2S2k-1-122k-1=0；所以S1000，故选：B12（5分）如图，在正四面体ABCD中，E是棱AC的中点，F在棱BD上，且BD4FD，则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为（）A33B22C12D13【解答】解：设AB4，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，1，0），B（0，2，0），C（23，0，0），A（233，0，463），E（433
16、，0，263），则BA=（233，2，463），FE=（433，1，263），设BA，FE的夹角为，则cos=BAFE|BA|FE|=83-2+16343=12，则异面直线EF与AB所成的角的余弦值为12，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量a=(x，-1)，b=(0，5)，若a(a+2b)，则x3【解答】解：向量a=(x，-1)，b=(0，5)，a(a+2b)，a（a+2b）=a2+2ab=x2+1+2（05）0，则x3，故答案为：314（5分）写出一个离心率与双曲线C：x2-y23=1的离心率互为倒数的椭圆的标准方程 x24+y23=1（答案不唯一）【
17、解答】解：双曲线C：x2-y23=1的离心率为e=1+31=2，则椭圆的离心率为12，所以椭圆的标准方程可以为x24+y23=1故答案为：x24+y23=1（答案不唯一）15（5分）已知(4，2)，且4cos-tan(2-)=3，则518【解答】解：4cos-tan(2-)=3，(4，2)，4cos-cossin=3，4sincoscos=3sin，2sin22（32sin+12cos），sin2sin（+6），2+6或2+6=，=6（舍）或=518，故答案为：51816（5分）已知三棱锥PABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA=32，PBPC5，则该三棱锥的外接球的表面积为 34【解
18、答】解：根据题意，三棱锥PABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，c，如图所示，则a2+b2PA218，a2+c2PB225，b2+c2PC225，解得a3，b3，c4所以该三棱锥的外接球的半径为R=a2+b2+c22=32+32+422=342，所以该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4(342)2=34故答案为：34三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某校举办歌唱比赛，AG七名评委对
19、甲、乙两名选手打分如表所示：评委ABCDEFG选手甲91949692939795选手乙929590969491a（1）若甲和乙所得的平均分相等，求a的值；（2）在（1）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；（3）若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个a的值（直接写出结果，不必说明理由）【解答】解：（1）由题意得17（91+94+96+92+93+97+95）=17（92+95+90+96+94+91+a），解得a100（2）7名评委中，有C，F2名评委对甲的打分高于对乙的打分，该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率为27（3）a的值可以为9318（12分）在锐角A
20、BC中，B60，AB3，AC=7（1）求ABC的面积；（2）延长边BC到D，使得BD4BC，求sinADB【解答】解：（1）设BCx，由余弦定理得AC2AB2+BC22ABBCcosB，整理得x23x+20，解得xl或x2，当xl时，BC2+AC2AB2，此时ABC是钝角三角形，不符合条件，当x2时，符合条件，SABC=12ABBCsinB=332（2）根据题意BD4BC8，由余弦定理得AD2AB2+BD22ABBDcosB49，所以AD7，由正弦定理知ADsinB=ABsinADB，即732=3sinADB，解得sinADB=331419（12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四
21、边形，PA底面ABCD，PAAD4，BAD120，平行四边形ABCD的面积为43，设E是侧棱PC上一动点（1）求证：CDAE；（2）当E是棱PC的中点时，求点C到平面ABE的距离【解答】（1）证明：设ABx，AD4，BAD120，平行四边形ABCD的面积为43，4xsin12023x=43，解得x2，在ABC中，AB2，BCAD4，ABC60，可得AC2=42+22-24212=12，AB2+AC2BC2，即ABAC，则CDAC，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又PAACA，CD平面PAE，而AE平面PAE，CDAE；（2）解：当E是棱PC的中点时，AE是RtPAC的斜边PC上的
22、中线，可得AE=12PC=PA2+AC2=1242+12=7，由（1）可知，ABAE，SBAE=1227=7，设点C到平面ABE的距离为h，由VEABCVCBAE，得13232=137h，解得h=4217点C到平面ABE的距离为421720（12分）已知函数f（x）exk（lnx+1），kR（1）若x=12是f（x）的极值点，求曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）证明：当k（0，e）时，f（x）0【解答】解：（1）由题意可得f（x）ex-kx，x0，因为x=12是f（x）的极值点，所以f（12）=e-2k=0，所以k=e2，所以f（1）e-e2，又f（1）e-e2，所以曲线yf（
23、x）在（1，f（1）处的切线方程为y=(e-e2)x；（2）证明：因为k（0，e），则1k(1e，+)，所以f(x)k=exk-lnx-1exe-lnx-1，设g（x）=exe-lnx-1，则g（x）=exe-1x，当x（0，1）时，g（x）0，当x（1，+）时，g（x）0，所以函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，则g（x）g（1）0，故f(x)k0，即f（x）021（12分）已知抛物线：x22py（p0）的焦点F与双曲线2y22x21的一个焦点重合（1）求抛物线的方程；（2）过点F作斜率不为0的直线l交抛物线于A，C两点，过A，C作l的垂线分别与y轴交于B，D，求四边
24、形ABCD面积的最小值【解答】解：（1）由2y22x21要可得双曲线的上焦点为F（0，1），p2=1，p2，抛物线的方程为x24y；（2）设过点F作斜率不为0的直线l的方程为ykx+1，由对称性不妨设k0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+1x2=4y，可得x24kx40，x1+x24k，x1x24，|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=16k2+16，过A与直线l垂直的直线方程为y=-1k（xx1）+y1，令x0，得yB=-1kx1+y1=-1kx1+kx1+1，过C与直线l垂直的直线方程为y=-1k（xx2）+y2，令x0，得yD=-1kx2+y2=-1kx2+kx2
25、+1，|BD|（1k+k）|x1x2|，SABCD=12|BD|x1|+12|BD|x2|=12|BD|x1x2|=12（1k+k）|x1x2|28（1k+k）（k2+1），令y（1k+k）（k2+1）=1k+2k+k3，则y=-1k2+2+3k2=(3k2-1)(k2+1)k2，当k（0，33）时，y0，当k（33，+）时，y0，当k=33时，ymin=1639，故四边形ABCD面积的最小值为12839（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x=-ty=2-t（
26、t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆O的极坐标方程为282（cos+sin）（1）求直线l的普通方程和圆O的直角坐标方程；（2）当2，时，求直线l与圆O的公共点的极坐标【解答】解：（1）直线l的参数方程是x=-ty=2-t（t为参数），转换为普通方程为xy+20；圆O的极坐标方程为282（cos+sin），根据x=cosy=sinx2+y2=2，转换为直角坐标方程为x2+y22x2y80，整理得（x1）2+（y1）210；（2）由于直线与圆相交，故x-y+2=0(x-1)2+(y-1)2=10，由于2，故圆为14个圆，解得：x=-2y=0；转换为极坐标为（2，）选修4-
27、5：不等式选讲23设函数f（x）|3x6|+2|x+1|m（mR）（1）当m2时，解不等式f（x）12；（2）若关于x的不等式f（x）+|x+1|0无解，求m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|3x6|+2|x+1|2，当x1时，f（x）63x2（x+1）225x12，解得x2，此时x2；当1x2时，f（x）63x+2x+226x12，解得x6，此时x；当x2时，f（x）3x6+2x+225x612，解得x185，此时x185所以f（x）12的解集为(-，-2)(185，+)；（2）f（x）+|x+1|0即为|3x6|+3|x+1|m0，关于x的不等式f（x）+|x+1|0无解等价为m3|x2|+3|x+1|恒成立，由3|x2|+3|x+1|3|x2x1|9，当1x2时，取得等号，所以m9，即m的取值范围是（，9）
