1、2022年北京市首师大附中高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1（5分）若全集UR，Ax|x1，Bx|x1，则（）AABBBACBUADUAB2（5分）若复数a+i2i的实部与虚部相等，则实数a（）A1B1C2D23（5分）若alog23，blog32，clog46，则下列结论正确的是（）AbacBabcCcbaDbca4（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+）上单调递减的函数为（）Af（x）x1Bf（x）cosxCf（x）2|x|Df(x)=log12|x|5（5分）已知圆C：（x+1
2、）2+（y1）21与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）Ayx+2-2Byx+1-12Cyx2+2Dyx+1-26（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A78cm3B23cm3C56cm3D12cm37（5分）将函数ysin（2x）（0）的图象沿x轴向左平移6个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（）A6B3C23D568（5分）“m5”是“双曲线C：x2m+y24-m=1的虚轴长为2”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）已知函数f（x）=x-xx0f(x+1)x0
3、其中x表示不超过x的最大整数，（如1.12，3，）若直线yk（x+1）（k0）与函数yf（x）的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A15，14）B13，12）C14，13）D（0，110（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是侧面BB1C1C内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）A三角形AED1的面积无最大值、无最小值B存在点E，满足D1EB1EC存在有限个点E，使得三角形AED1是等腰三角形D三棱锥BAED1的体积有最大值、无最小值二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）11（5分）抛物线y22x的准线方程为 12（5分）已知
4、an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=12，S2a3，则a2 ，Sn 13（5分）（12x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3 14（5分）已知菱形ABCD的边长为1，BAD60，AP=AB(0)当=12时，ACPD= ；当APDP取得最小值时， 15（5分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面（1）若甲声波的数学模型为f1（t）sin200t，乙声波的数学模型为f2（t）sin（200t+）（0），甲、乙
5、声波合成后的数学模型为f（t）f1（t）+f2（t）要使f（t）0恒成立，则的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）f（t）+g（t）已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个y=sin2t；ysin2t；ysin3t；y2sin3t则S1，S2两种声波的数学模型分别是 （填写序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题15分，满分75分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）16（15分）如图，在四棱锥PA
6、BCD中，BC平面PAB，ABCD，若DCDP2，BC=2，AP1，AB3（）求证：APAB；（）求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值17（15分）在ABC中，3sinA+cosA=3，b23再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）tan2A的值；（）c和面积S的值条件：a2，b2a2+c2；条件：3a2c，c318（15分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775
7、732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（）从应聘E岗位的6人中随机选择2人记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位（只需写出结论）19（15分）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为32的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与定点
8、M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1，O为坐标原点（）求椭圆G的方程；（）求证：直线AB经过定点（0，2）20（15分）已知函数f（x）ax2+（x22x+2）ex（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若0为函数f（x）的极小值点，求a的取值范围；（）曲线yf（x）是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时a的值，若不存在，请说明理由2022年北京市首师大附中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1（5分）若全集UR，Ax|
9、x1，Bx|x1，则（）AABBBACBUADUAB【解答】解：RAx|x1，RBx|x1，RAB，故选：D2（5分）若复数a+i2i的实部与虚部相等，则实数a（）A1B1C2D2【解答】解：复数a+i2i=-i(a+i)-2i2=1-ai2=12-a2i的实部与虚部相等，12=-a2，解得a1故选：A3（5分）若alog23，blog32，clog46，则下列结论正确的是（）AbacBabcCcbaDbca【解答】解：alog23=lg3lg21，blog32=lg2lg31，clog46=lg6lg4=lg3+lg22lg2lg3+lg32lg2=lg3lg2，故有 bca，故选：D4（5
10、分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+）上单调递减的函数为（）Af（x）x1Bf（x）cosxCf（x）2|x|Df(x)=log12|x|【解答】解：A函数f（x）x1是奇函数，不满足条件B函数f（x）cosx是偶函数，但在（0，+）上不是单调函数不满足条件C函数f（x）2|x|是偶函数，在（0，+）上是单调递增函数，不满足条件D函数f(x)=log12|x|是偶函数，在（0，+）上是单调递减函数，满足条件，故选：D5（5分）已知圆C：（x+1）2+（y1）21与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（）Ayx+2-2Byx+1-12Cyx2+2
11、Dyx+1-2【解答】解：由题意，M为直线yx与圆的一个交点，代入圆的方程可得：（x+1）2+（x1）21劣弧AB的中点为M，x=22-1，y=1-22，过点M的圆C的切线的斜率为1，过点M的圆C的切线方程是y1+22=x-22+1，即yx+2-2故选：A6（5分）若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A78cm3B23cm3C56cm3D12cm3【解答】解：由三视图可知该几何体为正方体去掉一个三棱柱得到的几何体正方体的棱长为1，去掉的三棱柱底面为等腰直角三角形，直角边为12，棱柱的高为1，棱柱的体积为1212121=18剩余几何体的体积为13-18=78故选：A7
12、（5分）将函数ysin（2x）（0）的图象沿x轴向左平移6个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（）A6B3C23D56【解答】解：将函数ysin（2x）（0）的图象沿x轴向左平移6个单位后得到ysin2（x+6）sin（2x+3-）的图象，根据所得图象关于原点对称，可得3-k，kz，=3，故选：B8（5分）“m5”是“双曲线C：x2m+y24-m=1的虚轴长为2”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当m5时，双曲线为x25-y21=1，b1，虚轴长为2b2，充分性成立，若双曲线为x2m+y24-m=1虚轴长为2，当焦点在x轴上时，则m04-
13、m02m-4=2，m5，当焦点在y轴上时，则m04-m02-m=2，m1，m5或m1，必要性不成立，m5是双曲线x2m+y24-m=1虚轴长为2的充分不必要条件故选：A9（5分）已知函数f（x）=x-xx0f(x+1)x0其中x表示不超过x的最大整数，（如1.12，3，）若直线yk（x+1）（k0）与函数yf（x）的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A15，14）B13，12）C14，13）D（0，1【解答】解：函数f（x）=x-xx0f(x+1)x0，函数f（x）是周期为1的函数，且每个区间n，n+1），nZ上均斜率为1，左端点可取、右端点取不到，函数图象如下所示：直线yk（x
14、+1）（k0），直线图象恒过点（1，0），当直线yk（x+1）过点（3，1）时，得k=14；当直线yk（x+1）过点（2，1）时，得k=13；由图象可知，当k14，13）时直线yk（x+1）（k0）与函数yf（x）的图象恰有三个不同的交点故选：C10（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是侧面BB1C1C内的一个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（）A三角形AED1的面积无最大值、无最小值B存在点E，满足D1EB1EC存在有限个点E，使得三角形AED1是等腰三角形D三棱锥BAED1的体积有最大值、无最小值【解答】解：选项A中，边AD1的长度为定值，三角形AED1面
15、积与点E到AD1的距离有关，当点E在线段BC1上时，距离最小，此时面积取得最小值，在端点B1，C处的距离最大，此时面积取得最大值（舍去，端点不可取），所以A不正确；选项B中，若D1EB1E，可得点E在以B1D1中点为球心，2为半径的球面上，因为以B1D1为直径的球面与侧面BB1C1C有交，所以存在点E，满足D1EB1E，所以B正确；选项C中，三角形AED1是等腰三角形，当AED1E时，点E在AD1的中垂面上，且E在侧面BB1C1C上，所以点E的轨迹是线段B1C（不含端点），有无穷多，所以C不正确；选项D中，由VB-AED1=VE-ABD1=13SABD1h，高h不存在最大值（不包含端点）和最小
16、值，所以D不正确故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）11（5分）抛物线y22x的准线方程为x=-12【解答】解：抛物线y22x的准线方程为：x=-p2=-12故答案为：x=-1212（5分）已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=12，S2a3，则a21，Sn14n(n+1)【解答】解：根据an为等差数列，S2a1+a2a3=12+a2；da3a2=12a2=12+12=1Sn=12n+n(n-1)212=14n(n+1)故答案为：1，14n(n+1)13（5分）（12x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a380【解答】解：二项式展开式
17、的通项公式为Tr+1=C5r（2x）r，故x3的系数a3=C53（2）380，故答案为：8014（5分）已知菱形ABCD的边长为1，BAD60，AP=AB(0)当=12时，ACPD=34；当APDP取得最小值时，14【解答】解：取AB中点O，连接DO，四边形ABCD为菱形，BAD60，ABD为等边三角形，得DOAB，则以O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则A（-12，0），C（1，32），D（0，32），B（12，0），当=12时，点P为AB的中点，即为坐标原点O，P（0，0），AC=(32，32)，PD=(0，32)，则ACPD=34；设P（x，y），则AP=(x+12，y)，又AB=
18、(1，0)，x+12=y=0，解得x=-12y=0P（-12，0），AP=(，0)，DP=(-12，-32)，APDP=(-12)=2-12，则当=14时，APDP取得最小值-116故答案为：34；1415（5分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面（1）若甲声波的数学模型为f1（t）sin200t，乙声波的数学模型为f2（t）sin（200t+）（0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）f1（t）+f2（t）要使f（t）0恒成立，则的
19、最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）f（t）+g（t）已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个y=sin2t；ysin2t；ysin3t；y2sin3t则S1，S2两种声波的数学模型分别是（填写序号）【解答】解：（1）由题意可知sin200tsin（200t+），又sin（+）sin，min，（2）当t1时，y=sin2=1，ysin20，ysin30，y2sin30，由图象可知H（1）0，排出，由图象可
20、知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，而的周期相同，一定包含ysin2t，若组合，当t=16时，H（16）sin（216）+2sin（316）=32+23，与图象不符，排除，只能是故答案为：，三、解答题（本大题共5小题，每小题15分，满分75分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。）16（15分）如图，在四棱锥PABCD中，BC平面PAB，ABCD，若DCDP2，BC=2，AP1，AB3（）求证：APAB；（）求直线PC与平面ADP所成的角的正弦值【解答】（）证明：如图，过点D作AB的垂线，垂足为E，因为BC平面PAB，所以BCAB，BCAP，
21、（2分）所以BCDE，因为BC=2，DC=2，AB=3，所以DE=2，AE1，则AD=3，因为AP1，DP2，所以AD2+AP2DP2，（4分）即APAD，因为BC与AD相交，BC、AD平面ABCD，所以AP平面ABCD，AB平面ABCD，所以APAB； （6分）（）解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(1，0，0)，D(0，1，2)，C(0，3，2)，所以AP=(1，0，0)，AD=(0，1，2)，PC=(-1，3，2)，设平面ADP的法向量为n=(x，y，z)，则nAP=0nAD=0，所以x=0y+2z=0，令z=2，则n=(0，-2，2)，所以cosn，PC=nPC|n|
22、PC|=-4623=-23，所以直线PC与平面ADP所成角的正弦值为23 （12分）17（15分）在ABC中，3sinA+cosA=3，b23再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）tan2A的值；（）c和面积S的值条件：a2，b2a2+c2；条件：3a2c，c3【解答】解：因为3sinA+cosA=3所以2sin（A+6）=3，即sin（A+6）=32，又0A，所以6A+676所以A+6=3或A+6=23，得A=6或A=2若选择条件：（）因为a2，b23，所以ab，A不是最大角，得A=6，所以tan2Atan3=3（）由正弦定理asinA=bsinB，可得2sin6=23sinB
23、所以sinB=32，因为b2a2+c2，所以cosB=a2+c2-b22ac0，所以2B，所以B=23，C=6，所以ca2，S=12absinC=3若选择条件：（）因为3a2c，c3，所以a=2c363=23=b，且ac，所以A是最大角，得A=2，所以tan2Atan0（）由正弦定理asinA=csinC（或直接利用casinC），及3a2c，A=2，可得sinC=32，因为0C2，所以C=3，B=6，又bc=tanB，所以c=2333=6，S=12bc6318（15分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男
24、性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（）从应聘E岗位的6人中随机选择2人记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，
25、请写出这四种岗位（只需写出结论）【解答】解：（）因为表中所有应聘人员总数为533+4671000，被该企业录用的人数为264+169433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P=4331000（）X可能的取值为0，1，2因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以P(X=0)=C22C62=115；P(X=1)=C21C41C62=815；P(X=2)=C42C62=25所以X 的分布列为：X012P115 815 25 E(X)=0115+1815+225=43（）取掉A岗位后，男性的总录用比例为264-167533-26936.7%，女性的总录用比
26、例为169-24467-4034.0%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近这四种岗位是：B、C、D、E19（15分）已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为32的椭圆经过点M（2，1），动点A，B（不与定点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1，O为坐标原点（）求椭圆G的方程；（）求证：直线AB经过定点（0，2）【解答】解：（）设椭圆G：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32，所以ca=32，又因为a2b2+c2，所以a24b2，由定点M（2，1）在椭圆上可得4a2+1b2=1，解得b22，a28，所以椭圆G的方程为x28+y22=1；（）证明：当直线AB与x轴垂直时，设A
27、（s，t）（s1），则B（s，t），由题意得：t-1s-2+-t-1s-2=1，即s0，所以直线AB的方程为x0；当直线AB不与x轴垂直时，可设直线AB为ykx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将ykx+m代入x28+y22=1，得（1+4k2）x2+8kmx+4m280，所以x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-81+4k2，由直线MA与MB的斜率之和为1可得y1-1x1-2+y2-1x2-2=1 （1），将y1kx1+m和y2kx2+m代入（1），并整理得（2k1）x1x2+（m2k+1）（x1+x2）4m0 （2），将x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-
28、81+4k2 代入（2），并整理得，m2+（2k+1）m+4k20，分解因式可得，（2k+m1）（m+2）0，因为直线AB：ykx+m不经过点M（2，1），所以2k+m10，故 m2所以直线AB的方程为ykx2，经过定点（0，2）综上所述，直线AB经过定点（0，2）20（15分）已知函数f（x）ax2+（x22x+2）ex（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）若0为函数f（x）的极小值点，求a的取值范围；（）曲线yf（x）是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时a的值，若不存在，请说明理由【解答】解：（）f（x）2ax+（x22x+2+2x2）ex
29、2ax+x2ex，f（0）0，f（0）2，所以曲线yf（x）的切线为y2（）f（x）2ax+x2exx（2a+xex），设g（x）xex，则g（x）（x+1）ex，当x1时g（x）0，即函数g（x）在1，+）上单调递增，且g（0）0，当a0时f（x）x2ex0，函数f（x）在R上单调递增，无极值，不符；当a0时，由函数g（x）得性质可知：存在x10，当x（0，x1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减，与0为函数f（x）的极小值点矛盾，不符；当a0时，由函数g（x）的性质可知：存在x20，当x（x2，0）时，f（x）0，f（x）单调递减，又因为当x（0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，所以0为函数f（x）的极小值点，符合综上有a（0，+）（ III）不存在，理由如下：设h（x）（x22x+2）ex，由（）可知函数h（x）在R上单调递增，假设曲线yf（x）存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为（x0，y0），（x0，y0），其中x00，由f（x0）f（x0）得：h（x0）h（x0），与h（x）在R上单调递增矛盾，所以曲线yf（x）不存在两个不同的点关于y轴对称
