1、2022年湖北省七市（州）高考数学调研试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Px|x1，且xN，Qx|2x8，则PQ（）Ax|1x4Bx|1x3C1，2D1，2，32（5分）欧拉公式eicos+isin（e为自然对数的底数，i为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则ei（）A1B1CiDi3（5分）抛物线y22px（p0）上一点M（3，y）到焦点F的距离|MF|4，则抛物线的方程为（）Ay28xBy24
2、xCy22xDy2x4（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160cm，165cm，170cm则下列说法正确的是（）A高三年级抽取的学生数为32人B高二年级每个学生被抽取到的概率为1100C所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大D所有学生的平均身高估计要小于165cm5（5分）函数f(x)=sinx-3cosx，先把函数f（x）的图像向左平移3个单位，再把图像上各点的横坐标
3、缩短到原来的12得到函数g（x）的图像，则下列说法错误的是（）A函数g（x）是奇函数，最大值是2B函数g（x）在区间(-6，3)上单调递增C函数g（x）的图像关于直线x=4+k(kZ)对称D是函数g（x）的周期6（5分）已知|AB|3，|BC|2，|AB-3BC|6，则|AB+CB|（）A4B10C10D167（5分）已知ae0.02，b0.01，cln1.01，则（）AcabBbacCabcDbca8（5分）若将整个样本空间想象成一个11的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积则如图所示的涂色部分的面积表示（）A事件A发生的概率B事件B发生的概率C事件B不发
4、生条件下事件A发生的概率D事件A、B同时发生的概率二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）|x|+|x|12-cosx，则下列说法正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）在（0，+）上单调递减Cf（x）是周期函数Df（x）1恒成立（多选）10（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.8+1.5M，则下列说法正确的是（）A地震释放的能量为1015.3
5、焦耳时，地震里氏震级约为七级B八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D记地震里氏震级为n（n1，2，9，10），地震释放的能量为an，则数列an是等比数列（多选）11（5分）已知直线l：kxyk+10，圆C的方程为（x2）2+（y+2）216，则下列选项正确的是（）A直线l与圆一定相交B当k0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则MNE面积的最大值为37C当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为26D若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48（多选）12（5分）已知三棱锥SAB
6、C的底面是边长为a的正三角形，SA平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）若SA=a2，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为1，2，3，点P到AB，AC，BC的距离分别为d1，d2，d3，那么（）Ad1+d2+d3为定值Bd1+d2+d3为定值C若sin1，sin3，sin2成等差数列，则d1+d2为定值D若sin1，sin3，sin2成等比数列，则d1+d2为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若sin（4-）=13，则cos2sin+cos= 14（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F关于它的一条渐近线的对
7、称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为 15（5分）已知函数f（x）x+1x（x0），若f(x)(f(x)2+a的最大值为25，则正实数a 16（5分）若函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2，当x1x2D时，都有f（x1）f（x2）D，则称函数f（x）是关于D关联的已知函数f（x）是关于4关联的，且当x4，0）时，f（x）x2+6x则：当x0，4）时，函数f（x）的值域为 ；不等式0f（x）3的解集为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=3Sn-2(nN*)（1）求数列an的通项公式；（
8、2）求证：对任意的mN*，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列18（12分）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosCb-c2=0（1）求A；（2）若a=3，求b+2c的取值范围19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E，F分别为线段PB，BC上的动点（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF平面PBC；（2）若BE=2BF，且平面AEF与平面PBC所成角的弦值为714，试确定点F的位置20（12分）微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛甲，乙两单位
9、在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45，乙单位全部答对的概率为23，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率21（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点A（0，1），且右焦点为F（1，0
10、）（1）求C的标准方程；（2）过点（0，12）的直线l与椭圆C交于两个不同的点PQ，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点22（12分）已知函数f(x)=lnx+2x-2，g（x）xlnxax2x+1（1）证明：函数f（x）在（1，+）内有且仅有一个零点；（2）假设存在常数1，且满足f（）0，试讨论函数g（x）的零点个数2022年湖北省七市（州）高考数学调研试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）已知集合Px|x1，且xN，Qx|2x8，则PQ（）A
11、x|1x4Bx|1x3C1，2D1，2，3【解答】解：集合Px|x1，且xN1，2，3，4，5，Qx|2x8x|x3，PQ1，2，3故选：D2（5分）欧拉公式eicos+isin（e为自然对数的底数，i为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则ei（）A1B1CiDi【解答】解：eicos+isin1故选：A3（5分）抛物线y22px（p0）上一点M（3，y）到焦点F的距离|MF|4，则抛物线的方程为（）Ay28xBy24xCy22xDy2x【解答】解：抛物线y22px（p0）上一点M（3，y）到
12、焦点F的距离|MF|4，可得：3+p2=4，解得p2，所以抛物线方程为：y24x故选：B4（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160cm，165cm，170cm则下列说法正确的是（）A高三年级抽取的学生数为32人B高二年级每个学生被抽取到的概率为1100C所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大D所有学生的平均身高估计要小于165cm【解答】解：高三年级抽取的学生数为328
13、001600=16人，故选项A错误；高二年级每个学生被抽取到的概率为321600=150，故选项B错误；所有年级中，每个学生被抽取到的概率相同，故选项C错误；1600+1100+8003500，所有学生的平均身高估计值为16016003500+16511003500+1708003500163.9，故选项D正确；故选：D5（5分）函数f(x)=sinx-3cosx，先把函数f（x）的图像向左平移3个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数g（x）的图像，则下列说法错误的是（）A函数g（x）是奇函数，最大值是2B函数g（x）在区间(-6，3)上单调递增C函数g（x）的图像关于直线x=
14、4+k(kZ)对称D是函数g（x）的周期【解答】解：f(x)=sinx-3cosx=2sin（x-3），把函数f（x）的图象向左平移3个单位，得到y2sinx的图象，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数g（x）2sin2x的图象，对于A：函数g（x）为奇函数，函数的最大值为2，故A正确；对于B：当x(-6，3)，所以2x(-3，23)，故函数在该区间上不单调，故B错误；对于C：当x=4+k(kZ)，2x2k+2（kZ），对称，故C正确；对于D：根据函数g（x）的性质，函数的最小正周期为，故D正确故选：B6（5分）已知|AB|3，|BC|2，|AB-3BC|6，则|AB+CB|（）A4
15、B10C10D16【解答】解：根据题意，设AB与CB的夹角为，若|AB|3，|BC|2，|AB-3BC|6，即|AB+3CB|6，则有（AB+3CB）2=AB2+9CB2+36ABCB=9+36+36cos36，变形可得cos=-14，故（AB+CB）2=AB2+CB2+2ABCB=9+4310，所以|AB+CB|=10；故选：B7（5分）已知ae0.02，b0.01，cln1.01，则（）AcabBbacCabcDbca【解答】解：e0.02e-12=1e130.01，ab，设f（x）ex1x，则f（x）ex1，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0.01）f（0），即e0.011.01
16、，0.01ln1.01，bc，abc，故选：C8（5分）若将整个样本空间想象成一个11的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积则如图所示的涂色部分的面积表示（）A事件A发生的概率B事件B发生的概率C事件B不发生条件下事件A发生的概率D事件A、B同时发生的概率【解答】解：由图可知：如图所示的涂色部分的面积表示“事件B不发生条件下事件A发生的概率”与“事件B发生条件下事件A发生的概率”的和事件，即如图所示的涂色部分的面积表示事件A发生的概率，故选：A二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选
17、对的得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）|x|+|x|12-cosx，则下列说法正确的是（）Af（x）是偶函数Bf（x）在（0，+）上单调递减Cf（x）是周期函数Df（x）1恒成立【解答】解：f（x）|x|+|x|12-cos（x）|x|+|x|12-cosxf（x），则f（x）是偶函数，故A正确，当x0时，f（x）x+x12-cosx，f（x）1+12x+sinx0恒成立，即f（x）在（0，+）上为增函数，故B错误，f（x）在（0，+）上为增函数，f（x）不可能是周期函数，故C错误，f（x）在0，+）上为增函数，f（x）f（0）0+011，故D正确，故选：AD（多选）1
18、0（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE4.8+1.5M，则下列说法正确的是（）A地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D记地震里氏震级为n（n1，2，9，10），地震释放的能量为an，则数列an是等比数列【解答】解：选项A：当E1015.3时，则lg1015.34.8+1.5M，即15.34.8+1.5M，解得M7，故A正确，选项B：当M8时，lgE4.8+1
19、.5816.8，所以E1016.8，则1016.81015.3=101.510，故B错误，选项C：当M6时，lgE4.8+1.5613.8，则1016.81013.8=103=1000，故C正确，选项D：由题意可得an=104.8+1.5n，则an+1an=104.8+1.5(n+1)104.8+1.5n=101.5是一个常数，则数列an为等比数列，故D正确，故选：ACD（多选）11（5分）已知直线l：kxyk+10，圆C的方程为（x2）2+（y+2）216，则下列选项正确的是（）A直线l与圆一定相交B当k0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则MNE面积的最大值为37C当l与
20、圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为26D若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48【解答】解：直线l：kxyk+10过定点P（1，1），（12）2+（1+2）21016，点P在圆内，因此直线与圆一定相交，故A正确；当k0时，直线y1，代入圆的方程得（x2）2+（1+2）216，x27，因此|MN|27，圆心为（2，2），圆半径为r4，圆心到直线l的距离为d3，因此E到直线l的距离的最大值为h4+37，MNE面积的最大值为S=12727=77，故B错误；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小时，PCl，|PC|=(1-2)2+(1+2)2=10，因此|MN
21、|min242-(10)2=26，故C正确；在圆方程（x2）2+（y+2）216中分别令x0和y0可求得圆与坐标轴的交点坐标为A（223，0），B（2+23，0），C（0，2+23），D（0，223），|AB|43，|CD|43，四边形ABCD的面积为S=124343=24，故D错误故选：AC（多选）12（5分）已知三棱锥SABC的底面是边长为a的正三角形，SA平面ABC，P为平面ABC内部一动点（包括边界）若SA=a2，SP与侧面SAB，侧面SAC，侧面SBC所成的角分别为1，2，3，点P到AB，AC，BC的距离分别为d1，d2，d3，那么（）Ad1+d2+d3为定值Bd1+d2+d3为定值
22、C若sin1，sin3，sin2成等差数列，则d1+d2为定值D若sin1，sin3，sin2成等比数列，则d1+d2为定值【解答】解：如图，作PDAB，PEAC，PFBC，由题意，根据等面积法得SABP+SACP+SBCPSABC，12ad1+12ad2+12ad3=34a2，d1+d2+d3=32a，是定值，故A错误，B正确；SA平面ABC，SAPE，SAPD，PDAB，PEAC，SAABA，SAACA，PD平面SAB，PE平面SAC，设点P到平面SBC的距离为h，由等体积法知：VPSAB+VPSAC+VPSBCVSABC，即13d112a2a+13d2a2a+13h12aa=13a234
23、a2，d1+d2+2h=32a，sin1=d1SP，sin2=d2SP，sin3=hSP，sin1，sin3，sin2成等差数列，2sin3sin1+sin2，2hd1+d2，d1+d2=34d为定值，故C正确；若sin1，sin2，sin3成等比数列，即sin23sin1sin2，h2d1d2，（d1+d2）2=d1+2d1d2+d2=d1+2h+d2=32a为定值，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）若sin（4-）=13，则cos2sin+cos=23【解答】解：因为sin（4-）=22cos-22sin=22（cossin）=13，所以cos
24、sin=23，则cos2sin+cos=cos2-sin2sin+cos=(cos+sin)(cos-sin)sin+cos=cossin=23故答案为：2314（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点F关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为 2【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），渐近线方程为ybax，设F关于y=bax的对称点为（m，-bam），由题意可得bmac-m=-ab，（*）且12（0-bam）=12ba（m+c），可得m=-12c，代入（*）可得b23a2，c2a2+b24a2，则离心
25、率e=ca=2故答案为：215（5分）已知函数f（x）x+1x（x0），若f(x)(f(x)2+a的最大值为25，则正实数a1【解答】解：x0，f（x）x+1x2（当且仅当x1时，等号成立），令f（x），2，则f(x)(f(x)2+a=2+a=1+a，f(x)(f(x)2+a的最大值为25，+a52，令g（）+a（2），当0a4时，g（）+a在2，+）上是增函数，则2+a2=52，解得a1，当a4时，g（）+a在2，a上是减函数，在a，+）上是增函数，故g（）ming（a）2a4，故不存在a值；综上所述，a1故答案为：116（5分）若函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2，当x1x2D时
26、，都有f（x1）f（x2）D，则称函数f（x）是关于D关联的已知函数f（x）是关于4关联的，且当x4，0）时，f（x）x2+6x则：当x0，4）时，函数f（x）的值域为 5，4）；不等式0f（x）3的解集为 （5+1，22+1）（6，7）【解答】解：函数f（x）是关于4关联的，当x1x24时，都有f（x1）f（x2）4，即f（x）f（x4）+4，当x0，4）时，x44，0），f（x）f（x4）+4（x4）2+6（x4）+4（x1）25，0x4，5（x1）254，故函数f（x）的值域为5，4）；f（x）f（x4）+4，f（x4）f（x）4，当x0时，f（x）440，故不等式0f（x）3在（，0）
27、上无解；当x0，4）时，f（x）（x1）25，不等式0f（x）3可化为0（x1）253，解得5+1x22+1，当x4，8）时，f（x）（x5）21，不等式0f（x）3可化为0（x5）213，解得6x7，当x8时，f（x）1+43，故不等式0f（x）3在8，+）上无解；综上所述，不等式0f（x）3的解集为（5+1，22+1）（6，7）故答案为：5，4）；（5+1，22+1）（6，7）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=3Sn-2(nN*)（1）求数列an的通项公式；（2）求证：对任意的mN*，Sm，S
28、m+2，Sm+1成等差数列【解答】解：（1）由an3Sn2，得an13Sn12（n2），两式相减得anan13Sn2（3Sn12）3an，即an=-12an1（n2），又当n1时，a13S12，得a11，当n2时，a23（a1+a2）2，得a2=-12，满足a2=-12a1，所以an是以1为首项，以-12为公比的等比数列，所以an（-12）n1；（2）由（1）可知Sm=1-(-12)m1-(-12)=231（-12）m，则Sm+1=231（-12）m+1，Sm+2=231（-12）m+2，所以Sm+Sm+1=231（-12）m+231（-12）m+1=431（-12）m+2，所以Sm+Sm+1
29、2Sm+2，所以对任意的mN*，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列18（12分）在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosCb-c2=0（1）求A；（2）若a=3，求b+2c的取值范围【解答】解：（1）因为acosCb-c2=0，由余弦定理得，aa2+b2-c22ab-b-c2=0，整理得，b2+c2a2bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc=-12，由A为三角形内角，得A=23；（2）由正弦定理得，bsinB=csinC=asinA=332=2，所以b2sinB，c2sinC，B(0，3)，所以b+2c2sinB+4sinC2sinB+4sin（3-B）23c
30、osB（3，23），故b+2c的取值范围为（3，23）19（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E，F分别为线段PB，BC上的动点（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF平面PBC；（2）若BE=2BF，且平面AEF与平面PBC所成角的弦值为714，试确定点F的位置【解答】（1）证明：由PA底面ABCD，可得PABC，又在正方形ABCD中，BCAB，且PAABA，则BC平面PAB，有BCAE，由PAAB，E为线段PB的中点，可得AEPB，又PBBCB，则AE平面PBC，从而平面AEF平面PBC；（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP
31、分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），由（1）可知n=（12，0，12）为平面PBC的法向量，由BE=2BF，可知EFPC，设BF=BC，BE=BP，则BF=（0，1，0），BE=（1，0，1），可得AF=BE=AB+BF=（1，0），AE=AB+AB=（1，0，），设平面AEF的一个法向量为m=（x，y，z），则mAF=0mAE=0，即x+y=0(1-)x+z=0，令y1，则x，z1，平面AEF的一个法向量为m=（，1，1），|cosn，m|=|mn|m|n|=|1-2|222-
32、2+2=714，解得=13或=23，即F为BC的三等分点处20（12分）微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45，乙单位全部答对的概率为23，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的
33、分布列和期望；（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率【解答】解：（1）由题意X的取值可能为1，0，1，则P(X=-1)=(1-45)23=215，P(X=0)=(1-45)(1-23)+4523=35，P(X=1)=45(1-23)=415，那么X的分布列为： X1 0 1 P 215 35 415E(X)=-1215+035+1415=215；（2）第三轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）：1，1，1，；1，1，0；1，1，1；1，0，0；所以P=(215)3+C32(215)235+C32(215)2415+C32
34、(35)2215=2613521（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）经过点A（0，1），且右焦点为F（1，0）（1）求C的标准方程；（2）过点（0，12）的直线l与椭圆C交于两个不同的点PQ，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点【解答】（1）解：由题意可得c1，b1从而a22所以椭圆的标准方程为x22+y2=1（2）证明：由题意直线l斜率存在，可设直线l：y=kx+12，设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l代入椭圆方程得（4k2+2）x2+4kx30，所以x1+x2=-4k4k2+2，x1，x2=-34k2+2，直线AP
35、的方程为y=y1-1x1x+1，直线AQ的方程为y=y2-1x2x+1可得M(-x1y1-1，0)，N(-x2y2-1，0)，以MN为直径的圆方程为，(x+x1y1-1)(x+x2y2-1)+y2=0，即x2+y2+(x1y1-1+x2y2-1)x+x1x2(y1-1)(y2-1)=0因为x1x2(y1-1)(y2-1)=x1x2(kx1-12)(kx2-12)=4x1x24k2x1x2-2k(x1+x2)+1=-12-12k2+8k2+4k2+2=-6所以在中令x0，得y26，即以MN为直径的圆过y轴上的定点(0，6)22（12分）已知函数f(x)=lnx+2x-2，g（x）xlnxax2x
36、+1（1）证明：函数f（x）在（1，+）内有且仅有一个零点；（2）假设存在常数1，且满足f（）0，试讨论函数g（x）的零点个数【解答】解：（1）证明：f(x)=1x-2x2=x-2x2，令f（x）0，则x2，所以，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）单调递增，因为f（1）0，f（2）ln210，f(e2)=2+2e2-20，结合单调性，f（x）在（1，+）有且只有一个零点；（2）令g（x）0，即xlnxax2x+10，从而有ax=lnx-1+1x，则(x)=lnx-1+1x（x0），从而g（x）的个数等价于yax与（x）图像的交点个数，(x)=
37、1x-1x2=x-1x2，令（x）0，得x1，所以（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，且（x）max（1）0，当a0时，yax图像与（x）图像有一个交点，当a0时，yax图像经过二、四象限，与（x）图像无交点，当a0时，yax图像经过一、三象限，与（x）图像至少有一个交点，当yax图像（x）相切时，设切点x0，则a=1x0-1x02ax0=lnx0-1+1x0，即有lnx0+2x0-2=0，从而x0，此时a=1-12=-120，所以，当a=-12时，yax图像与（x）图像有两个交点，当0a-12时，yax图像与（x）图像有三个交点，当a-12时，yax图像与（x）图像有一个交点，综上所述，当a0时，g（x）没有零点，当0a-12时，g（x）有三个零点，当a=-12时，g（x）有两个零点，当a-12或a0时，g（x）没有零点
