1、目 录录3.3 傅里叶傅里叶变换变换3.1 周期信周期信号号的傅里叶的傅里叶级数级数分析分析3.2 典型周期信典型周期信号号的的傅里叶傅里叶级数级数3.4 典型非周期信典型非周期信号号的傅里叶的傅里叶变换变换3.5 傅里叶傅里叶变换变换的基本性的基本性质质3.6 周期信周期信号号的傅里叶的傅里叶变换变换3.7 取取样样信信号号的傅里叶的傅里叶变换变换3.8 系系统统的的频频域分析域分析3.9 信信号号的的传输传输3.1 周期信号号的傅里叶级数级数分析 从本章起，我们由从本章起，我们由时域分析时域分析进入进入频域分析频域分析，在频域分析中，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周
2、期信号的首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 任何周期函数在满足任何周期函数在满足狄义赫利狄义赫利的条件下，可以展成正交函的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集三角函数集或或指数函数集指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级傅里叶级数数”。3.1.1 三三角形式的傅里叶级数级数设设周期信周期信号为
3、号为f(t), 其重其重复复周期是周期是T1,角角频频率率11122Tf1110)sincos()(nnntnbtnaatf100)(110TttdttfTa其中其中10011cos)(2TttntdtntfTa10011sin)(2TttntdtntfTb推推导导f(t)f(t)分解分解为为不同不同频频率率三三角函角函数数线线性性组组合的无合的无穷穷级数级数。基波，二次谐波基波，二次谐波.n.n次谐波次谐波傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。三角形式的傅里叶级数也可表示成：011( )cos()nnnf tccn t（2）其中22200arctan()nn
4、nnnnbcabcaaan为 的偶函数， 为 的奇函数1n1nnbcn为 的偶函数， 为 的奇函数1n1nn1110)sincos()(nnntnbtnaatf例例题题 求求题图题图所示的周期矩形信所示的周期矩形信号号的三角形式傅里叶的三角形式傅里叶级数级数。解：解：一个周期内 的表达式为：)(tf11122202)(TtTETtEtf0)(11010TdttfTa0cos)(21011TntdtntfTa6 , 4 , 205 , 3 , 12sin)(21011nnnEtdtntfTbTn2E2E21T21T0)(tft1T因此)5sin513sin31(sin2sin12)(1115,
5、3, 11ttEtnnEtfn3.1.2 指数数形式的傅里叶级数级数)(21nnjnnjbaeFFn1( )jntnnf tF ennnncbaF212122)(arctannnnab011011( )tTjntntFf t edtT其中FnFn与与nwnw1 1形成函数关系形成函数关系f(t)f(t)分解分解为为不同不同频频率率指指数数函函数数线线性性组组合合的无的无穷级数穷级数。 f(t) Fn建立一一对应关系。建立一一对应关系。 例题例题：如图所示信号：如图所示信号f(t)f(t)的指数形式的傅里叶级数。的指数形式的傅里叶级数。2/2/11jnweTEtjnw-Ts-TsTsTs- -
6、/2 /2 /2/2t tE E分析：要求级数只要确定了系数分析：要求级数只要确定了系数FnFn即可。即可。解：解：dtetfTFntjnwTT12/2/)(1dteETtjnw12/2/112/2/2211jnweeTEjnwjnw) 2/(2/) 2/sin(111nwSaTEnwnwTEntjnwntjnwnenwSaTEeFtf11)2/()(112/2/11jnweeTEjnwjnw 例题例题：已知信号：已知信号f(t)=cos100t,f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数求指数形式的傅里叶级数系数FnFn。1n0Fn ，其余解：解：)(21)(100100tjtje
7、etf,2111FF所以 例题例题：已知指数形式的傅里叶级数系数：已知指数形式的傅里叶级数系数FnFn如图所示，求信号如图所示，求信号f(tf(t) )解：解：1, 3, 322110FFFFF所以- 2w1- 2w12w2w1 1-w-w1 1 w w1 1nw1nw1FnFn3 33 31 1tjwtjwtjwtjwntjnwneeeeeFtf11111333)(twtw112cos2cos633.1.3 周期信号号的频谱频谱及其特点1. 周期信周期信号号的的频谱频谱ntjnneFtf1)(（3）1110)sincos()(nnntnbtnaatf（1）110)cos()(nnntncct
8、f（2） f(t) Fn建立一一对应关系。建立一一对应关系。 不同时域信号对应的不同时域信号对应的FnFn不同，因此可以通过研究不同，因此可以通过研究FnFn来研究来研究信号的特性。信号的特性。FnFn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位变化规律称为度和相位变化规律称为频谱函数频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对。可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为信号的大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱幅度频谱和和相位频谱。相位频谱。 例题例题：已知信号：已知信号f(t)=cos100t,f(t)=cos100t,
9、求其频谱求其频谱FnFn。1n0Fn ，其余解：解：)(21)(100100tjtjeetf,2111FF所以 例题例题：已知信号：已知信号f(tf(t) )的频谱的频谱FnFn如图所示，求信号如图所示，求信号f(tf(t) )。解：解：1, 2, 222110FFFFF所以- 2w1- 2w12w2w1 1-w-w1 1 w w1 1nw1nw1FnFn2 22 21 1tjwtjwtjwtjwntjnwneeeeeFtf11111222)(twtw112cos2cos42-w-w1 1 w w1 1nw1nw1FnFn0.50.5例例题题 求求题图题图所示的周期矩形信所示的周期矩形信号号指
10、指数数形式的傅里叶形式的傅里叶级数级数，并画并画出出频谱图频谱图。解：一个周期内 的表达式为：)(tf11122202)(TtTETtEtf2E2E21T21T0)(tft1T111133( )33j tjtj tjtjEjEjEjEf teeeedtetfTFnTTtjnw221)(1(1,3,5)2(1, 3, 5)2nnn (1, 3, 5)nEFnn nFE3E5E113151131522n1513111315幅度幅度频谱频谱和和相位相位频谱频谱离散性离散性谐谐波性波性收收敛敛性性频谱频谱的特点的特点2. 周期信周期信号频谱号频谱的特点的特点（1）离散性）离散性 - 频谱频谱是离散的而
11、不是是离散的而不是连续连续的，的，这种频谱称这种频谱称为为 离散离散频谱频谱（2）谐谐波性波性 - 谱线谱线出出现现在基波在基波频频率率 的整的整数数倍上。倍上。1（3）收）收敛敛性性 - 幅度幅度谱谱的的谱线谱线幅度幅度随随着着 而逐而逐渐渐 衰衰减减到零。到零。n3.1.4 波形的波形的对称对称性性与谐与谐波特性的波特性的关关系系如果如果f(t)是是实实函函数数而且而且它它的波形的波形满满足某足某种对称种对称性，性，则则在傅里叶在傅里叶级级数数中有些中有些项将项将不出不出现现，留下的各，留下的各项项系系数数的表示式也的表示式也将变将变得比得比较较简单简单。（1）偶函）偶函数数)()(tft
12、f20112211111cos)(4cos)(2TTTntdtntfTtdtntfTa1121122( ) sin0TTnbf tntdtT 所以，在偶函所以，在偶函数数的傅里叶的傅里叶级数级数中不中不会会有正弦有正弦项项，只可，只可能含有（直流）和余弦分量。能含有（直流）和余弦分量。2012210111)(2)(1TTTdttfTdttfTa（2）奇函）奇函数数)()(tftf1112211011224( )sin( )sinTTTnbf tntdtf tntdtTT在奇函在奇函数数的傅里叶的傅里叶级数级数中不中不会会含有直流含有直流与与余弦分量，只可能包含余弦分量，只可能包含正弦分量。正弦
13、分量。（3）奇）奇谐谐函函数数)()2(1tfTtf或)()2(1tfTtf1120121( )0TTaf t dtT1121122( )cos0TTnaf tntdtT（3）奇）奇谐谐函函数数)()2(1tfTtf)(tft21T1T21T例如)2(1Ttft21T1T21T)()2(1tfTtft21T1T21T)5 , 3 , 1(cos)(4)6 ,4,2(020111ntdtntfTnaTn20111)5 , 3 , 1(sin)(4)6 ,4,2(0TnntdtntfTnb 可可见见，在奇，在奇谐谐函函数数的傅里叶的傅里叶级数级数中，只中，只会会含有基波和奇含有基波和奇次次谐谐波的
14、正弦、余弦分量，而不波的正弦、余弦分量，而不会会包含直流和偶次包含直流和偶次谐谐波分量。波分量。00a3.2 典型周期信号号的频谱频谱3.2.1 周期矩形脉冲信周期矩形脉冲信号号(1) 周期矩形脉冲信周期矩形脉冲信号号的傅里叶的傅里叶级数级数t)(tf2221T21T1T1TE120120102)(21TEEdtTdttfTaT0nb11221100111442( )coscosSa()2TnnnEaf tntdtEntdtcTTT111112( )Sa()cos2nnEEf tntTT f(t)的指数形式的傅里叶级数为（2）频谱图频谱图dtetfTFnTTtjnw221)(1dteTtjnw
15、2211)2(1nwSaTEntjnwntjnwenwSaTEFnetf11)2()(1)2(1nwSaTEFn nF41ETE11224时当41T一般情一般情况况： 若nT11则第一第一个个零零值值点之点之内内或或两个两个相相邻邻的零的零值值点之点之间间有有n-1根根谱线谱线。有效有效带宽带宽：2B或或1fB结论结论：矩形脉冲的矩形脉冲的频带宽频带宽度度与与脉冲脉冲宽宽度成反比。度成反比。（3）频谱结构与频谱结构与波形波形参数参数的的关关系系（T1, ） 1. 若若 不不变变， 扩扩大一倍，即大一倍，即 1T8411TTt)(tf12TE1TnF4E124t)(tfE1TnF8E124 2.
16、若 不变， 减小一半，即 1T8411TTt)(tf12TE1TnF4E124t)(tf12TE1TnF8E12 谱线间谱线间隔隔 只只与与周期周期T1 有有关关，且，且与与T1T1成反比；零成反比；零值值点点频频率率 只只与与 有有关关，且，且与与 成反比；而成反比；而谱线谱线幅度幅度与与 和和 都有都有关关系，且系，且与与 成反比成反比与与 成正比成正比。)2(11T21T1T3.2.2 周期周期锯齿锯齿脉冲信脉冲信号号E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2111sin1) 1()(nntnnEtf 周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。tnnnEEtfn
17、11222cos2sin142)(3.2.3 周期三角脉冲信周期三角脉冲信号号 周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。2/1 nEf(t)t-T1-T1/2T1/2T13.3 傅里叶变换变换t)(tf2221T21T1T1TE1Tt)(tf22E1T1T112T谱线间隔0211T0谱线间隔周期信号的离散谱非周期信号的连续谱由于,1T0)(1221111TTtjnndtetfTF频谱频谱密度函密度函数数22111111)(limlimTTtjnTnTdtetfTF连续频率离散频率时，当11nT则dtetfTFtjnT)(lim11- - 非周期信非周期信号号
18、f(t) 的的傅里傅里叶叶变换变换记为记为)(jFF f(t)dtetftj)()(F)(tf- 傅里叶逆傅里叶逆变换变换dejFjFtj)(21)(F 1)(F)(F)(- - 相位相位谱谱周期信周期信号号：ntjnneFtf1)(1001)(11TtttjnndtetfTF- 连续谱- 离散谱)()()(jejFjF)(F)(F)(jF- - 幅度幅度谱谱)(F傅里叶逆傅里叶逆变换变换：dejFtftj)(21)(傅里叶傅里叶变换变换：dtetfjFtj)()()(F)(F3.4 典型非周期信号号的傅里叶变换变换)(000)(tuettetfttjdteedtetfjFtjttj1)()(
19、0)(tf1t221()F j)arctan()( 一、一、单边单边指指数数信信号号221)(jF)arctan()()(jF/1)(2/2/ 二、二、双边双边指指数数信信号号( )tf te222)(jF)(tf1t)(jF/2 三、三、对称对称矩形脉冲信矩形脉冲信号号202)(ttEtf)2(Sa)(22EdtEejFtj)(tfE2/2/tE)(jF2424周期矩形脉冲信号：11Sa()2nnEFT1,2fBBP102最下最下边边nFjF与)(之间满足如下关系：11)(nnTjFFE)(jF2424E)(jF24242424( ) 四、符四、符号号函函数数10sgn( )10ttt)sg
20、n( t11t)(tf1ttete)(tf1t)(1tf1ttete1)()()(tuetuetftt)()()sgn()()(1tuetuettftftt2200112)()()(jdteedteetfjFtjttjtF2212)(jjFjjFjF2)(lim)(102)(jF0202)()(jF)(22五、五、 冲激函冲激函数数和冲激偶函和冲激偶函数数()( )1jtFjt edt 单单位冲激函位冲激函数数的的频谱频谱等于常等于常数数，也就是，也就是说说，在整，在整个频个频率范率范围内频谱围内频谱是均是均匀匀的。的。这种频谱这种频谱常常被叫做常常被叫做“ “均均匀谱匀谱” ”或或“ “白色
21、白色频谱频谱” ”。(1）冲激函）冲激函数数的傅里叶的傅里叶变换变换)(1tf/12/2/t11()Sa()2F j24240)(tt)1(011)(jF(2）冲激函）冲激函数数的傅里叶逆的傅里叶逆变换变换)()(1jF)1(21)(1tft21)(21)()(1detftjF或),(21F12() F1)(2tft)(2)(2jF)2(（3）冲激偶的傅里叶）冲激偶的傅里叶变换变换, 1)(tF即：dettj21)(上式两边对t 求导得：dejtdtdtj)(21)(F( )tj同理：nnjt)()()(F五、五、阶跃阶跃信信号号)sgn(2121)(ttuj1)(11() ( )sgn( )
22、22Fju ttFFF)(22)(jF)(3.5 傅里叶变换变换的基本性质质3.5.1 线线性性则F Faf1(t)+b f2(t)=aF1(w)+b F2(w)3.5.2 对称对称性性若F Ff1(t)=F1(w), F Ff f2(t)=)=F2(w)02f()(2)tF(t)=1010F()=R()=11例如：0(1)t)()(ttf若F Ff(t)=F(w),则F FF(t) )=2=2 f(-w)f(-w)又如：又如：)(tfE2/2/tE)(tF2424tE)(jF2424)(2fE22/2/F例例3-3：求)sgn(1j)sgn(t1)sgn(jt1)sgn(2jt22)sgn(
23、wjwwjwt根据线性性质：根据对称性：因为解：解：例例3-4 已知22()02AFj求逆变换 。( )f t解：解：22()02AtFjtt()F jtt222 AA2t( )f t24)2(2)(wsaAtF)(2)(2)2(2wFwFtsaA)2()(tsaAtf)()(arctan)()()()()()()()(22)(wRwXwwXwRjFwjXwRejFjFwj，其中)(*)()(*)()()()()(*jwFtfjwFtfjwFtfjFtf，则若3. .5. .3 对对偶性偶性两种两种特定特定关关系：系：1. 若若f(t)是是实实函函数数，或，或纯虚纯虚函函数数 f(t)= j
24、g(t)，则则 |F(w) |是偶函是偶函数数,(w)是奇函是奇函数数。2. 若若f(t)是是 t的的 实实偶函偶函数数，则则 F(w)必必为为 w 的的实实偶函偶函数数 F(w)=R(w) 若若f(t)是是 t 的的实实奇函奇函数数，则则 F(w)必必为为 w的的虚虚奇函奇函数数 F(w)=jx(w)3.5.4 位移特性位移特性（1）时时移特性移特性例例3-5：求下求下图图所示的所示的单边单边矩形脉冲信矩形脉冲信号号的的频谱频谱函函数数。解：解：因因为对称为对称矩形脉冲信矩形脉冲信号号EG(t) 的傅里叶的傅里叶变换为变换为F FEG(t) =ESa(w/2)(tfEt根据根据时时移特性移特
25、性若Ff(t)则同理)(jFFf(t-t0)=0)(jwtejFFf(t+t0)=0)(jwtejF幅度幅度谱谱保持不保持不变变，相位，相位谱产谱产生附加相移生附加相移-w/2Ff(t) =ESa(w/2)e-jw/2E)(jF2424( ) -w/2则若Ff(t)(jF)()(00wjFetftjw)()(00wjFetftjw(2)频频移特性移特性)()(2sin)()()(21cos)(000000wFwFjtwtfwFwFtwtf221sin21cos00000000tjwtjwtjwtjwtjwtjweejeejtweetw解：解： )()(sin)()(cos)(211011000
26、wwwwjtwwwwwtwwwetjw例例3-7：求求 的的频频谱谱。twtwetjw00sincos0，例例3-8：求矩形求矩形调调幅信幅信号号的的频谱频谱函函数数，已知，已知f(t)=G(t) cos0t，其，其中中 G(t)为为矩形脉冲，脉幅矩形脉冲，脉幅为为E, 脉脉宽为宽为。()Sa()2G jE)(tfE2t2)(jF20002E2)(Sa2)(Sa200E解：解：f(t)=G(t) cos0t=0.5 G(t)(ej0t+e-j0t)()(21)(00jGjGjF 由上可由上可见见，信，信号号在在时时域中域中压缩压缩等效在等效在频频域中域中扩扩展；反之，信展；反之，信号号在在时时
27、域中域中扩扩展等效在展等效在频频域中域中压缩压缩。 3.5.5 尺度尺度变换变换特性特性则)(tfE2/2/tE)(jF2424)2( tfE4/4/t2/E)2(21jF8484若Ff(t)(jF)(|1ajFaFf(at)综综合合时时移特性和尺度移特性和尺度变换变换特性，可以特性，可以证证明以下明以下两两式：式：3.5.6 微分微分与积与积分特性分特性（1）时时域微分特性域微分特性ajwteaFa/0)(|1Ff(at-t0)ajwteaFa/0)(|1Ff(at+t0)则若Ff(t)(jF)(wjwFFdf(t)/dt)()(wFjwnFdnf(t)/dtn（2）时时域域积积分特性分特性
28、例如：由于F所以1)(tFjwt )(Fnnjwt)()()(则若Ff(t)(jFF)()0(/ )()(wFjwwFdtft若F(0)=0则FjwwFdtft/ )()(思考问题：若已知函数思考问题：若已知函数m(t)=f(t),并且并且f(t)傅里叶变换为傅里叶变换为F(w), 那么能否直接利用上式求出那么能否直接利用上式求出m(t)的傅里叶的傅里叶变换变换？答案是否定的。关键在于答案是否定的。关键在于f(t)的积分不一定等于的积分不一定等于m(t)m(t)。)()()()()()()(2)()0()()()()()()()()()(mmjFMmFjFMmdttftmmtmdttmdttf
29、ttt可以进一步化简得：)()()()()(mmjFM因此，若已知函数因此，若已知函数m(t)=f(t),并且并且f(t)傅里叶变换为傅里叶变换为F(w),那么利用那么利用F(w)求求m(t)的傅里叶变换时应利用的傅里叶变换时应利用若若m(-)和和m(+)m(+)都都为为0 0，那，那么么上式上式jFM)()(例：例：利用利用积积分特性分分特性分别别求求f1(t)=u(t) 及及f2(t)=0.5sgn(t)的傅里叶的傅里叶变变换换。解：解：由于jwwjwjwtwjwwjwjwtujwjwtdttdtdttdu1)()(f)(f )()sgn(5 . 0)(1)()(f)(f )()(5 .
30、0)(f , 5 . 0)(f , 1)(f , 0)(f1)()()()sgn(5 . 0t),()(t11111122112121所以又因为即）（）（3）频频域微分特性域微分特性例：例：)()(wFtf若则nnndwwFdtfjtdwwdFtjtf/ )()()(,/ )()()(2t)(j2t)(21)(nwjwwnn，所以因为3.5.7 卷卷积积定理定理（1）时时域卷域卷积积定理定理（2）频频域卷域卷积积定理定理若Ff2(t)则F Ff f1 1(t) (t) *f f2(t)(t)= =)(2FFf1(t)(1F)()(21FF若则Ff2(t)(2FFf1(t)(1FF Ff f1
31、1(t) (t) f f2(t)(t)= =)()(2121FF例例3-13：利用利用频频域卷域卷积积定理求余弦脉冲的定理求余弦脉冲的频谱频谱。220cos)(tttEtf解：解：我我们们把把f(t)看作是矩形脉冲看作是矩形脉冲G(t) 与与无无穷长穷长余弦函余弦函数数的乘的乘积积。)2(Sa)(EjG)()()(21)(jGjF)()(costFttcos122f(t)22tE)(tG22tE2)(Sa2)(Sa2Ettcos122)(tG22tEE)(G2424)()(Fcost/f(t)22tE相乘)(F3355/2E2/E卷积例例3-12：利用利用时时域卷域卷积积定理求三角脉冲的定理求
32、三角脉冲的频谱频谱2(1)2( )02ttEf tt)()()(tGtGtf解：解：我我们们可以把三角脉冲看作是可以把三角脉冲看作是两个两个同同样样的矩形脉冲的卷的矩形脉冲的卷积积。而。而矩形脉冲的幅度、矩形脉冲的幅度、宽宽度可以由卷度可以由卷积积的定的定义义直接看出，分直接看出，分别为别为2E/及及/2。t-/4/4G(t)E2f(t)t-/2/2E)4(Sa2)4(Sa22)(EEjG)4(Sa2)()(22EjGjFf(t)t-/2/2Et-/4/4G(t)E22E)(G84842E)(F48483.6.1 正弦、余弦信正弦、余弦信号号的傅里叶的傅里叶变换变换周期信周期信号号傅里叶傅里叶
33、级数级数非周期信非周期信号号？傅里叶傅里叶变换变换)(2)()(sin)()(cos00000000wweFwwwwjtwFwwwwtwFtjw1T1T3.6 周期信号号的傅里叶变换变换 3.6.2 一般周期信一般周期信号号的傅里叶的傅里叶变换变换 令周期信令周期信号号f(t)的周期的周期为为T1,角角频频率率为为 。它它的傅里叶的傅里叶级数为级数为1112(2)fT 周期信周期信号号f(t)的傅里叶的傅里叶变换变换是由一系列冲激函是由一系列冲激函数数所所组组成，成，这这些冲激位于信些冲激位于信号号的的谐频处谐频处 ，每每个个冲激的强度等于冲激的强度等于f(t)的傅里叶的傅里叶级数级数相相应应
34、系系数数Fn的的 倍。倍。11(0,2,)2其中：对对式（式（1）两边两边取傅里叶取傅里叶变换变换或：ntjnwneFtf1)(2/2/11)(1TTtjnwndtetfTF1)(101nwwnwFTFnnntjnwnnwwFeFFtfF)(2)(11例例3-14：求周期求周期单单位冲激序列的傅里叶位冲激序列的傅里叶级数与级数与傅里叶傅里叶变换变换。nTnTtt)()(1111/2/21111( )Tjn tnTFt edtTT111()2()()nnnF jFnn 01T12T1T12Tt)(tT) 1 (01nF1211211T0112112)(jF)(1解：解：已知矩形脉冲已知矩形脉冲f
35、0(t)的傅里叶的傅里叶变换变换F0(j)为为)2(Sa)(0 EjF)2(Sa)(111011nTEjFTFnn例例3-15：求周期矩形脉冲信求周期矩形脉冲信号号的傅里叶的傅里叶级数级数及傅里叶及傅里叶变换变换。 已知周期矩形脉冲信已知周期矩形脉冲信号号f(t)的幅度的幅度为为E，脉，脉宽为宽为，周期，周期为为T1, 角角频频率率为为1=2/T1。t)(tf2/2/1T1TEnnnnnEnFjF)()2(Sa)(2)(11111122/4)(1E)(jF设：411TnF1TE1122/4 所所谓谓“ “取取样样” ”就是利用取就是利用取样样脉冲序列脉冲序列p(t)从连续从连续信信号号f(t)
36、中中“ “取取样样” ”一系列的离散一系列的离散样值样值，这种这种离散信离散信号号通常通常称为称为“ “取取样样信信号号” ”。3.7.1 信信号号的取的取样样3.7 取样样信号号的傅里叶变换变换也也称称抽抽样样，它它是用离散化的一是用离散化的一组样组样本本值值表表示示连续连续函函数数的的过过程或者方法。程或者方法。抽样脉冲信号的频率抽样脉冲信号的频率称为抽样频率，记为称为抽样频率，记为fsfs。抽抽样样脉冲信脉冲信号号原始信原始信号号已抽已抽样样脉冲信脉冲信号号fs(t)取取样样连续连续信信号号f(t)量化、量化、编码编码数数字信字信号号取取样样脉冲脉冲p(t)取取样过样过程方框程方框图图已
37、取已取样样信信号号)()()(tptftfst)(tpsT3.7.2 已取已取样样信信号号的傅里叶的傅里叶变换变换nsnnPjP)(2)(其中：221( )sssTjntTnsPp t edtT1()()()2sFjF jP j1() 2()2nsnF jPn t)(tpsTE)()()(tptftfs所以，)()(snnsnwwjFPjwF令令连续连续信信号号f(t)的傅里叶的傅里叶变换为变换为()F j()P j取取样样脉冲脉冲p(t)的傅里叶的傅里叶变换变换为为()sFj已取已取样样信信号号fs(t)的傅里叶的傅里叶变换为变换为Tsfwss/22（1）矩形脉冲取）矩形脉冲取样样 取取样样
38、脉冲脉冲p(t)是矩形脉冲，令是矩形脉冲，令它它的脉冲幅度的脉冲幅度为为E，脉，脉宽为宽为，取，取样样角角频频率率为为s，这种这种取取样样也也称为称为“ “自然取自然取样样” ”。221( )sssTjntTnsPp t edtT221Sa()2sjntsssEedtTnET )()2(Sa)(snsssnjFnTEjFt)(tpsTE)()(snnsnwwjFPjwF相相乘乘tfs(t)Ts卷卷积积Fs(j)s-ssTE /2P(j)s-s(Es)Ep(t)tTs/2设：21sT（2）冲激取）冲激取样样若取若取样样脉冲脉冲p(t)是冲激序列，此是冲激序列，此时称为时称为“ “冲激取冲激取样样
39、” ”或或“ “理想取理想取样样” ” 显然，F(j）在以s 为周期的重复过程中幅度以 的规律变化。)2(Sasn 由于冲激序列的傅里叶系由于冲激序列的傅里叶系数数Pn为为常常数数，所以，所以F(j)是以是以s为为周周期等幅地重期等幅地重复复。nsTnTtttp)()()(sTTtjnsnTdtetTPsss1)(122tp(t)Ts(1)nsnsnjFPjF)()(nsssnwwjFTjwF)(1)(tp(t)Ts(1)P()(s)s-stfs(t)Ts相相乘乘Fs(j)m-m1/Tss-s卷卷积积3.7.3 取取样样定理定理并并且如何且如何从从取取样样信信号号中恢中恢复复原原连续连续信信号
40、号？ 用取用取样样脉冲脉冲对连续对连续信信号进号进行取行取样样，取，取样样周期取多大合适周期取多大合适呢？呢？Fs()m-m1/Tss-sms 从从上上图图可知：只有可知：只有满满足足 才不才不会产会产生生频谱频谱混混叠叠，即，即 保留了原保留了原连续时间连续时间信信号号的全部信息。的全部信息。这时这时只要只要将将 )(,2smsF)(tfs)(tfs 施加于施加于“ “ 理想低通理想低通滤滤波器波器” ”，就可恢，就可恢复复原信原信号号f(t) 。 理想低通理想低通滤滤波器波器的频频率特性率特性为：Fs()m-m1/Tss-smscc1)(Hm-m1/Ts)(0)(1)(ccH其中：mscm
41、 通常把最低允通常把最低允许许的取的取样样率率称为称为奈奎斯特取奈奎斯特取样样率，把最率，把最大允大允许许的取的取样间样间隔隔称为称为奈奎斯奈奎斯特特间间隔隔。即。即ms2min或：msff2minmssffT211minmax 时时域取域取样样定理：一定理：一个频谱个频谱受限的信受限的信号号 f(t)，如果，如果频谱频谱只占据只占据-mm的范的范围围，则则信信号号 f(t)可以用等可以用等间间隔隔的取的取样值来样值来惟一地表示。而取惟一地表示。而取样间样间隔隔Ts1/(2fm) (其中其中m=2fm），或者），或者说说，取，取样频样频率率fs2fm。tf(t)F()m-m1m-m1/Ts-s
42、sF()tfs(t)Tsm-m1/Ts-ssFs()tfs(t)Ts解解:（ 1）)2(Sa)(ttf)2()2(2)(uujF1)(tf22t)(jF22/2奈奎斯特取奈奎斯特取样样率率为为：s/rad4222minms例例3-16已知信已知信号号 用用 对对其其进进行取行取样样，（1）确定奈奎斯特取）确定奈奎斯特取样样率；率； （2）若取）若取 求取求取样样信信号号 并画并画出波出波形形图图；（3）求）求 并画并画出出频谱图频谱图；（4）确定低通）确定低通滤滤波器的截止波器的截止频频率率),2(Sa)(ttfnsTnTtt)()(,6ms),()()(ttftfTs),()(tfFsscF
43、 F（2）s/rad126mss61222ssT) 1 ()(tfs22t6nsnsnTtnssTsnTtnnTttnTtnTfttftfs)()3(Sa)()2(Sa)()()()()(（3） )12(6 )(1)(nnsssnFnFTF)122()122(3nunun)(sF12321014122mscmcc1)(H即102c低通低通滤滤波器的截止波器的截止频频率率 应满应满足足下式：下式：c（4）) 1 ()(tfs22t6)(sF123210141223.8.1 系系统响应统响应的的频频域表示域表示设)()(),()(),()(HthYtyXtxzsFFF)()()(txthtyzs（
44、1）对式（1）两边取傅里叶变换：)()()(XHY或：)()()(XYH- - 系系统统函函数数（或（或转转移函移函数数）)(X- 激励信号的频谱)(Y- 响应信号的频谱)(H- 系统函数3.8 系统统的频频域分析3.8.2 系系统统的的频频域模型域模型 - 系系统频统频率率响应响应)()()(XHY 由于 可对 进行某种加工变成响应信号，因而， 也称为系统的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。 )(H)(X)(jH)()()(jeHH)(H- 幅频特性 )(- 相频特性 （1）由微分方程求）由微分方程求)(H设：)()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttx
45、dbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn)()()()()()()()(0111101111txbdttdxbdttxdbdttxdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn对上式两边取傅里叶变换（设起始状态为零），得)()()()()()()()(01110111XbjbjbjbYajajajammmmnnnn01110111)()()()()()()()()(ajajajabjbjbjbXYHnnnnmmmm（2）由冲激）由冲激响应响应求求)(H)()(thHF F)()(2)(3)(22txtydttdydttyd求求)
46、(H例例3-18：已知已知解法一解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得2)(3)(1)(2jjH解法二：解法二：先求h(t)再求)(H由2.3节介绍的求冲激响应的方法，可求出)()()(2tueethtt再对上式取傅里叶变换，得2)(3)(12111)()()(22jjjjtueeHttF F（3）由）由频频域等效模型求域等效模型求)(H,RR ,LjLCjC1例例3-19：求：求图图示示电电路的系路的系统统函函数数)(H)(1tv)(2tvLCR)(2jV)(1jVLjCj1R解：解：由频域等效模型得：1)()()(1111)(2112RLjLCjVVCjRLjCjRV1)()()(212RL
47、jLCjVV1)(1)()()(212RLjLCjVVH3.9.1 无失无失真传输真传输 信信号号无失无失真传输真传输是指是指响应响应信信号与号与激激励励信信号号相比，只相比，只有幅度大小和出有幅度大小和出现时间现时间的不同，而的不同，而没没有波形上的有波形上的变变化。化。 1. 时时域域条条件件)()(0ttKxty(1)K- 常数，其中：0t- 滞后时间线线性系性系统统)(tx)(ty)(txt1)(tytK0t3.9 信号号的传输传输 2. 频频域域条条件件)()(0ttKxty(1)对对式式（1）两边两边取傅氏取傅氏变换变换，得：，得：0()j tH jKe即0)()(tKjHK)(H
48、)(0t无失无失真传输真传输系系统应满统应满足如下足如下两个条两个条件：件：（1）系）系统统的幅的幅频频特性在整特性在整个频个频率范率范围内围内为为常常数数；（2）系）系统统的相的相频频特性在整特性在整个频个频率范率范围内围内应与应与 成正比成正比变变化。化。0()()()()j tY jKeXjH jXj(2)作作业业3-1 3-3 3-4 3-15 3-19 (b) 3-21 3-23 3-24 3-25 3-26 3-29(1)(4)(6) 3-39 (1)(4 ) 3-41 课课下下练习练习： 3-7 3-8 3-11 3-14 3-16 3-17 3-19 (a) 3-29(2)(3)(5)(7) 3-31 3-42 3-33 3-34 3-40 3-42
