1、第四章第四章 线性方程组线性方程组第二节第二节 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构本节教学要求： 熟悉齐次线性方程组有非零解的条件。 理解齐次线性方程组解的基本性质和解的结构。 能熟练地求齐次线性方程组的基础解系。 理解矩阵的特征值和特征向量的概念。 能熟练地计算矩阵的特征值和特征向量。二. 齐次线性方程组有非零解的条件第二节第二节 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构一. 齐次线性方程组解的基本性质三. 齐次线性方程组的通解 齐次线性方程组 :组称为齐次线性方程组右端全为零的线性方程 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。n
2、mnmmxaxaxa ) (nm 它的矩阵形式为 , 0AX , 其中 , 212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA 21。nxxxX一. 齐次线性方程组解的基本性质 线性方程组。也可用向量来表示齐次 , , , , 21222122121111mnnnnmmaaaaaaaaa记 示为则齐次线性方程组可表 02211。nnxxx 的表示法还有常用的齐次线性方程组 ) , , 2 , 1 ( 01。mixanjjj i 本性质齐次线性方程组解的基 1 性质 组的解。解之和仍是该齐次方程齐次线性方程组的两个 ) , ,( ) , ,( 2121是齐次线性方程组和设nn 02211n
3、nxxx , 则有的两个解 )()()(222111nnn)()(22112211nnnn , 000 次方程组的解。即两个解之和仍是该齐 本性质齐次线性方程组解的基 ) , ,( 21是齐次线性方程组设n 02211nnxxx , , 有则对任意实数的一个解k 2 性质 任意实数的乘积齐次线性方程组的解与 。仍是该齐次方程组的解 )()()(2211nnkkk , 0)(2211nnk ) , ,( 21。仍是该齐次方程组的解即nk 本性质齐次线性方程组解的基 3 性质 个解的线性组合齐次线性方程组的有限 。仍是该齐次方程组的解 2 1 3 的综合。性质和是性质性质 二. 齐次线性方程组有非
4、零解的条件 :是右端全部为零齐次线性方程组的特征 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm , 0 1.21称之为平凡解。是它的一个解nxxx , 显然 )()( . 2。ArAr ! 我们关心的是非零解 ! 非零解 1 定理 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm 设齐次线性方程组 , )( ArA的秩为的系数矩阵 )2( , )( , . 1*只有唯一的零解。则方程组若nArnm )2( , )(0 . 2*有无穷多个非零解。
5、则方程组若nAr)2(* , )( , . 1时nArnm 0det : )2( *。是一个满秩的方阵的系数矩阵方程组AA : , )2( *知故由克莱姆法则立即可的右端全为零因为方程组 )2( *只有唯一的一个零解。方程组 , )(0 . 2时nAr , )( 阶子式的左上角的且不妨设系数矩阵设rArAr : )(2 ) ( , *与下面的方程组同解可将由消元法则不为零 , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxax
6、a ) 3( 自由变量 , (3) 个变量且右端的的系数矩阵是满秩的方程组rn , , , , ,21值每取定一组不全为零的可以任意取值nrrxxx , , , 21而由。一的一组相应值由克莱满法则可解得唯rxxx , , , , , , ,2121nrrrxxxxxx , )2( *且为非零解。的一个解即为原齐次线性方程组 )(2 , , , , *21有无穷多个非零解。的任意性由nrrxxx 此构成的数组 个自由变量rn , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11
7、 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa )3(齐次线性方程组有非零解的条件 : 1 可知由定理 )2( , *有无穷多个非零解。齐次线性方程组时当nm 0det )2( , *。有非零解齐次线性方程组时当Anm , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* 解是否能通过齐次线性方程组的全部 ?合表示出来它的有限个解的线性组三. 齐次线性方程组的通解 , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxa
8、xa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa )3( : 1 的证明过程可知由定理 )(2 , )( )(0 *的同解方程组为时当nmnrAr 个自由变量rn , , , , , , ,2121nrrrxxxxxx )2(*的解 0 , , 0 , 1 0 , , 1 , 0 1 , , 0 , 0 依次取rccc11211 , , ,rccc22221 , , , rrnrnrnccc 2 1 , , , 解向量线性无关的个构成rn ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( , )0 , , 0 , 1 , , , ,( 112111rccc令
9、, )0 , , 1 , 0 , , , ,( 222212rccc , )1 , , 0 , 0 , , , ,( 21 rrnrnrnrnccc 个rn 个线性无关的解。这是齐次线性方程组的rn )(2 ) , , , , , , ,( *2121 是方程组设nrrr , 则的任意一个解 , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* )(2*2211的解。也是rnnrr个 rn , ) , , , , , , ,(2121 nrrr 2211rnnrr , ) , , , , , , , (2121 n
10、rrrbbb : 与比较 ) , , 2 , 1 ( , 22 11。其中rnicccbirnniriri 相同 , , , 即所以个数值相同后面的与由于rn 2211。nnrr )3( )2( , *中所定义程组的任何一个解均可由方方程组就是说 )2( *的基础解系。量为齐次线性方程组 )3( , , , 21中的这一组向于是称方程组线性表出。的rn 解系齐次线性方程组的基础 )( )2( *解向量的一组解若齐次线性方程组 , , ,21k :满足下列条件 , , , , . 121线性无关k , , , , )2( .221*的线性组合的任何一个解都是k )2( , , , *21的一个基
11、础解系。为则称该向量组k )2( *关组。的解向量集合的最大无基础解系是 基础解系不唯一。 :础解系的步骤求齐次线性方程组的基 )2( . 1*。的系数矩阵写出A . 2阶的阶梯形矩阵。化为相应的运用初等变换将rA , )3( . 3个自由变量并依次取右端的的方程组写出形如rn (3) , ) 1 , 0 , 0( , , )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 ( 。求解的值为 ) 1 , 0 , 0( , , )0 , 0 , 1 ( . 4构组解与相应的将求得的rn )2( *的基础解系。成 也可选其它值例解解 :础解系求齐次线性方程组的基 , 072254321xxxxx ,
12、 054324321xxxx 086534321。xxxx 086530543272211A 212rr 313rr 21202014101072211 223rr 7000014101072211 232rr 73r 100000101072211 7321rrr , 100000101001201 , 3)( , 5Arn 235 个向量。基础解系含rn 100000101001201 A 得到方程组 , 02431xxx , 042 xx , 05x 即有 , 2431xxx , 42xx , 05x 3x 4x 自由变量 0 1 1 0 , 1) (0, , 0) 1, (),( 43
13、解得原方程组代入方程组后依次将xxT1( 2, 0, 1, 0, 0 ) , T2( 1, 1, 0, 1, 0 ) 。的基础解系为 1x 2x 3x 4x 5x 齐次线性方程组的通解 )2( *的基础解系为若齐次线性方程组 , , ,21rn )2( *的通解为则 , 2211rnrnCCC ) , , 2 , 1 ( , 。为任意常数其中rniCi )(rAr例解解 :解求齐次线性方程组的通 , 072254321xxxxx , 054324321xxxx 086534321。xxxx : 刚才已解得 , 235 , 3)(rnAr 基础解系为T1( 2, 0, 1, 0, 0 ) , T
14、2( 1, 1, 0, 1, 0 ) , 故所求通解为 2211CCTT12( 2, 0, 1, 0, 0 )( 1, 1, 0, 1, 0 ) , CC) , , (21为任意常数。其中CC , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa ) 3( , 01212111nnxaxax
15、a , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa ) 3( , 01212111nnxaxaxa , 02222121nnxaxaxa 02211。nmnmmxaxaxa ) (nm )2(* , 12211111212111nnrrrrrrxaxaxaxaxaxa , 22221122222121nnrrrrrrxax
16、axaxaxaxa 22 11 22 11 。nnrrrrrrrrrrrrxaxaxaxaxaxa ) 3(四四 解线性方程组的一个应用解线性方程组的一个应用本节讨论矩阵的特征值与特征向量 定义 4.1使得：，维非零向量及如果存在数设 , nRAnn) 1 . 4(.A的一个特征向量。于特征值相应称为矩阵而的一个特征值为矩阵则称 , AA 由于A .) (0EA件是齐次方程组的一个特征值的充要条为矩阵 A )2 . 4() (0 xEA.有非零解有非零解矩阵理论，由前面学过的方程组及 (4.2) nEA）秩 ( . 0 det(）EA件是的一个特征值的充要条为矩阵 A )3 . 4(. 0 d
17、et(）EA. ) 3 . 4(.A (4.3)阶多项式的为关于显然特征多项式阶行列式）的特征多项式（是一个称为nn. (4.3) ）个解（重根按重数计算存在由多项式理论，n ., A 21nn：个特征值（可能相等）在复数域上有故都成立对于每个), 2 , 1( nii. 0 det(）EAi. A . ( 量的特征向相应与特征值即为则记为有非零解，）齐次方程组因此，iiiixEA0根计算行列式并求（)3 . 4.A 的特征值的一个基础解系求特征方程组对每个特征值)2 . 4( .A 的特征向量子空间的相应于例例4.1 求 A 的特征值和特征向量：.003007210A解：解：00300721
18、0)det(EA367)13(2, 01.133 , 2i.01求相应特征向量为例，下面以特征值.003007210)(10 xxEA003007210.000210001000007210, 1 3x令, 2 2x得. 0 1x故得特征向量.) 1, 2, 0(T例例4.2 求 A 的特征值和特征向量：.2112A解：解：2112)det(EA2)2(1).1)(3(, 31. 12，对于31.321132)(10 xxEA1111.0011, 1 2x令. 1 1x得故得特征向量.) 1, 1(1T同理，.121112)(20 xxEA1111.0011, 1 2x令. 1 1x得故得特征向量.) 1, 1 (2T
