1、例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值6 ( 3)2 ( 5) 6253cossinsincos22cos( sin) 主对角线元素之积减去副对角线元素之积主对角线元素之积减去副对角线元素之积对角线法则对角线法则8 1三三 阶行列式阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233a a a对角线法则对角线法则11a12a13a21a22a23a31a32a33a122331a a a132132a a a132231a a a122133a a a112332a a a例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值5143212025 2 2 对角线法
2、则1 ( 1)( 2) 324 3 0 4 2 ( 2) 1 3 2 5 ( 1) 0 111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a112233233212213323311321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111112121313a Aa Aa A1 212( 1)M212
3、33133aaaa12M12A元素元素 的的余子式余子式12a元素元素 的的代数余子式代数余子式12a余子式元素元素 的余子式的余子式 就是在行列式中划掉元素就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式成的行列式ijaijaijM代数余子式ijA( 1)ijijijAM 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和自的代数余子式的乘积之和n 阶行列式的定义阶行列式的定义212211221112nnnnnnaaaaaaaaa1112111121nnAAaa
4、Aa111njjja A按第一行展开按第一行展开1030201030010102例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值1 10101 ( 1)001102 1 3 2 5 1 32003 ( 1)301012 性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：,DD = DT行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。行列式的性质行列式的性质则naaa11211naaa22221nnnnaaa21naaa11211TDnaaa22221nnnnaaa21性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号,2111211nnnnnaaaaaaMqnqqaaa21pnppaaa21
5、则 D=M,2111211nnnnnaaaaaaDqnqqaaa21pnppaaa21推论推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。性质性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：kDnnnniniinaaaaaaaaa212111211 knnnnnaaaaaa2111211iniikakaka211D推论推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。2 2向量的数量积、向量积及混合积向量的数量积、向量积及混合积一、一、 向量的数量积向量的数量积定义定义:，它们的夹角
6、为、设有两个向量 ba的数量积与为称数值babacos|。，记作内积或点积ba)(cos| baba即当 b 0时, | a |cos = Prjba于是于是注注2:例如例如:i i = j j = k k = 1a b = |a| |b| cos= |a| |b| cos注注1: 当 a 0时, | b | cos = Prjaba b = |a| Prjab = |b| Prjbaa a = | a |2数量积的物理意义数量积的物理意义例如例如: 设力F 作用于某物体上, 物体有一段位移S , 求功的表示式.由物理知, 与位移平行的分力作功, sF且20当时，做正功；2当时，做负功；2当时
7、，不做功。与位移垂直的分力不作功. 于是解解:SFSFWcos|cos|(1) 交换律 a b = b a (2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 数量积满足如下结合律: ( a) b = a ( b) = (a b), 为实数2. 数量积的性质数量积的性质a = 0(4) a a 0 ，且a a = 0 a b = |a| |b| cos证证: :.2则02cos|baba充分性:由a 0, b 0, cos =0 ,2即a b例如例如: i、j、k 互相垂直, 所以i j = j k = i k = 0(5) 两个非零向量a , b 垂直必要性:设a b,得:a
8、b = 00cos|baba设如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos证证:| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)= a a + b b 2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故故:abc例例1. 由于c = a b , 于是= a (a b)b (a b)3. 数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz
9、), 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i +ay by j j + ay bz j k + az bx k i + az by k j + azbz k k = ax bx + ay by + az bz得公式:a b = ax bx + ay by + az bz(
10、1)推论推论: 两个非零向量a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直ax bx + ay by + az bz = 04. 数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), (1) 求 a 在 b 上的投影.Prjba = | a | ba,cos222jPrzyxzzyyxxbbbbababa|b|baab(2)已知已知:由 |a | |b | = a b , 得ba,cos(2) 求两向量 a, b 的夹角由 | a | | b |cos = a b, 知 (3)222222zyxzy
11、xzzyyxxbbbaaabababacos|ba|ba|已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB.AMB即为向量MA与MB的夹角. 由MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1)得得: cosAMB=|MBMAMBMA21101011100111222222所以所以3AMB例例2解解:证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。例例abDABCmn abc = a b(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确
12、定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a b.即: c = a b注注: 向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.1. 定义定义1:设有两个向量 a、b, 夹角为, 作一个向量c, 使得二、两向量的向量积二、两向量的向量积由力学规定: 力F 对支点O的力矩是一个向量M .其中其中: FOQPL(2) M的方向: 垂直于OP与F 所在的平面, 指向满足右手规则. 即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳, 大拇指的指向就是M 的方向.设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F
13、 作用于这杠杆上P点处, F 与OP的夹角为 , 考虑 F 对支点 O 的力矩.例如例如:向量积的物理意义向量积的物理意义(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin |F | = |OP| |F | sin向量积的性质向量积的性质(1) a a = 0 (2) 反交换律 a b = b a (3) 分配律 a (b + c) = a b + a c (4) 向量积与数乘满足结合律: (b + c) a = b a + c a ( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数| c | = | a | | b | sin必要性: 设a 、b 平行, 则 = 0或 =
14、. 于是| a b | = | a | | b |sin = 0所以所以 a b = 0 充分性: 设 a b = 0 则则 | a b | = | a | | b |sin = 0由 | a | 0, | b | 0, 得 = 0或 = . 所以 a 与 b 平行证证:(5) 两个非零向量 a 、b 平行 a b = 0 例如例如: i i = j j = k k = 0 i j = k j i = k k j = i i k = jkjixyzk i = jj k = i2、向量积的坐标表示式、向量积的坐标表示式设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则
15、a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k )= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k )= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k )+ az bx (
16、k i) + az by ( k j ) + azbz( k k )+ az k (bx i + by j + bz k )+ az bx j + az by( i )得公式:a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) kzyxzyxbbbaaakji求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.a b 同时垂直于a、b354122kjiba= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i= i 2j + 2k取 c = a b = (1, 2 , 2).显然, 对于任意 0R, c = (,2, 2)
17、也与a、b垂直.例例3:解解:而已知ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面积.xyzABCo由向量积的定义.|21ACABSABC而AB = (2, 2, 2)AC = (1, 2, 4)所以421222kjiACAB= 4i 6j + 2k于是|21ACABSABC142)6(421222例例4:解解:三、向量的混和积三、向量的混和积1.定义定义2 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量 , , ( ) 即的混合积，记作 设有三个向量 , , ,则有设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz)
18、, = (bx , by , bz),2.混合积的坐标表示式混合积的坐标表示式zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaaijk , )(zyzybbaazxzxbbaayxyxbbaacxcycz, zyxzyxbbbaaaijk )(.zyxzyxzyxcccbbbaaa混合积性质：混合积性质：(1) = = = = = 事实上，若 , , 在同一个平面上，则 垂直于它们所在的平面，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 向量的混合积的几何意义abcbacprjba , , cba设非零向量 , 则如图所示 | )(。cprjbacbaba , 为邻边的以ba 平
19、行四边形的面积 , , 为邻边的以cba 平行六面体的高 , , )( ,体积。为邻边的平行六面体的表示以此时cbacba , )( , , 则时如图所示构成左手系设非零向量cba 0。cprjba | | | |)( |cprjbacbaba , , 为邻边的平行表示以cba ,此时 六面体的体积。 , , ,的混合积的绝对值等于非零向量综上所述cba , , 体积。为邻边的平行六面体的以cbaabcbacprjba例例5:已知空间内不在一个平面上的四点 A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面体 ABCD 的体积。解：解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB, AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，. | |61ADACABV AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),AC = (x3 x1, y3 y1, z3 z1),AD = (x4 x1, y4 y1, z4 z1),即所以，V = ,61141414131313121212zzyyxxzzyyxxzzyyxx其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。
