1、主要内容主要内容l1. 矢性函数的概念矢性函数的概念l2. 矢端曲线矢端曲线l3. 矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l4. 矢性函数的导数矢性函数的导数l5. 矢性函数的微分矢性函数的微分l6. 矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式 教材：第教材：第1章，第章，第1节，第节，第2节节l常矢常矢：矢量的模和方向都保持不变。：矢量的模和方向都保持不变。l变矢变矢：模和方向或其中之一发生变化。：模和方向或其中之一发生变化。l1.矢性函数的概念矢性函数的概念)(tuu )(tAAutl标量函数标量函数：标量：标量 随参量随参量 的变化。的变化。tAl矢量函数矢量函数：矢量：矢量 随参量随参
2、量 的变化。的变化。l1.矢性函数的概念矢性函数的概念l矢性函数：矢性函数：设有数性变量设有数性变量 和变矢和变矢 ，如果，如果对于对于 在某个范围在某个范围 内的每一个数值，内的每一个数值， 都都有一个确定的矢量和它对应，则称有一个确定的矢量和它对应，则称 为数性为数性变量变量 的的矢性函数矢性函数，记作：，记作： ttGtAAA)(tAAAG并称并称 为函数为函数 的定义域。的定义域。l1.矢性函数的概念矢性函数的概念ktAjtAitAtAAzyx)()()()(tl矢性函数的坐标函数分量也是矢性函数的坐标函数分量也是 的函数。的函数。zoyx)(tAitAx)(jtAy)(ktAz)()
3、(tAx)(tAy)(tAzl2.矢端曲线矢端曲线l自由矢量：自由矢量：当两个矢量的模和方向相同时，可当两个矢量的模和方向相同时，可以认为这两个矢量相等。以认为这两个矢量相等。zoyx)(tAMll矢端曲线：矢端曲线：矢量矢量 的终点的终点 随参量随参量 的的变 化 曲 线变 化 曲 线 称 为 矢 性 函 数称 为 矢 性 函 数 的的矢端曲线矢端曲线，也称为矢性函数的，也称为矢性函数的图形。图形。)(tAtM)(tAll2.矢端曲线矢端曲线l矢量方程：矢量方程：zoyx)(tAMl)(tAAktAjtAitAtAAzyx)()()()(tl当定义随当定义随 增大的方向为增大的方向为 的走向
4、，则矢的走向，则矢端曲线端曲线 为为有向曲线有向曲线。ll)(tA为矢性函数为矢性函数 的矢量方程。的矢量方程。l2.矢端曲线矢端曲线l参数方程：参数方程：zoyx)(tAMl)(tAxxl矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。)(tAyy)(tAzzktAjtAitAtArzyx)()()()(l)(tAl矢性函数矢性函数 对应矢端曲线对应矢端曲线 的参数方程。的参数方程。l2.矢端曲线矢端曲线l例：例：圆柱螺旋线的参数圆柱螺旋线的参数方程（方程（P3图图1-3）：）：cosax l其矢量方程为：其矢量方程为：sinay bz kbjaiarsinc
5、osl2.矢端曲线矢端曲线l例：例：摆线的摆线的参数方程（参数方程（P3图图1-4）：）：)sin(ttaxl其矢量方程为：其矢量方程为：)cos1 (tayjtaittar)cos1()sin(l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性0)(AtAl定义：设矢性函数定义：设矢性函数 在点在点 的某个领域内的某个领域内有定义（但在有定义（但在 处可以没有定义），处可以没有定义）， 为一常为一常矢，若对于任意给定的正数矢，若对于任意给定的正数 ，都存在一个正，都存在一个正数数 ，使当，使当 满足满足 时，有：时，有：)(tA0t0t0At00tt成立，则称成立，则称 为矢性函数为矢性函数
6、 当当 的极限，的极限，记作：记作：0A)(tA0tt 0)(lim0AtAttl矢性函数极限与数性函数完全类似。矢性函数极限与数性函数完全类似。l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l 为数性函数；为数性函数； ， 为矢性函数，为矢性函数，当当 均存在极限。均存在极限。)(tA0tt )(tB)(tu)(lim)(lim)()(lim000tAtutAtutttttt)(lim)(lim)()(lim000tBtAtBtAtttttt)(lim)(lim)()(lim000tBtAtBtAtttttt)(lim)(lim)()(lim000tBtAtBtAttttttl矢性函数极
7、限的运算法则矢性函数极限的运算法则 l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。)(lim)(lim)(lim)(lim0000tAtAtAtAzttyttxttttktAjtAitAtAzyx)()()()(l3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性l连续性定义：若矢性函数连续性定义：若矢性函数 在点在点 的某个的某个领域内有定义，而且有：领域内有定义，而且有：)(tA0t)()(lim00tAtAttl矢性函数矢性函数 在在 处连续的充要条件是：处连续的充要条件是： 都在都在 处连续。处连
8、续。)(tA0tzyxAAA,0t)(tA0t则称则称 在在 处连续。处连续。l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l矢性函数的增量：矢性函数的增量： OMtA )(oMN)(tA)(ttAAlONttA)(MNtAttA)()(为为 的增量，表示为：的增量，表示为：)(tA)()(tAttAAl4.矢性函数的导数矢性函数的导数ttAttAtAtAdtAdtt)()(limlim)(00ttAttAtA)()()(tAl导数的定义：设矢性函数导数的定义：设矢性函数 在点在点 的某一的某一领域内有定义，并设领域内有定义，并设 也在这个领域之内，也在这个领域之内，增量的比值为：增量的比值为：ttt在在
9、 时，其极限存在，则称此极限为时，其极限存在，则称此极限为 在在 处的导数（简称处的导数（简称导矢导矢），表示为：），表示为：0t)(tAtl4.4.矢性函数的导数矢性函数的导数tAdtAdt0limktAjtAitAtAzyx)()()()(l导数的分量表示：导数的分量表示：tzyxAAA,在点在点 处可导。处可导。tkAtjAtiAztytxt000limlimlimkdtdAjdtdAidtdAzyxktAjtAitAtAzyx)()()()(l4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例1：圆柱螺旋线的矢量方程（圆柱螺旋线的矢量方程（P3P3图图1-31-3）：）：kbjaiarsincos
10、)(求导矢求导矢)(r解：解：kbjaiar)()sin()cos()(kbjaiacossinl4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例2：设设试证明：试证明：jiesincos)(),()(1ee证：证：jiecossin)(1),()(1ee)()(1eejie)(sin)(cos)(jicossin)(1el4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例2：设设试证明试证明jiesincos)()()(1ee证：证：jiecossin)(1)()(1ee)()(1eejie1)(cos)sin()(jisincos)(el4.矢性函数的导数矢性函数的导数l例例2：设设试证明试证明jiesinco
11、s)()()(1ee证：证：jiecossin)(1)()(1ee)()(1ee)(cos(sin)sin)(cos)()(ee0)()(1eel4.矢性函数的导数矢性函数的导数l 为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，因此也叫做因此也叫做圆函数圆函数。)(eoyx)(e)(1e)(1el 亦为一单位亦为一单位矢量，其矢端曲线也为矢量，其矢端曲线也为一单位圆。一单位圆。l4.矢性函数的导数矢性函数的导数oMN)(tA)(ttAA)(tAtAlttAtAt)(lim)(0l 是在是在 的割线的割线 上的一个矢量。上的一个矢量。ttA)(lMN0tl 时 ， 其
12、极 限时 ， 其 极 限为为 点的切线位置。点的切线位置。Ml导矢在几何上为一矢端曲线的导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量切向矢量，并，并始终指向对应始终指向对应 增大增大的方向。的方向。tl5.矢性函数的微分矢性函数的微分dttAAd)()(tdtl 微分的概念：微分的概念： 设有矢性函数设有矢性函数 ，把，把)(tAA称为称为 在在 处的处的微分。微分。)(tAtoM)(tAl) 0( dtAd) 0( dtAd) (tAl微分与导矢的几何意义微分与导矢的几何意义相同，为矢量矢端曲线的相同，为矢量矢端曲线的切线。切线。 ，与导矢的，与导矢的方向一致；方向一致； ，与导矢，与导矢的方向相反。
13、的方向相反。0dt0dtl5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 微分的计算表达式：微分的计算表达式：dttAAd)(或：或：kdttAjdttAidttAxyx)()()(ktdAjtdAitdAAdzx)()()(矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。l5.矢性函数的微分矢性函数的微分解：解：l例例3：设设，求，求 及及 。jbiarsincos)(rdrdjbdiadrd)sin()cos(jdbidacossindjbia)cossin(22)cos()sin(dbdarddba2222cossinl5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 的几
14、何意义：的几何意义：dsrdkzjyixrktAjtAitAtAzyx)()()()()(tAxx)(tAyy)(tAzzF 矢性函数矢性函数F 矢性函数矢性函数F 微分微分kdzjdyidxrdF 微分的模微分的模222)()()(dzdydxrdl5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 的几何意义：的几何意义：dsrd弧长微分弧长微分即：即：矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧微分的绝对值。微分的绝对值。dsdsrddsdsrdrdMl0ds0ds0M222)()()(dzdydxdsdsrdl5.矢性函数的微分矢性函数的微分l 的几何意义：的几何意
15、义：dsrd得到：得到：1dsrddsrdMl0ds0ds0Mkjidsrdcoscoscos矢性函数对（其矢端曲线的）弧长矢性函数对（其矢端曲线的）弧长 的导数在几的导数在几何上为何上为一切向单位矢量，恒指向一切向单位矢量，恒指向 增大的方向。增大的方向。用用 表示表示。ssl5.矢性函数的微分矢性函数的微分l矢端切线方向的矢端切线方向的方向余弦方向余弦dsdxdzdydxdx222)()()(cosdsdydzdydxdy222)()()(cosdsdzdzdydxdz222)()()(cos1coscoscos222l5.矢性函数的微分矢性函数的微分l例例4：试证明试证明证：证：dtrd
16、dtdskdtdzjdtdyidtdxdtrd222)()()(dtdzdtdydtdxdtrd2222)()()()(dtdzdydxdtds222)()()(dtdzdtdydtdxdtrdl5.矢性函数的微分矢性函数的微分可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式l例例4：试证明试证明dtrddtdsdtrddtrddtdsdtrddsrdl5.矢性函数的微分矢性函数的微分解：解：l例例5：求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 的的切向单位矢量切向单位矢量 。k tj ti tr4sin3cos3kj ti tdtrd4cos3sin354)cos3()si
17、n3(222ttdtrddtdsdtdsdtrddsrd/kj ti t54cos53sin53l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式l设矢性函数设矢性函数 及数性函数及数性函数 在在 的的某个范围内可导，则以下公式成立：某个范围内可导，则以下公式成立：)(),(tBtA)(tut0dtCd（1 1）（ 为常矢量）为常矢量）C（2 2）dtBddtAdBAdtd)(（4 4）dtAduAdtduAudtd)(（3 3）dtAdkAkdtd)(（ 为常数）为常数）kl6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式（5 5）BdtAddtBdABAdtd)(dtduduAddtAd（ ）AAA2dt
18、AdAAdtd 2)(2（6 6）BdtAddtBdABAdtd)(（7 7） 复合函数求导：复合函数求导：)(),(tuuuAAl1.矢性函数导数公式的应用矢性函数导数公式的应用证明证明（5）：BdtAddtBdABAdtd)(证：证：BABBAABA)()()(BABAABBABABAABBAtBAtABtBAtBA)(l6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式证明（证明（5 5）：）：BdtAddtBdABAdtd)(dtBddtAdBdtBdABAdtd0)(dtAdBdtBdA证：证：令令 两端取极限，得到：两端取极限，得到：0tl6.矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式例：设例：设 三阶可导，证明三阶可导，证明（习题习题1第第5题题）)(ta证：证：)()(3223dtaddtadadtaddtadadtd)()()(222222dtaddtaddtdadtaddtaddtaddtaddtadadtd)()()(33222222dtaddtadadtaddtadadtaddtaddtad)(33dtaddtada0)(BAA0)(BBAHomework 1作业作业P19 习题习题1：1，2，3，4
