1、第一章数系 1.1数的概念的扩展一、数的概念发展小史 从整体上看，数的概念的发展的历史过程大致按以下顺序：自然数集（添加正分数）正有理数集(添加分数和零）有理数集（添加无理数）实数集（添加虚数）复数集 在中小学数学教科书里，数的概念的扩展（或扩张）的步骤同历史过程的大致接近的，只是将零的引入提前了，即 自然数集（添零）扩大自然数集(添加正分数）有算术数集（添加负数） 有理数集（添加无理数） 实数集（添加虚数）复数集 二、数系扩展的方式与原则通常不是对某种远算是封闭的数集叫做数系1.数系的扩展的方式数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法（2）构造法2、自然数的顺序定义3 设非空有限集合A和B的基
2、数分别为a和b（1）若AB包含于B,则称a小于b，ab定理2 自然数的顺序关系具有以下性质: 2.数系扩展的原则 设数系A扩展后得到新的数系B，不论采用哪种扩展方法，都应遵循以下的原则： （1）A包含于B（A是B的真子集） （2）A的元素间所定义的一些远算或基本关系，在B中被从新定义，而且对于A的元素来说，从新定义的远算,而且对于A上的元素来说，从新定义的远算和关系与A中原来的意义完全一致 （3）在A中不是总能施行的某种远算，在B中总能施行 （4）在同构的意义下，B应当地A的满足上述三原则的最小扩展，而且由A唯一确定1.2自然数集 一、基数理论 1.自然数的概念 自然数集的基数以集合论的基本概
3、念为基础，在集合论中，如果集合A和集合B的元素之间可以建立一一对应的关系，就称集合A和集合B等价，记AB，集合等价具有下面的性质：设A、B、C是集合，则 （1）AB（反身性）； （2）若AB，则BA（对称性）； （3）若AB,BC则AC（传递性）； 定义1 不能与自身的任一真子集等价的集合叫做有限集 定义2 彼此等价的所有集合的共同特征的标志叫做基数。非空有限集合的基数叫做自然数，空集的基数叫做0，集合A的基数记着|A| 定理1自然数的相等关系具有反身性、对称性与传递性. (1)对任何aN,有a=a(反身性）；（2）设a，bN，若a=b则b=a（对称性）（3）设abcN，若a=b，b=c则a=
4、c（传递性） （1）设abN,当且仅当aa（对性） （2）设任意a、b、cN，若ab且bc则ac（传递性） （3）对于任意a、bN，在ab中有且只有一个成立（三分立） 3.自然数的加法和乘法远算 定义4设A和B是有限集，且AB=空集，|A|=a，|B|=b，如果AB=C,则称|c|=c为a与b的和，记作a+b=c。其中a，b叫做加法，求和的远算叫做加法。 定理3自然数的加法满足交换律和结合律。对任意a、b、cN，有 （1）a+b=b+a （2）a+（b+c）=（a+b）+c 定理4自然数的乘法满足以下运算律；对于任意a,b,cN. abba（交换律）; (ab)cacbc（乘法对加法的分配律）
5、； a(bc)(ab)c（结合律） 二序数理论 定义6:一个非空集合N的元素叫做自然数，如果N的元素间有一个基本关系“后继”（用符号“”表示），并满足下列公理： （1）1N,对于任意aN,a 1。 （2）对任何aN ,有唯一的后继元素a （3）1以外的任何元素，只能是一个元素的后继元素 （4）（归类公理）若 ,且 1,1M 2.aM 则M=N2a2aNM NM Ma Ma定理5 设p（n）是一个与自然数有关的命题，如果（1）p（1）成立 （2）假设p（k）成立，则p（k+1）成立；那么对任何自然数，p（n)成立 2.自然数加法与乘法的归纳定义 定义7自然数加法远算的归纳定义： （1）设aN,则
6、a+1=a （2）设a，bN，则a+b=（a+b）， 其中a和b叫做加数，而a+b叫做它们的和，定义7具有可操作性，它给出了加法远算步骤 例1求3+7 定义8 自然数乘法远算的归纳定义： （1）设aN,则ab=ab+a，其中a叫做被乘数，b叫做乘数，叫做积 例2 3x7定义9若a，bN，且存在kN使得a+k=b，则称为ab;也称b大于a 记作ba 定理6(加法单调性）设a，b，cN，则 （1）若a=b，则a+c=b+c； （2）若ab，则a+cb+c： （3）若ab，则a+cb+c；定义7（加法消去律）设a，b，cN则 1）若 a+c=b+c ，则a=b ； （2）若a+cb+c ，则ab ：
7、 （3）若a+cb+c ，则ab ； 4.自然数集的性质 性质1 自然数集是有序集 性质2自然数集具有阿基米德性质 性质3自然数集具有离散性 性质4（最小数原理）自然数集的任意非空子集中必有一个最小数。定义8 设p（n）是一个与自然数n有关的命题，如果（1）p（1）成立（2）假设p（n）对于所有满足lk的自然数l成立，则p（k）成立；那么p（n）对所有自然数成立 三扩大的自然数集 自然数的加乘远算规则和有关性质在N中仍然有效，只要修改补充 （1）对于任意的aN，都有 a+0=0+a；a00a=0 （2）设a，bN，则a+ba （3）设a，b，cN，若ab，则acbc 13整数环一整数概念1.负
8、整数的引入定义10 设A是一个非空数集，a，bA，如果存在xA使得b+x=a，则称x为a减去b的差，记作a-b。其中a叫做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法。 定义11 对于任意自然数有一个新数和它对应满足新数叫做负整数有时也写成这里的号和号分别叫做正号和负号这时与作为运算符号的加减号不同它们是性质符号负号在使用时依循下面的符号法则 定义12 一个数的绝对值是一个由唯一确定的非负数定义12不仅适用于整数也适用于有理数和实数二、整数运算与整数环 1.整数的加法和减法 定义13 （加法法则)设 m,n N, (1)同号两数相加，绝对值相加，并取原来的符号。即 (m)+(n)=(n)+(m）
9、=（m+n). （2）异号两数相加，当绝对值相等时（即互为相反数),其和为零；当绝对值不等时，绝对值相减，并取绝对值较大的加数的符号。 （3）一个数同零相加，仍得这个数。即 （m)+0=0+（m)=m.定义 14（乘法法则） （1）同号两数相乘，绝对值相乘，积取正号。 （2）异号两数相乘，绝对值相乘，积取负号。 （3）零同任何数相乘，积为零。 2.整数的减法 因为在整数集里，m-n=m+(-n),所以整数的减法可以化做加法来做。定理 9 在整数集中，两个数的差是唯一存 在的。3.整数集构成一个交换环 由于整数集上定义了加法和乘法两种运算。整数加法满足结合律和交换律，且整数集中每一元素都有负元；
10、整数乘法满足结合律，且乘法对加法满足分配律。因此，根据环的定义，整数集Z对加法和乘法构成一个环。又因整数乘法还满足交换律，所以整数环是一个交换环。三整数集的性质 性质1. 整数集是有序集。性质2. 整数集Z具有离散性。 性质3. 整数集Z和它的子集N之间可以建 立一一对应的关系，即Z是可列集。四带余除法和整除概念 在整数集中，除法运算时不封闭的。但在整数集中可进行带余除法，并定义整除概念。 定理 10 （带余除法）设aZ,bZ*,则存在两个整数q和r使a=bq+r(0r|b|)成立，并且这样的q和r是唯一的。 定义 15 设 aZ,bZ*, 若有qZ, 使得a=bq ，就称b 整除a （或a
11、被b 整除）。记作b|a 。这时称b 是a 的因数或约数, a 是b 的倍数。如果不存在这样的整数q ,就说b 不整除a . 整数整除的基本性质 （1）若 a|b , b|a, 则 |a|=|b|。 (2) 若 a|b , b|c, 则a|c. (3) 若 a|b , c 0, 则ac|bc. (4) 若 m|a , m|b, 则 m|(ka+lb).1.4有理数域 一有理数概念 定义 16 对于任意非零算术数a，有一个新数-a和它对应，满足 a + （-a）= （-a）+ a = 0, 新数-a叫做负有理数；a叫做正有理数，有时也写成+a. 定义 17 设 a Z, b Z*, 一切可写成
12、（或a/b）形式的 数叫做有理数ba二有理数的顺序 有理数的大小顺序，以算术数集中的有关概念和绝对值概念为基础。 定义 18 两个正有理数a,b相等，其意义和算术数集中两数相等的意义相同；对于两个负有理数-a和-b,如果|-a|=|-b|,就称它们相等。 任意两个不相等的有理数都可比较大小。 定义 19 （1）任一正有理数大于零，正有理数和零大于 任一负有理数；反过来说，任一负有理数都小于零，也小于一切正有理数。 （2）两个正有理数之间的大小比较，仍按照算术数集中的规定。 （3）两个负有理数之间，绝对值大的那个数较小。 三有理数运算与有理数域 1. 有理数的加法和乘法 2.有理数的减法 3.有
13、理数的除法 定义 20 设a,bQ,且b0 ，如果存在xQ 满足bx = a,则称 x为a 除以b 的商，记作x = 。 4.有理数域 ba 5.有理数运算比较性质 定理 11 设 a , bQ,则有 （1）a ba- b 0; （2）a = ba b =0; （3）a ba-b0.四有理数集的性质 性质 1 有理数集 Q 是一个有序域。 性质 2 有理数域具有阿基米德性质。即对于任意a ,bQ+,存在一个自然数n，使 得nab. 性质 3 有理数集具有稠密性。即在任意两个不相等的有理数a和b之间，总存在无限多个有理数。 性质 4 有理数集是一个可列集。 性质1 有理数集Q是一个有序域 2.进
14、一法 3.四舍五入法1.5近似计算 一近似值的几种截取方法 1、去尾法， 2、进一法 定义23 近似值a的相对误差a与a的绝对值之比叫做近似值a的相对误差，记作a，即 a= aaaaA 定义24 近似值a（a0）的绝对误差界与a的绝对值的比，叫做近似值a的相对误差界，记作，即 = 3.有效数字和可靠数字定义25 如果近似数a的绝对误差界是某一数位的半个单位，那么从左边第一位非零数字起直到这个数位为止，所有的数字叫做a的有效数定义26如果近似数a的绝对误差界是某一数位的一个单位，那么a的从左边第一位非零数字起直到这个数位为止，所有的数字叫做a的可靠数a 一个近似数有n个有效数（或可靠数）数字，以
15、称这个近似数有n个有效数（或可靠数）定义12，具有n个有效（或可靠）数位的近似数，其相对误差界不受小数点所在位置的影响三近似数四则运算的经验法则 法则1 近似数相加减，计算结果所保留的小数位数，应先四舍五入到比 的结果应保留的多一位，在行计算例1求近似数2.478，53.6，34.6342的和 法则2 近似数相乘除，计算结果所保留的有效数位个数，应和已知数中有效数位最少的一个相同。其它已知数中过多的有效数数字，可先四舍五入到比 的结果应保留的多一位，在行计算例如2计算(2.58x 27952. 4)103法则3近似数平方或开方，计算结果所保留的有效数数位个数，应和底数或被开方数的个数相同法则4
16、 近似数的混合计算，仍按照通常顺序进行计算，计算过程中得出的中间结果，一般要比计算结果应保留的数位多一位例3 计算8.61547+43.2x1.6483-2 .37四预定精确度的计算方法法则1 在约定精确度的近似数加法中，如果要求和具有n个可靠（有效）数字，其余各个近似数截取到与最大数的末位有效数相同的数位上.322563个可靠数字，使结果具有计算，使求和9181-7161-5141-31S.001. 0结果精确到例4例71.6、实数域npppp21一无理数的引入定义27：无限不循环小数叫做无理数.二，实数概念及其顺序1、实数概念定义28：正的十进制 叫做正实数. 对于每一个正实数，有一个新元
17、素-与之对应，满足：+（-）=（-）+=0，这些新元素就叫做负实数2、实数的顺序 两个正实数，比较大小，可先将它们化成小数，如果整数部分不同，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，而小数第一位不同，则小数第一位大的数较大；如果第一位也相同，则小数第二位大的数较大，以下依次类推.如果它们的所有对应数位上的数码都相同，就说它们是相等的. nb三退缩有理闭区间序列定义30：如果有理数列 na和满足：;)2(;)1 (2121nnnnbanbbbaaa都有对于所有的;)3(nnabn充分大时可使差，当正数对于预先给定的任意小。为退缩有理闭区间序列则称有理闭区间序列, ,2211nnbababa2 ,
18、 1,13nbabannnn，使得在唯一的一个实数是一个区间套，则存：设定理)(.,14Nnbababnnn即满足：个闭区间，使它属于序列里的每一存在唯一的实数闭区间序列：对于每一个退缩有理定理应。有唯一的一个点和它对，数轴上一定：对于任意给定的实数定理15四实数的运算1.实数的四则运算.16.,31的和是唯一存在的与：正实数定理的和，记作与是则称实数都有数对于任意非负整的过剩近似值的和，即的一切对应，足近似值的和，而小于的一切对于的不，两个给定的正实数大于（或等于）：如果一个实数定义nnnnn.,.32的积，记作与是则称实数都有于任意非负整数过剩近似值的积，即对的一切对应的，而小于足近似值的
19、积的一切对应的不，两个给定的正实数大于（或等于）：如果一个实数定义nnnnn.34.-,33xxxxxx的商，记作除以叫做的数为正实数，满足条件，：设定义的差，记作减去叫做的数满足条件为正实数，且，：设定义2.正实数的开方. 0001035.17次算术根为的时，当次算术根，记作的为的非负实数，则称适合，整数：设定义次乘方等于，它的正实数，存在唯一的：对于任意正实数定理nnxxnnxnn五、实数集的性质.4.3.2.1：实数集是不可数集性质：实数集具有连续性性质满足必存在自然数，：对于任意两个正实数性质一个有序域是一个数域，而且是：实数性质nnR1.7、复数域一复数的概念与复数域的构成.18构成
20、复数域关于它的加法和乘法：复数集定理C.,Im),Re(,),(),)(,(),(),(,|,36）（和）的虚部，并分别记作数（叫做复）的实部，叫做复数（做复数，）叫（为复数集，其中的元素则称集合）（算：内定义了加法和乘法运）（：设集合定义babababbaabaCbcadbdacdcbadbcadcbaRbabaRRC二复数的代数形式.38.,),(37biabiazbiazbaRbabia，而即：数叫做共轭复数为相反数时，这两个复，虚部互：当两个复数实部相等定义做纯虚数数，实部为零的虚数叫零的复数叫做虚的代数形式，虚部不是）叫做复数（：定义三用向量观点处理复数1.与复数对应的点和向量yxZ
21、(a,b)Orba任何一个复数z=a+bi，都可以用直角坐标系平面内的点Z（a,b）来表示。（如图所示）2.复数的三角形式.sin,cos,)sin(cos|z|),(3922rbrabarzirzzrRbabiaz其中：的三角形式，为复数，则称的一个幅角是，的模：设定义3.共轭复数和复数的模的性质为纯虚数或零为实数；zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzizzzzzzzzzzzzz00)6()0()( ;)5(;)4(Im2;Re2)3()(Im)(Re|)2() 1 (221212121212121212222共轭复数的性质：复数模的性质)Re(2| )4()Re(2| )3()
22、0(| )2(| ) 1 (212221221212221221221212121zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzznn例1：.,23zzzz求是虚数，且设x.-3i1|x|解方程例2：四复数集的性质.3.2.1次方根不相等的个任何非零复数有且只有可实施算总：在复数域内，开方运性质：复数域不是有序域性质：复数集是一个数集性质nn1.6实数域一无理数的引入二，实数概念及其顺序实数概念实数的顺序三退缩有理闭区间序列（康托尔公理）四实数的运算1.实数的四则运算2.正实数的开方五、实数集的性质1.7复数域一复数的概念与复数域的构成二复数的代数形式三用向量观点处理复数1.与复数对应的点和向量2.复数的三角形式3.共轭复数和复数的模的性质4.复数运算和向量运算（变换）的相互转化四复数集的性质
