1、7.1 工程中的扭转问题工程中的扭转问题 在第五章中我们已经讨论了杆件受轴向载荷作用时，杆件发生轴在第五章中我们已经讨论了杆件受轴向载荷作用时，杆件发生轴向拉伸或压缩变形，杆件的横截面上产生拉或压的轴力，横截面上的向拉伸或压缩变形，杆件的横截面上产生拉或压的轴力，横截面上的点受到轴向的正应力。在这一章中我们将讨论另一类基本变形点受到轴向的正应力。在这一章中我们将讨论另一类基本变形扭转扭转变形。当一根直杆受到绕杆的轴线转动的力偶作用时，杆会发生扭曲，变形。当一根直杆受到绕杆的轴线转动的力偶作用时，杆会发生扭曲，即杆的截面发生绕轴线转动的扭转变形。例如当你要拧紧一个木螺丝即杆的截面发生绕轴线转动的
2、扭转变形。例如当你要拧紧一个木螺丝时时(见见图图7-1a)，你在螺丝批的把手上作用了一个力偶，你在螺丝批的把手上作用了一个力偶(见图见图7-1b)，在螺，在螺丝批的另一端则受到木螺丝对它的反力偶作用，螺丝批发生扭转变形。丝批的另一端则受到木螺丝对它的反力偶作用，螺丝批发生扭转变形。又例如又例如图图7.2的掘土机械中的螺旋钻的空心圆轴和图的掘土机械中的螺旋钻的空心圆轴和图7.3的手枪钻的麻的手枪钻的麻花钻头都发生扭转变形。花钻头都发生扭转变形。 在工程中有许多轴类构件，截面大多是圆形截面，有些是实心圆在工程中有许多轴类构件，截面大多是圆形截面，有些是实心圆轴，也有空心圆轴。当受到绕轴线转动的力偶
3、作用时，截面将绕轴线轴，也有空心圆轴。当受到绕轴线转动的力偶作用时，截面将绕轴线转动，截面之间发生相对转动，即产生扭转变形，如转动，截面之间发生相对转动，即产生扭转变形，如图图7.4所示。所示。返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图一、一、 外力偶矩外力偶矩 在工程中，圆轴经常用来传递力偶所做的功。例如自行车的车在工程中，圆轴经常用来传递力偶所做的功。例如自行车的车轴，汽车的驱动轴和车床的齿轮轴等。而功的大小取决于作用在轴上轴，汽车的驱动轴和车床的齿轮轴等。而功的大小取决于作用在轴上力偶的矩和轴的转速。现在来考虑一根用马达驱动的轴，如力偶的矩和轴的转速。现在来考虑一根用马达驱动
4、的轴，如图图7.5所所示。示。 如果轴匀速转动，转速是如果轴匀速转动，转速是n(r/m)，传递的力偶矩是，传递的力偶矩是M，马达的，马达的功率是功率是P(kW)。则轴的转动角速度是。则轴的转动角速度是2 (/ )6030nnrad s下一页返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图传递力偶的功率与马达的功率相等，即传递力偶的功率与马达的功率相等，即 由此，已知轴的转动速度和输入或输出的功率，就可以换算出由此，已知轴的转动速度和输入或输出的功率，就可以换算出作用在轴上的外力偶矩，换算公式是作用在轴上的外力偶矩，换算公式是100030nPM9549 ()PMN mn下一页上一页返回7.
5、2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图二、二、 扭矩扭矩 如如图图7.6a所示的圆轴，两端受到一对大小相等、转向相反的外力所示的圆轴，两端受到一对大小相等、转向相反的外力偶作用，力偶矩是偶作用，力偶矩是M，并处于平衡状态。为了求出轴的内力，在轴内，并处于平衡状态。为了求出轴的内力，在轴内的任意一个横截面的任意一个横截面m-m处将轴切开，分成两个部分，它们的受力分析处将轴切开，分成两个部分，它们的受力分析分别如分别如图图7.6b和和7.6c所示。截出的两个部分仍然保持平衡状态，所以所示。截出的两个部分仍然保持平衡状态，所以截面上的内力必定是一个力偶，称之为扭矩。左右两截面上的扭矩是截面上
6、的内力必定是一个力偶，称之为扭矩。左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小一定相等而转向相反。扭矩的大小一对作用和反作用力，它们的大小一定相等而转向相反。扭矩的大小和实际转向可以通过两部分的平衡方程得到。和实际转向可以通过两部分的平衡方程得到。0 xMTM下一页上一页返回7.2外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图三、三、 扭矩图扭矩图 求出轴内任意一个截面上的扭矩以后，就可以用图线来表示扭求出轴内任意一个截面上的扭矩以后，就可以用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系，这个图线称为扭矩图。矩与截面位置之间的关系，这个图线称为扭矩图。图图7.6d就是轴就是轴7.6a的扭矩图。从图中
7、可以看出，在两个集中力偶作用之间的截面上，扭的扭矩图。从图中可以看出，在两个集中力偶作用之间的截面上，扭矩是一个常量。矩是一个常量。上一页返回7.3圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形一、一、 纯扭转纯扭转 考虑一根等截面圆轴，两端受到一对力偶作用，如考虑一根等截面圆轴，两端受到一对力偶作用，如图图7.7a所示。所示。轴内扭矩是一常量。此时圆轴所发生的扭转变形称为纯扭转。在小变轴内扭矩是一常量。此时圆轴所发生的扭转变形称为纯扭转。在小变形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面，它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和
8、半径的大小都为平面，它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都保持不变。左右两端截面绕轴线相对转过一个角度保持不变。左右两端截面绕轴线相对转过一个角度 ，称为扭转角。，称为扭转角。假设左端面转过的角度是假设左端面转过的角度是0，则右端面转过角度就是，则右端面转过角度就是 ，轴内任一横截，轴内任一横截面的扭转角用面的扭转角用 (x)表示。表示。下一页返回7.3圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形二、切应变和扭曲率二、切应变和扭曲率 在纯扭转的圆轴内用两个横截面截出长度为在纯扭转的圆轴内用两个横截面截出长度为dx的微段，如的微段，如图图7.7b所示。两截面绕轴线相对转过的角度是所示。两截面绕轴线
9、相对转过的角度是d ，两条母线，两条母线ad和和bc分别倾斜分别倾斜了一个相同的角度。矩形了一个相同的角度。矩形abcd变形成平行四边形变形成平行四边形abcd，ab与与ad的夹的夹角从角从90减小了一个角度减小了一个角度 max，这个角度的改变称为切应变。在小，这个角度的改变称为切应变。在小变形的条件下，由图示的几何关系得到变形的条件下，由图示的几何关系得到 在纯扭转的情况下，可以用轴两端截面的相对转角在纯扭转的情况下，可以用轴两端截面的相对转角 除以轴的长除以轴的长度度l来表示，即来表示，即maxddRdaddxl下一页上一页返回7.3圆轴的扭转变形圆轴的扭转变形由此可以得到圆轴外表面的切
10、应变的表达式由此可以得到圆轴外表面的切应变的表达式 根据类似的分析可以得到圆轴内部的切应变，见根据类似的分析可以得到圆轴内部的切应变，见图图7.7c所示。在所示。在dx的微段内截出半径为的微段内截出半径为 的圆柱体，因为半径仍保持直线，所以其表的圆柱体，因为半径仍保持直线，所以其表面的切应变是面的切应变是maxRdRRdxlddx上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力一、一、 纯剪切纯剪切 在小变形的前提下，圆轴扭转时横截面始终保持为平面，而且在小变形的前提下，圆轴扭转时横截面始终保持为平面，而且圆截面的形状、大小不变，半径仍为直线，截面之间的距离也不变。圆截面的
11、形状、大小不变，半径仍为直线，截面之间的距离也不变。所以在横截面上没有正应力，而切应力与过这点的半径垂直，朝向与所以在横截面上没有正应力，而切应力与过这点的半径垂直，朝向与截面上的扭矩转向相一致。在截面上的扭矩转向相一致。在图图7.8纯扭转的圆轴中取一个微体，它纯扭转的圆轴中取一个微体，它的边长分别是的边长分别是dx、dy和和 。见。见图图7.8b所示。所示。 在微体的左右侧面上各有一个相等的剪力在微体的左右侧面上各有一个相等的剪力dy，它们的方向相，它们的方向相反，组成一个力偶，其力偶矩是反，组成一个力偶，其力偶矩是dydx。因为微体处于平衡状态，所。因为微体处于平衡状态，所以在微体的顶面和
12、底面上必定存在切应力，上下两个面上的剪力必然以在微体的顶面和底面上必定存在切应力，上下两个面上的剪力必然也要组成一个反力偶，反力偶矩是也要组成一个反力偶，反力偶矩是 dxdy，与上述的力偶相平衡，与上述的力偶相平衡，即即dydxdxdy 下一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话，则上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话，则切应力的数值相等，方向与两个正交面的交线垂直，共同指向或共同切应力的数值相等，方向与两个正交面的交线垂直，共同指向或共同背离交线。这就是切应力互等定理。上面微体的四个侧面上只有切应背离
13、交线。这就是切应力互等定理。上面微体的四个侧面上只有切应力没有正应力，这种应力状态称为纯剪切。力没有正应力，这种应力状态称为纯剪切。二、二、 剪切胡克定律剪切胡克定律 发生纯剪切的微体由原来的正六面体变形成平行六面体，见图发生纯剪切的微体由原来的正六面体变形成平行六面体，见图7.8c。原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变，就是切。原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变，就是切应变应变 。对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即。对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即G下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 表达式中的比例常数表
14、达式中的比例常数G称为切变弹性模量，它与拉压弹性模量称为切变弹性模量，它与拉压弹性模量E一样是反映材料特性的弹性常数。上面的关系式称为剪切胡克定律。一样是反映材料特性的弹性常数。上面的关系式称为剪切胡克定律。对于各向同性材料，拉压弹性模量对于各向同性材料，拉压弹性模量E、切变弹性模量、切变弹性模量G和泊松比和泊松比 之间之间存在如下关系：存在如下关系： 可以得到可以得到2 1EGdGGdx下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力 由此可见，圆截面上点的切应力分布与该点的半径成正比，如由此可见，圆截面上点的切应力分布与该点的半径成正比，如图图7.8d所示。显然，
15、截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小所示。显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小是：是： 由切应力互等定理可知，圆轴的纵向截面上只有切应力，分布由切应力互等定理可知，圆轴的纵向截面上只有切应力，分布如如图图7.9所示。所示。maxdGRdx下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力三、三、 扭转的切应力公式扭转的切应力公式 在知道了圆截面上的切应力分布后，现在来分析切应力与扭矩在知道了圆截面上的切应力分布后，现在来分析切应力与扭矩之间的关系。见之间的关系。见图图7.10。 在半径为在半径为 的圆周处取一个微面积的圆周处取一个微面积dA，上面作
16、用微剪力，上面作用微剪力dA，它对圆心它对圆心O的微力矩是的微力矩是 dA，所有这些微力矩的和等于截面上的扭，所有这些微力矩的和等于截面上的扭矩，即矩，即 将公式将公式(7-9)代入上式得代入上式得ATdA2AdTGdAdx下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力令上式中的积分为令上式中的积分为IP，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即由此可以得到由此可以得到把上式代入到把上式代入到(7-9)式中，就得到切应力计算公式式中，就得到切应力计算公式2pAIdAPdTdxGIPTI下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截
17、面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力显然，横截面上的最大切应力是：显然，横截面上的最大切应力是： 式中，式中，IP/R项也是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数，项也是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数，用用Wt表示，即表示，即maxPPTRTIIRPtIWR下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力所以，最大切应力计算公式又可以写成：所以，最大切应力计算公式又可以写成：四、四、 极惯性矩和抗扭截面系数的计算极惯性矩和抗扭截面系数的计算直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数。见直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数。见图图7.10
18、取微面积取微面积dA= d d ，代入到式，代入到式(7-11)中，得到极惯性矩，即中，得到极惯性矩，即tWTmax4422300232RpARDIdAd d 下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力把上式代入到式把上式代入到式(7-14)中得到抗扭截面系数：中得到抗扭截面系数：如果是空心圆截面，如如果是空心圆截面，如图图7.11所示。所示。用相同的的方法可以求出极惯性矩和抗扭截面系数：用相同的的方法可以求出极惯性矩和抗扭截面系数：33216tRDW22304444441222132RpArIdAd dRrRD 下一页上一页返回7.4圆轴扭转时横截面上的切应力
19、圆轴扭转时横截面上的切应力和和其中，其中， 是内径与外径之比，即是内径与外径之比，即空心圆截面上的切应力分布如图空心圆截面上的切应力分布如图7.12所示。所示。3344(1)(1)216tRDWrdRD上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题一、圆轴的扭转失效一、圆轴的扭转失效 通过扭转试验发现，不同材料的圆轴在扭转破坏时，断口的形通过扭转试验发现，不同材料的圆轴在扭转破坏时，断口的形状也不一样。塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先状也不一样。塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先屈服，这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最屈服，这时在
20、圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截面处发生剪断，如在某一横截面处发生剪断，如图图7.13a所示，这时破坏截面上的最大所示，这时破坏截面上的最大切应力称为扭转强度极限。而当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，切应力称为扭转强度极限。而当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服阶段，最后发生约没有明显的屈服阶段，最后发生约45的螺旋面的断裂破坏，如的螺旋面的断裂破坏，如图图7.13b所示。扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力，用所示。扭转的屈服应力
21、和强度极限称为扭转的极限应力，用 u表表示。示。下一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题二、二、 强度条件和强度计算强度条件和强度计算 从扭转试验得到了扭转的极限应力，再考虑一定的安全裕度，从扭转试验得到了扭转的极限应力，再考虑一定的安全裕度，即将扭转极限应力除以一个安全系数，就得到扭转的许用切应力：即将扭转极限应力除以一个安全系数，就得到扭转的许用切应力： 这个许用切应力是扭转的设计应力，即圆轴内的最大切应力不这个许用切应力是扭转的设计应力，即圆轴内的最大切应力不能超过许用切应力。能超过许用切应力。 对于等截面圆轴，各个截面的抗扭截面系数相等，所以圆轴的对于等截面圆轴，各
22、个截面的抗扭截面系数相等，所以圆轴的最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上，强度条件就是最大切应力将发生在扭矩数值最大的截面上，强度条件就是 unmaxmaxtWT下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题 而对于变截面圆轴，则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数，而对于变截面圆轴，则要综合考虑扭矩的数值和抗扭截面系数，所以强度条件是所以强度条件是三、三、 刚度条件和刚度计算刚度条件和刚度计算在纯扭转的等截面圆轴中，从扭曲率的公式在纯扭转的等截面圆轴中，从扭曲率的公式(7-12)可以得到可以得到maxmaxtWTpTddxGI下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭
23、转时的强度和刚度问题 它表示圆轴中相距它表示圆轴中相距dx的两个横截面之间的相对转角，所以长为的两个横截面之间的相对转角，所以长为l的两个端截面之间的扭转角可以积分上式得到：的两个端截面之间的扭转角可以积分上式得到： 因为在纯扭转中，扭矩因为在纯扭转中，扭矩T和扭转刚度和扭转刚度GIP是常量，所以上式可以是常量，所以上式可以简化成简化成lpTdxGIpTlGI下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题 如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则式(7-12)的积分可以的积分可以写成分段求和的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是写成分段求和
24、的形式，即圆轴两端面之间的扭转角是 在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生在工程上，对于发生扭转变形的圆轴，除了要考虑圆轴不发生破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，这样才能满足工程机破坏的强度条件之外，还要注意扭转变形问题，这样才能满足工程机械的精度等工程要求。所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度，它不械的精度等工程要求。所以用扭曲率作为衡量扭转变形的程度，它不能超过规定的许用值，即要满足扭转变形的刚度条件。能超过规定的许用值，即要满足扭转变形的刚度条件。 对于扭矩是常量的等截面圆轴，扭曲率最大值一定发生在扭矩对于扭矩是常量的等截面圆轴，扭曲率最大值一定发生在扭矩最大的截面
25、处，所以，刚度条件可以写成最大的截面处，所以，刚度条件可以写成1ni iipiTlGI maxmaxpTGI下一页上一页返回7.5扭转时的强度和刚度问题扭转时的强度和刚度问题上式中，扭曲率的单位是上式中，扭曲率的单位是rad/m。如果使用。如果使用/m单位，则上式可以写成单位，则上式可以写成对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是对于扭矩是分段常量的阶梯形截面圆轴，其刚度条件是或者写成或者写成 maxmax180pTGI maxmaxpTGI maxmax180pTGI上一页返回图图7.1 返回图图7.2返回图图7.3返回图图7.4babbbRbbrMbMb图7.4返回图图7.5返回图图7.6返回图图7.6返回图图7.7返回图图7.7返回图图7.7返回图图7.8返回图图7.8返回图图7.9返回图图7.10dAOT返回图图7.10dAOT返回图图7.11返回图图7.12返回图图7.13返回
